（浙江专用）2020高考数学二轮复习 专题六 计数原理与古典概率 第1讲 计数原理、二项式定理教案

-1-第1讲计数原理、二项式定理两个计数原理[核心提炼]分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理将各步的方法种数相乘．[典型例题](1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A．24B．18C．12D．9(2)甲、乙两人进行乒乓球比赛，先赢三局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情况(各人输赢局次的不同视为不同情况)共有()A．10种B．15C．20种D．30种【解析】(1)由题意可知E→F共有6种走法，F→G共有3种走法，由乘法计数原理知，共有6×3＝18种走法，故选B.(2)首先分类计算假如甲赢，比分3∶0是1种情况；比分3∶1共有3种情况，分别是前3局中(因为第四局肯定要赢)，第一或第二或第三局输，其余局数获胜；比分是3∶2共有6种情况，就是说前4局2∶2，最后一局获胜，前4局中，用排列方法，从4局中选2局获胜，有6种情况．甲一共有1＋3＋6＝10种情况获胜．所以加上乙获胜情况，共有10＋10＝20种情况．【答案】(1)B(2)C应用两个计数原理解题的方法(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．[对点训练]1．如图，某教师要从A地至B地参加高考教研活动：-2-路线Ⅰ：A到B有三条路线；路线Ⅱ：A到C后再到B，其中A到C有1条路线，C到B有2条路线；路线Ⅲ：从A到D，D到C，C到B，其中A到D，D到C，C到B各有2条路线，则该教师的选择路线种数共有()A．10B．11C．13D．24解析：选C.按路线Ⅰ，共有3种选择；按路线Ⅱ，分2步可以到达B，共有1×2＝2种选择；按路线Ⅲ，分3步，共有2×2×2＝8种，故共有3＋2＋8＝13种选择．2．如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120，343，275)，那么所有凸数的个数为()A．240B．204C．729D．920解析：选A.分8类，当中间数为2时，有1×2＝2(个)；当中间数为3时，有2×3＝6(个)；当中间数为4时，有3×4＝12(个)；当中间数为5时，有4×5＝20(个)；当中间数为6时，有5×6＝30(个)；当中间数为7时，有6×7＝42(个)；当中间数为8时，有7×8＝56(个)；当中间数为9时，有8×9＝72(个)．故共有2＋6＋12＋20＋30＋42＋56＋72＝240(个)．排列与组合[核心提炼]名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(m≤n)个元素，元素无重复不同点①排列与顺序有关；②两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相①组合与顺序无关；②两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同-3-同[典型例题](1)(2018·高考浙江卷)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成____________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)(2)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有______种不同的选法．(用数字作答)(3)(2019·嘉兴市高考模拟)动点P从正方体ABCD­A1B1C1D1的顶点A出发，沿着棱运动到顶点C1后再到点A，若运动中恰好经过6条不同的棱，称该路线为“最佳路线”，则“最佳路线”的条数为________(用数字作答)．【解析】(1)若取的4个数字不包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C23A44；若取的4个数字包括0，则可以组成的四位数的个数为C25C13C13A33.综上，一共可以组成的没有重复数字的四位数的个数为C25C23A44＋C25C13C13A33＝720＋540＝1260.(2)从8人中选出4人，且至少有1名女学生的选法种数为C48－C46＝55.从4人中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人的选法为A24＝12种．故总共有55×12＝660种选法．(3)从A点出发有3种方法(A1，B，D)，假如选择了A1，则有2种选法(B1，D1)到C1，再从C1出发，若选择了(B1或D1)，则只有一种方法到A，若选择了C，则有2种方法到A，故“最佳路线”的条数为C13C12(1＋2)＝18种．【答案】(1)1260(2)660(3)18求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素．(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置．(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数．[注]解答计数问题多利用分类讨论思想．分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”．[对点训练]1．(2019·宁波高考模拟)从1，2，3，4，5这五个数字中选出三个不相同数组成一个三位数，则奇数位上必须是奇数的三位数的个数为()A．12B．18C．24D．30解析：选B.根据题意，要求奇数位上必须是奇数的三位数，则这个三位数的百位、个位-4-为奇数，分2步进行分析：①在1、3、5三个奇数中任选2个，安排在三位数的个位和百位，有C23A22＝6种情况，②在剩余的3个数字中任选1个，将其安排在三位数的十位，有C13＝3种情况，则奇数位上必须是奇数的三位数有6×3＝18个．2．(2019·陕西省高三教学质量检测试题(一))从一架钢琴挑出的10个音键中，分别选择3个，4个，5个，…，10个键同时按下，可发出和声，若有一个音键不同，则发出不同的和声，则这样的不同的和声数为________(用数字作答)．解析：依题意共有8类不同的和声，当有k(k＝3，4，5，6，7，8，9，10)个键同时按下时，有Ck10种不同的和声，则和声总数为C310＋C410＋C510＋…＋C1010＝210－C010－C110－C210＝1024－1－10－45＝968.答案：968二项式定理[核心提炼]1．通项与二项式系数Tk＋1＝Cknan－kbk(k＝0，1，2，…，n)，其中Ckn叫做二项式系数．[注意]Tk＋1是展开式中的第k＋1项，而不是第k项．2．各二项式系数之和(1)C0n＋C1n＋C2n＋…＋Cnn＝2n.(2)C1n＋C3n＋…＝C0n＋C2n＋…＝2n－1.[典型例题](1)(2019·台州市高考一模)已知(ax－1x)5的展开式中各项系数的和为32，则展开式中系数最大的项为()A．270x－1B．270xC．405x3D．243x5(2)(2018·高考浙江卷)二项式3x＋12x8的展开式的常数项是________．(3)(2019·高考浙江卷)在二项式(2＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．【解析】(1)(ax－1x)5的展开式中各项系数的和为32，所以(a－1)5＝32，解得a＝3；所以(3x－1x)5展开式的通项为Tr＋1＝Cr5·(3x)5－r·(－1x)r＝(－1)r·35－r·Cr5·x5－2r，-5-又当r＝0时，35＝243；当r＝2时，33·C25＝270；当r＝4时，3·C45＝15；所以r＝2时该二项展开式中系数最大的项为270x.故选B.(2)该二项展开式的通项公式为Tr＋1＝Cr8x8－r312xr＝Cr812rx8－4r3.令8－4r3＝0，解得r＝2，所以所求常数项为C28×122＝7.(3)该二项展开式的第k＋1项为Tk＋1＝Ck9(2)9－kxk，当k＝0时，第1项为常数项，所以常数项为()29＝162；当k＝1，3，5，7，9时，展开式的项的系数为有理数，所以系数为有理数的项的个数为5.【答案】(1)B(2)7(3)1625(1)在应用通项公式时，要注意以下几点①它表示二项展开式的任意项，只要n与r确定，该项就随之确定；②Tr＋1是展开式中的第r＋1项，而不是第r项；③公式中，a，b的指数和为n且a，b不能随便颠倒位置；④对二项式(a－b)n展开式的通项公式要特别注意符号问题．(2)在二项式定理的应用中，“赋值法”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法．[对点训练]1．(2019·温州市高考模拟)设(1＋x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，其中x、ai∈R，i＝0，1，…，6，则a1＋a3＋a5＝()A．16B．32C．64D．128解析：选B.令x＝1时，则26＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝64，令x＝－1时，则(1－1)6＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝0，所以2(a1＋a3＋a5)＝64，所以a1＋a3＋a5＝32，故选B.2．(2019·浙江新高考联盟联考)若二项式(ax－1x)6(a0)的展开式中x3的系数为A，常数项为B，若A＝4B，则B＝________．-6-解析：Tr＋1＝(－1)rCr6(ax)6－r(1x)r＝(－1)ra6－rCr6x6－32r.令6－32r＝3得r＝2，则A＝a4C26＝15a4；令6－32r＝0得r＝4，则B＝(－1)4a2C46＝15a2，又由A＝4B得15a4＝4×15a2，则a＝2，B＝60.答案：60专题强化训练[基础达标]1．(2019·金华十校期末调研)在(x2－4)5的展开式中，含x6的项的系数为()A．20B．40C．80D．160解析：选D.Tr＋1＝Cr5(x2)5－r(－4)r＝(－4)rCr5x10－2r，令10－2r＝6，解得r＝2，所以含x6的项的系数为(－4)2C25＝160.2．(2019·广州综合测试(一))四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的一枚硬币，所有人同时抛出自己的硬币．若落在圆桌上时硬币正面朝上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着．那么，没有相邻的两个人站起来的概率为()A.14B.716C.12D.916解析：选B.抛四枚硬币，总的结果有16种，“没有相邻的两个人站进来”记为事件A，可分为三类：一是没有人站起来，只有1种结果；二是1人站起来，有4种结果；三是有2人站起来，可以是AC或BD，有2种结果．所以满足题意的结果共有1＋4＋2＝7种，P(A)＝716.故选B.3．(2019·杭州市第二次质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数的个数为()A．72B．120C．192D．240解析：选D.将数字“124467”重新排列后所得数字为偶数，则末位数应为偶数，(1)若末位数字为2，因为含有2个4，所以有5×4×3×2×12＝60种情况；(2)若末位数字为6，同理有5×4×3×2×12＝60种情况；(3)若末位数字为4，因为有两个相同数字4，所以共有5×4×3×2×1＝120种情况．综上，共有60＋60＋120＝240种情况．-7-4．(2019·衢州市高三期末考试)若(x＋ax)(2x－1x)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项是()A．－40B．－20C．40D．20解析：选C.令x＝1，(1＋a)×(2－1)5＝2，解得a＝1.所以(2x－1x)5的通项公式Tr＋1＝Cr5(2x)5－r(－1x)r＝(－1)r25－rCr5x5－2r，令5－2r＝－1，5－2r＝1.解得r＝3或2.所以该展开式中常数项＝(－1)322C35＋(－1)2×23C25＝40.5．某校为了提倡素质教育，丰富学生们的课外生活，分别成立绘画、象棋和篮球兴趣小组，现有甲、乙、丙、丁四名学生报名参加，每人仅参加一个兴趣小组，每个兴趣小组至少有一人报名，则不同报名方法有()A．12种B．24种C．36种D．72种解析