（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题三 数列与数学归纳法 第1讲 等差数列、等比数列教案

-1-第1讲等差数列、等比数列等差、等比数列的基本运算[核心提炼]1．等差数列的通项公式及前n项和公式an＝a1＋(n－1)d；Sn＝n（a1＋an）2＝na1＋n（n－1）2d.2．等比数列的通项公式及前n项和公式an＝a1qn－1(q≠0)；Sn＝a1（1－qn）1－q＝a1－anq1－q(q≠1)．[典型例题](1)(2019·嘉兴市高考一模)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S1S4＝110，则S3S5＝()A.25B.35C.37D.47(2)(2019·浙江名校协作体高三下学期考试)设等比数列{an}的前n项和为Sn，满足对任意的正整数n，均有Sn＋3＝8Sn＋3，则a1＝________，公比q＝________．【解析】(1)设公差为d，则a14a1＋6d＝110，d＝a1，所以S3S5＝3a1＋3d5a1＋10d＝25，故选A.(2)由Sn＋3＝8Sn＋3，则Sn＋2＝8Sn－1＋3，两式相减得，an＋3＝8an⇒anq3＝8an，则q3＝8⇒q＝2，由等比数列前n项和公式得，a1（1－2n＋3）1－2＝8·a1（1－2n）1－2＋3，即2n＋3a1－a1＝8·2na1－8a1＋3，从而解得a1＝37.【答案】(1)A(2)372关于等差(等比)数列的基本运算，一般通过其通项公式和前n项和公式构造关于a1和d(或q)的方程或方程组解决，如果所给出的是递推关系式，可通过将递推关系式变形，构造出满-2-足等差(等比)数列定义的新数列，然后再按等差(等比)数列进行基本运算．[对点训练]1．(2019·温州瑞安七中高考模拟)数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A．3×44B．3×44＋1C．44D．44＋1解析：选A.由an＋1＝3Sn，得到an＝3Sn－1(n≥2)，两式相减得：an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，则an＋1＝4an(n≥2)，又a1＝1，a2＝3S1＝3a1＝3，得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，所以an＝a2qn－2＝3×4n－2(n≥2)，a6＝3×44，故选A.2．(2019·名校新高考研究联盟)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的底层共有灯()A．186盏B．189盏C．192盏D．96盏解析：选C.设塔的底层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个首项为x，公比为12的等比数列.x1－1271－12＝381，解得x＝192.3．(2019·绍兴市柯桥区高三期中考试)已知正数数列{an}的前n项和Sn满足：Sn和2的等比中项等于an和2的等差中项，则a1＝________，Sn＝________．解析：由题意知an＋22＝2Sn，平方可得Sn＝（an＋2）28，①由a1＝S1得a1＋22＝2a1，从而可解得a1＝2.又由①式得Sn－1＝（an－1＋2）28(n≥2)，②①－②可得an＝Sn－Sn－1＝（an＋2）28－（an－1＋2）28(n≥2)，-3-整理得(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0因为数列{an}的各项都是正数，所以an－an－1－4＝0，即an－an－1＝4.故数列{an}是以2为首项4为公差的等差数列，所以Sn＝2n＋n（n－1）2×4＝2n2.当n＝1时，S1＝a1＝2.故Sn＝2n2.答案：22n24．(2019·杭州市学军中学高三模拟)已知等比数列{an}的公比q0，前n项和为Sn，若2a3，a5，3a4成等差数列，a2a4a6＝64，则q＝________，Sn＝________．解析：由2a3，a5，3a4成等差数列得2a5＝2a3＋3a4⇒2q2＝2＋3q⇒q＝2(负舍)，a2a4a6＝64⇒a34＝64⇒a4＝4⇒a1＝a4q3＝12，Sn＝12（1－2n）1－2＝2n－12.答案：22n－12等差、等比数列的判定与证明[核心提炼]1．证明数列{an}是等差数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an＋1－an(n∈N*)为一常数；(2)利用等差中项，即证明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．2．证明数列{an}是等比数列的两种基本方法(1)利用定义，证明an＋1an(n∈N*)为一常数；(2)利用等比中项，即证明a2n＝an－1an＋1(n≥2)．[典型例题](1)如图，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*(P≠Q表示点P与Q不重合)．若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则()-4-A．{Sn}是等差数列B．{S2n}是等差数列C．{dn}是等差数列D．{d2n}是等差数列(2)(2019·温州市高考二模)设数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝32，a3＝54，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1.①求a4的值；②证明：an＋1－12an为等比数列；③求数列{an}的通项公式．【解】(1)选A.由题意，过点A1，A2，A3，…，An，An＋1，…分别作直线B1Bn＋1的垂线，高分别记为h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…，根据平行线的性质，得h1，h2，h3，…，hn，hn＋1，…成等差数列，又Sn＝12×|BnBn＋1|×hn，|BnBn＋1|为定值，所以{Sn}是等差数列．故选A.(2)①当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，即41＋32＋54＋a4＋51＋32＝81＋32＋54＋1，解得：a4＝78.②证明：因为4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)，因为4a3＋a1＝4×54＋1＝6＝4a2，所以4an＋2＋an＝4an＋1，因为an＋2－12an＋1an＋1－12an＝4an＋2－2an＋14an＋1－2an＝4an＋1－an－2an＋14an＋1－2an＝2an＋1－an2（2an＋1－an）＝12.所以数列{an＋1－12an}是以a2－12a1＝1为首项，公比为12的等比数列；③由②知，an＋1－12an是以a2－12a1为首项，公比为12的等比数列，所以an＋1－12an＝12n－1.-5-即an＋112n＋1－an12n＝4，所以an12n是以a112＝2为首项，4为公差的等差数列，所以an12n＝2＋(n－1)×4＝4n－2，即an＝(4n－2)×12n＝(2n－1)×12n－1，所以数列{an}的通项公式是an＝(2n－1)×12n－1.(1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法．(2)若要判断一个数列不是等差(等比)数列，只需判断存在连续三项不成等差(等比)数列即可．(3)a2n＝an－1an＋1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0.[对点训练]1．(2019·金华十校高考模拟)已知a，b为实常数，{ci}(i∈N*)是公比不为1的等比数列，直线ax＋by＋ci＝0与抛物线y2＝2px(p0)均有两个交点，所成弦的中点为Mi(xi，yi)，则下列说法错误的是()A．数列{xi}可能是等比数列B．数列{yi}是常数列C．数列{xi}可能是等差数列D．数列{xi＋yi}可能是等比数列解析：选C.由直线ax＋by＋ci＝0，当a＝0，b≠0时，直线by＋ci＝0与抛物线y2＝2px(p0)仅有一个交点，不合题意．当a≠0，b＝0时，直线ax＋ci＝0，化为：x＝－cia，则xi＝－cia，yi＝0，xi＋yi＝－cia，由{ci}(i∈N*)是公比不为1的等比数列，可得{xi}是等比数列，{xi＋yi}是等比数列，不是等差数列．当a≠0，b≠0时，直线ax＋by＋ci＝0化为：x＝－bay－cia，代入抛物线y2＝2px(p0)，-6-所以y2＋2pbay＋2pcia＝0.根据根与系数的关系可得：Mipb2a2－cia，－pba，即yi＝－pba，{yi}是常数列，是等比数列，是等差数列．综上可得：A，B，D都有可能，只有C不可能．故选C.2．记Sn为等比数列{an}的前n项和，已知S2＝2，S3＝－6.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并判断Sn＋1，Sn，Sn＋2是否成等差数列．解：(1)设{an}的公比为q.由题设可得a1（1＋q）＝2，a1（1＋q＋q2）＝－6.解得q＝－2，a1＝－2.故{an}的通项公式为an＝(－2)n.(2)由(1)可得Sn＝a1（1－qn）1－q＝－23＋(－1)n2n＋13.由于Sn＋2＋Sn＋1＝－43＋(－1)n2n＋3－2n＋23＝2[－23＋(－1)n2n＋13]＝2Sn，故Sn＋1，Sn，Sn＋2成等差数列．数列的性质及应用[核心提炼]1.等差数列等比数列性质(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq；(2)an＝am＋(n－m)d；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差数列(1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；(2)an＝amqn－m；(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比数列(q≠－1)2.递增(减)数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即anan－1(n≥2)的数列叫做递增数列；每一项都小于它的前一项，即anan－1(n≥2)的数列叫做递减数列．[典型例题](1)(2019·义乌高三模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，则“a20且a10”是-7-“数列{Sn}单调递增”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d，d≠0.Sn＝na1＋n（n－1）2d＝d2n2＋a1－d2n＝d2n－d－2a12d2－（d－2a1）28d，因为数列{Sn}单调递增，所以d0，d－2a12d≤1，可得d＋2a1≥0.由a20且a10，可得a2＝a1＋d0.所以“a20且a10”是“数列{Sn}单调递增”的既不充分也不必要条件．(2)设{an}的公比为q，由a1＋a3＝10，a2＋a4＝5得a1＝8，q＝12，则a2＝4，a3＝2，a4＝1，a5＝12，所以a1a2…an≤a1a2a3a4＝64.【答案】(1)D(2)64等差、等比数列性质问题的求解策略(1)抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．(2)数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．(3)利用数列性质进行运算时，要利用整体思想(如本例(2))，可以减少计算量，此方法还适用于求函数值、求函数的解析式等问题．[对点训练]1．(2019·丽水市高考数学模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，下列结论一定成立的是()A．a1＋a3≥2a2B．a1＋a3≤2a2C．a1S30D．a1S30-8-解析：选C.选项A，数列－1，1，－1为等比数列，但a1＋a3＝－22a2＝2，故A错误；选项B，数列1，－1，1为等比数列，但a1＋a3＝22a2＝－2，故B错误；选项D，数列1，－1，1为等比数列，但a1S3