2021高考数学一轮复习 第4章 三角函数、解三角形 第5节 三角恒等变换 第2课时 简单的三角恒等

1第2课时简单的三角恒等变换考点1三角函数式的化简1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则2．三角函数式化简的方法(1)弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．(2)在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．1.化简：2cos4x－2cos2x＋122tanπ4－xsin2π4＋x＝________.12cos2x[原式＝124cos4x－4cos2x＋12×sinπ4－xcosπ4－x·cos2π4－x＝2cos2x－124sinπ4－xcosπ4－x＝cos22x2sinπ2－2x＝cos22x2cos2x＝12cos2x.]2．已知cosθ＋π4＝1010，θ∈0，π2，则sin2θ－π3＝________.4－3310[由题意可得，cos2θ＋π4＝1＋cos2θ＋π22＝110，cos2θ＋π2＝－sin2θ＝－45，即sin2θ＝45.因为cosθ＋π4＝1010＞0，θ∈0，π2，所以0＜θ＜π4，2θ∈0，π2，2根据同角三角函数基本关系式，可得cos2θ＝35，由两角差的正弦公式，可得sin2θ－π3＝sin2θcosπ3－cos2θsinπ3＝45×12－35×32＝4－3310.]3．已知α为第二象限角，且tanα＋tanπ12＝2tanαtanπ12－2，则sinα＋5π6＝________.－31010[由已知可得tanα＋π12＝－2，∵α为第二象限角，∴sinα＋π12＝255，cosα＋π12＝－55，则sinα＋5π6＝－sinα－π6＝－sinα＋π12－π4＝cosα＋π12sinπ4－sinα＋π12cosπ4＝－31010.](1)化简标准：函数种类尽可能少、次数尽可能低、项数尽可能少、尽量不含根式、尽量不含绝对值等．(2)余弦的二倍角公式、正弦的二倍角公式都能起到升(降)幂的作用．考点2三角函数的求值给角求值[2sin50°＋sin10°(1＋3tan10°)]·2sin280°＝________.6[原式＝2sin50°＋sin10°·cos10°＋3sin10°cos10°·2sin80°＝2sin50°＋2sin10°·12cos10°＋32sin10°cos10°·2cos10°＝22[sin50°·cos10°＋sin10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22×32＝6.]该类问题中给出的角一般都不是特殊角，需要通过三角恒等变换将其变为特殊角，或者能够正负相消，或者能够约分相消，最后得到具体的值．给值求值(1)(2019·益阳模拟)已知cosα－π6＋sinα＝435，则sinα＋7π6＝3________.(2)已知cosπ4＋α＝35，17π12＜α＜7π4，则sin2α＋2sin2α1－tanα的值为________．(1)－45(2)－2875[(1)由cosα－π6＋sinα＝435，可得32cosα＋12sinα＋sinα＝435，即32sinα＋32cosα＝435，所以3sinα＋π6＝435，即sinα＋π6＝45，所以sinα＋7π6＝－sinα＋π6＝－45.(2)sin2α＋2sin2α1－tanα＝2sinαcosα＋2sin2α1－sinαcosα＝2sinαcosαcosα＋sinαcosα－sinα＝sin2α1＋tanα1－tanα＝sin2α·tanπ4＋α.由17π12＜α＜7π4得5π3＜α＋π4＜2π，又cosπ4＋α＝35，所以sinπ4＋α＝－45，tanπ4＋α＝－43.cosα＝cosπ4＋α－π4＝－210，sinα＝－7210，sin2α＝725.所以sin2α＋2sin2α1－tanα＝725×－43＝－2875.](1)给值求值的关键是通过角的三角函数的变换把求解目标用已知条件表达出来．(2)注意π4＋x与π4－x互余，sin2π4＋x＝cos2x，cos2π4－x＝sin2x的灵活应用．给值求角4(1)设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，则2α－β的值为________．(1)C(2)－34π[(1)∵α，β为钝角，sinα＝55，cosβ＝－31010，∴cosα＝－255，sinβ＝1010，∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝22＞0.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈3π2，2π，∴α＋β＝7π4.(2)∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝13＞0，∴0＜α＜π2.又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝34＞0，∴0＜2α＜π2，∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－17＜0，∴π2＜β＜π，－π＜2α－β＜0，∴2α－β＝－3π4.]5通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正切函数值，则选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，则选正弦或余弦函数．若角的范围是0，π2，则选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，则选余弦较好；若角的范围为－π2，π2，则选正弦较好．提醒：求解此类问题时，一定要注意所求角的范围及解题过程中角的范围．1.(2019·安徽六安二模)若sin2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈π4，π，β∈π，3π2，则α＋β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π4A[因为α∈π4，π，且0＜sin2α＝55＜12，所以2α∈5π6，π，所以α∈5π12，π2，cos2α＝－1－sin22α＝－255.因为β∈π，3π2，所以β－α∈π2，13π12，又sin(β－α)＝1010＞0，所以β－α∈π2，π，所以cos(β－α)＝－1－sin2β－α＝－31010.所以cos(α＋β)＝cos[2α＋(β－α)]＝cos2αcos(β－α)－sin2αsin(β－α)＝－255×－31010－55×1010＝22.又α∈5π12，π2，β∈π，3π2，所以α＋β∈17π12，2π，6所以α＋β＝7π4.故选A.]2．已知α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝________.268[∵α∈0，π2，且2sin2α－sinα·cosα－3cos2α＝0，则(2sinα－3cosα)·(sinα＋cosα)＝0，又∵α∈0，π2，sinα＋cosα＞0，∴2sinα＝3cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴cosα＝213，sinα＝313，∴sinα＋π4sin2α＋cos2α＋1＝22sinα＋cosαsinα＋cosα2＋cos2α－sin2α＝24cosα＝268.]考点3三角恒等变换的综合应用三角恒等变换的应用策略(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．(2)把形如y＝asinx＋bcosx化为y＝a2＋b2sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．(2019·浙江高考)设函数f(x)＝sinx，x∈R.(1)已知θ∈[0,2π)，函数f(x＋θ)是偶函数，求θ的值；(2)求函数y＝fx＋π122＋fx＋π42的值域．[解](1)因为f(x＋θ)＝sin(x＋θ)是偶函数，所以对任意实数x都有sin(x＋θ)＝sin(－x＋θ)，即sinxcosθ＋cosxsinθ＝－sinxcosθ＋cosxsinθ，故2sinxcosθ＝0，所以cosθ＝0.7又θ∈[0,2π)，因此θ＝π2或θ＝3π2.(2)y＝fx＋π122＋fx＋π42＝sin2x＋π12＋sin2x＋π4＝1－cos2x＋π62＋1－cos2x＋π22＝1－1232cos2x－32sin2x＝1－32cos2x＋π3.因此，所求函数的值域是1－32，1＋32.(1)求三角函数解析式y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)时要注意φ的取值范围．(2)根据二倍角公式进行计算时，如果涉及开方，则要注意开方后三角函数值的符号．已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－23sinxcosx(x∈R)．(1)求f2π3的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．[解](1)由sin2π3＝32，cos2π3＝－12，得f2π3＝322－－122－23×32×－12＝2.(2)由cos2x＝cos2x－sin2x与sin2x＝2sinxcosx，得f(x)＝－cos2x－3sin2x＝－2sin2x＋π6.所以f(x)的最小正周期是π.由正弦函数的性质，得π2＋2kπ≤2x＋π6≤3π2＋2kπ，k∈Z，解得π6＋kπ≤x≤2π3＋kπ，k∈Z.所以f(x)的单调递增区间为π6＋kπ，2π3＋kπ(k∈Z).