广西南宁市第三中学2019-2020学年高二数学10月月考试题 理

-1-广西南宁市第三中学2019-2020学年高二数学10月月考试题理一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给的四个选项中，只有一项符合．）1．直线3x－y＋a＝0(a为常数)的倾斜角为()A．30°B．60°C．120°D．150°2．已知a，b，c是两两不同的三条直线，下列说法正确的是()A．若直线a，b异面，b，c异面，则a，c异面B．若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交C．若a∥b，则a，b与c所成的角相等D．若a⊥b，b⊥c，则a∥c3．若直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，则m＝()A．7B．172C．14D．174．点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是()A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4D．(x＋2)2＋(y－1)2＝15．某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本，已知从高中生中抽取70人，则n为()A．100B．150C．200D．2506．阅读程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为()A．2B．4C．6D．87．已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，-2-则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为()A．24B．12C．22D．28．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图，后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为()A．1169B．677C．36D．3679．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是()A．O是△AEF的垂心B．O是△AEF的内心C．O是△AEF的外心D．O是△AEF的重心10．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为()A．－53或－35B．－32或－23C．－54或－45D．－43或－3411．已知边长为1的等边三角形ABC与正方形ABDE有一公共边AB，二面角C－AB－D的余弦值为33，若A、B、C、D、E在同一球面上，则此球的体积为()A．2πB．823πC．2πD．23π12．两圆x2＋y2＋2ax＋a2－4＝0和x2＋y2－4by－1＋4b2＝0恰有三条公切线，若a∈R，b∈R且ab≠0，则1a2＋1b2的最小值为()A．1B．3C．19D．49二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽取了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80，130]上，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的60株树木中，-3-有________株树木的底部周长小于100cm．-4-14．如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F，G分别是线段AE，BC的中点，则AD与GF所成的角的余弦值为________．15．已知平面区域x≥0，y≥0，x＋2y－4≤0恰好被面积最小的圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其内部所覆盖，则圆C的方程为________．16．已知圆O：x2＋y2＝9及点C(2，1)，过点C的直线l与圆O交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，直线l的方程为________．三、解答题（共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）(1)求经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程．(2)设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，求圆C的面积．18．（12分）四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H．(1)求四面体ABCD的体积；-5-(2)证明：四边形EFGH是矩形．-6-19．（12分）已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(cosB，cosC)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n．(1)求角B的大小；(2)若b＝3，求a＋c的范围．20．（12分）如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠PAD＝45°，E为PA的中点．(1)求证：DE∥平面BPC；(2)线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出二面角F－PC－D的余弦值；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bnan是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和Tn．-7-22．（12分）已知直线l：4x＋3y＋10＝0，半径为2的圆C与l相切，圆心C在x轴上且在直线l的右上方．(1)求圆C的方程；(2)过点M(1，0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分∠ANB？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．-8-高二月考（二）理科数学试题参考答案1．B直线的斜率为k＝tanα＝3，又因为0°≤α＜180°，所以α＝60°．2．C若直线a，b异面，b，c异面，则a，c相交、平行或异面；若a，b相交，b，c相交，则a，c相交、平行或异面；若a⊥b，b⊥c，则a，c相交、平行或异面；由异面直线所成的角的定义知C正确．3．B直线l1：x＋3y＋m＝0(m＞0)，即2x＋6y＋2m＝0，因为它与直线l2：2x＋6y－3＝0的距离为10，所以|2m＋3|4＋36＝10，求得m＝172．4．A设圆上任一点为Q(x0，y0)，PQ的中点为M(x，y)，则x＝4＋x02，y＝－2＋y02，解得x0＝2x－4，y0＝2y＋2.因为点Q在圆x2＋y2＝4上，所以x20＋y20＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1．5．A由题意，抽样比为703500＝150，总体容量为3500＋1500＝5000，故n＝5000×150＝100．6．B初始值S＝4，n＝1．循环第一次：S＝8，n＝2；循环第二次：S＝2，n＝3；循环第三次：S＝4，n＝4，满足n3，输出S＝4．7．C如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图：因为OE＝（2）2－1＝1，所以O′E′＝12，E′F＝24，则直观图A′B′C′D′的面积S′＝1＋32×24＝22．8．D由题意知87＋94＋90＋91＋90＋90＋x＋917＝91，解得x＝4．所以s2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝17(16＋9＋1＋0＋1＋9＋0)＝367．9．A由题意可知PA，PE，PF两两垂直，所以PA⊥平面PEF，-9-从而PA⊥EF，而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，所以EF⊥平面PAO，∴EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，∴O为△AEF的垂心．10．D由已知，得点(－2，－3)关于y轴的对称点为(2，－3)，由入射光线与反射光线的对称性，知反射光线一定过点(2，－3)．设反射光线所在直线的斜率为k，则反射光线所在直线的方程为y＋3＝k(x－2)，即kx－y－2k－3＝0．由反射光线与圆相切，则有d＝|－3k－2－2k－3|k2＋1＝1，解得k＝－43或k＝－3411．D取AB的中点为M，连接CM，取DE的中点为N，连接MN，CN，可知∠CMN即为二面角C－AB－D的平面角，利用余弦定理可求CN＝32＝CM，所以该几何体为正四棱锥，半径R＝22，V＝43πR3＝2π3．12．Ax2＋y2＋2ax＋a2－4＝0，即(x＋a)2＋y2＝4，x2＋y2－4by－1＋4b2＝0，即x2＋(y－2b)2＝1．依题意可得，两圆外切，则两圆圆心距离等于两圆的半径之和，则a2＋（2b）2＝1＋2＝3，即a2＋4b2＝9，所以1a2＋1b2＝1a2＋1b2a2＋4b29＝195＋a2b2＋4b2a2≥195＋2a2b2·4b2a2＝1，当且仅当a2b2＝4b2a2，即a＝±2b时取等号．13．24底部周长在[80，90)的频率为0.015×10＝0.15，底部周长在[90，100)的频率为0.025×10＝0.25，样本容量为60，所以树木的底部周长小于100cm的株数为(0.15＋0.25)×60＝24．14．36取DE的中点H，连接HF，GH．由题设，HF∥AD．∴∠GFH为异面直线AD与GF所成的角(或其补角)．在△GHF中，可求HF＝2，GF＝GH＝6，∴cos∠HFG＝2＋6－62×2×6＝36．15．(x－2)2＋(y－1)2＝5由题意知，此平面区域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所构成的三角形及其内部，所以覆盖它的且面积最小的圆是其外接圆．∵△OPQ为直角三角形，∴圆心为斜边PQ的中点(2，1)，半径r＝|PQ|2＝5，因此圆C的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5．16．x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，则P，Q的-10-坐标分别为(2，5)，(2，－5)，所以S△OPQ＝12×2×25＝25．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)k≠12，则圆心到直线PQ的距离为d＝|1－2k|k2＋1，且|PQ|＝29－d2，则S△OPQ＝12×|PQ|×d＝12×29－d2×d＝（9－d2）d2≤9－d2＋d222＝92，当且仅当9－d2＝d2，即d2＝92时，S△OPQ取得最大值92．因为2592，所以S△OPQ的最大值为92，此时，由4k2－4k＋1k2＋1＝92，解得k＝－7或k＝－1，则直线l的方程为x＋y－3＝0或7x＋y－15＝0．-11-17．(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0，0)和(4，1)，∴l的方程为y＝14x，即x－4y＝0．若a≠0，则设l的方程为xa＋ya＝1，∵l过点(4，1)，∴4a＋1a＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0．综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0．(2)圆C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圆心为C(0，a)，半径r＝a2＋2，C到直线y＝x＋2a的距离为d＝|0－a＋2a|2＝|a|2．又由|AB|＝23，得2322＋|a|22＝a2＋2，解得a2＝2，所以圆的面积为π(a2＋2)＝4π．18．(1)解由该四面体的三视图可知，BD⊥DC，BD⊥AD，AD⊥DC，BD＝DC＝2，AD＝1，又BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC，∴四面体ABCD的体积V＝13×12×2×2×1＝23．(2)证明：∵BC∥平面EFGH，平面EFGH∩平面BDC＝FG，平面EFGH∩平面ABC＝EH，∴BC∥FG，BC∥EH，∴FG∥EH．同理，EF∥AD，HG∥AD，∴EF∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形．又∵AD⊥平面BDC，BC⊂平面BDC，∴AD⊥BC，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．19．(1)∵m＝(cosB，cosC)，n＝(2a＋c，b)，且m⊥n，∴(2a＋c)cosB＋bcosC＝0，∴cosB(2sinA＋sinC)＋sinBcosC＝0，∴2cosBsinA＋cosBsinC＋sinBcosC＝0．即2co