2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 集合间的基本关系学案 新人

11．2集合间的基本关系1．理解子集、真子集、空集的概念．2．能用符号和Venn图表示集合间的关系．3．掌握列举有限集的所有子集的方法．1．子集的概念温馨提示：“A是B的子集”的含义是：对任意x∈A都能推出x∈B.2．集合相等的概念如果集合A的任何一个元素是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么，集合A与集合B相等，记作A＝B.也就是说，若A⊆B且B⊆A，则A＝B.3．真子集的概念2温馨提示：在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.4.空集的概念1．给出下列集合：A＝{a，b，c}，B＝{a，b，c，d，e}．(1)集合A与集合B有什么关系？(2)集合B中的元素与集合A有什么关系？[答案](1)AB(2)a，b，c∈A；d，e∉A2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)空集中只有元素0，而无其余元素．()(2)任何一个集合都有子集．()(3)若A＝B，则A⊆B.()3(4)方程x2＋2＝0的解集为空集∅.()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√题型一集合间关系的判断【典例1】判断下列两个集合之间的关系：(1)A＝{－1,1}，B＝{x|x2＝1}；(2)A＝{x|x是等边三角形}，B＝{x|x是等腰三角形}；(3)A＝{x|－1x4}，B＝{x|x－50}；(4)M＝{x|x＝2n－1，n∈N*}，N＝{x|x＝2n＋1，n∈N*}．[思路导引]集合间基本关系的刻画均是由元素的从属关系决定的．[解](1)用列举法表示集合B＝{－1,1}，故A＝B.(2)等边三角形是三边相等的三角形，等腰三角形是两边相等的三角形，故AB.(3)集合B＝{x|x5}，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图可知AB.(4)解法一(特殊值法)：两个集合都表示正奇数组成的集合，但由于n∈N*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.解法二(列举法)：由列举法知M＝{1,3,5,7，…}，N＝{3,5,7,9，…}，所以NM.判断集合间关系的3种方法(1)列举法：用列举法将两个集合表示出来，再通过比较两集合中的元素来判断两集合之间的关系．(2)元素特征法：根据集合中元素满足的性质特征之间的关系判断．(3)图示法：利用数轴或Venn图判断两集合间的关系．[针对训练]1．设集合M＝{x|x－2}，则下列选项正确的是()A．{0}⊆MB．{0}∈MC．∅∈MD．0⊆M[解析]选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的4关系，符号错误．[答案]A2．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是()[解析]M＝{－1,0,1}，N＝{0，－1}，∴NM.[答案]B题型二有限集合子集、真子集的确定【典例2】(1)填写下表，并回答问题原集合子集子集的个数∅________________{a}________________{a，b}________________{a，b，c}________________由此猜想，含n个元素的集合的所有子集的个数是多少？真子集的个数及非空真子集个数呢？(2)求满足{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M.[解](1)原集合子集子集的个数∅∅1{a}∅，{a}2{a，b}∅，{a}，{b}，{a，b}4{a，b，c}∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}8猜想：含n个元素的集合的子集共有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－25个．(2)由题意可得{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}，可以确定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一个，因此依据集合M的元素个数分类如下：含有三个元素：{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}；含有四个元素：{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}；含有五个元素：{1,2,3,4,5}．故满足题意的集合M为{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,5}，{1,2,3,4}，{1,2,3,5}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．(1)求解有限集合子集问题的3个关键点①确定所求集合，是子集还是真子集．②合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出．③注意两个特殊的集合，即空集和集合本身．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．(2)与子集、真子集个数有关的3个结论假设集合A中含有n个元素，则有：①A的子集的个数为2n个；②A的真子集的个数为2n－1个；③A的非空真子集的个数为2n－2个．[针对训练]3．已知集合M＝{x∈Z|1≤x≤m}，若集合M有4个子集，则实数m＝()A．1B．2C．3D．4[解析]根据题意，集合M有4个子集，则M中有2个元素，又由M＝{x∈Z|1≤x≤m}，其元素为大于等于1而小于等于m的全部整数，则m＝2.[答案]B4．已知集合B＝{a，b，c}，C＝{a，b，d}，集合A满足A⊆B，A⊆C，则满足条件的集合A的个数是________．[解析]若集合A＝∅，满足A⊆B，A⊆C；若集合A≠∅，集合A可能是{a}，{b}，{a，b}．故集合A共4个．[答案]4题型三利用集合间的关系求参数值(或范围)6【典例3】已知集合A＝{x|－3x4}，B＝{x|1－mx≤2m－1}，且A⊆B，求实数m的取值范围．[思路导引]A⊆B，即集合A中的数在集合B中，特别注意A＝∅的情况．[解]由A⊆B，将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示，则1－m≤－3，1－m2m－1，4≤2m－1，解得m≥4.故m的取值范围是{m|m≥4}．[变式](1)本例中若将“A⊆B”改为“B⊆A”，其他条件不变，求m的取值范围．(2)本例若将集合A，B分别改为A＝{3，m2}，B＝{1,3,2m－1}，其他条件不变，求实数m的值．[解](1)由B⊆A，将集合A，B分别表示在数轴上，如图所示．∵B⊆A，∴当B＝∅时，1－m≥2m－1，解得m≤23；当B≠∅时，有2m－11－m，2m－14，1－m≥－3，解得23m52.综上可知，m的取值范围是mm52.(2)由A⊆B，按m2＝1和m2＝2m－1两种情况分类讨论．①若m2＝1，则m＝－1或m＝1.当m＝－1时，B中元素为1,3，－3，适合题意；当m＝1时，B中元素为1,3,1，与元素的互异性矛盾．②若m2＝2m－1，则m＝1，由①知不合题意．综上所述，m＝－1.7由集合间的关系求参数的2种方法(1)当集合为连续数集时，常借助数轴来建立不等关系求解，此时应注意端点处是实点还是虚点．(2)当集合为不连续数集时，常根据集合包含关系的意义，建立方程求解，此时应注意分类讨论思想的运用．[针对训练]5．已知集合A＝{x|1≤x4}，B＝{x|xa}，若AB，求实数a的取值集合．[解]结合数轴，∵AB，∴a≥4，故实数a的取值集合为{a|a≥4}．6．设集合M＝{x|2x2－5x－3＝0}，N＝{x|mx＝1}，若N⊆M，求m的取值集合．[解]集合M＝3，－12.若N⊆M，则N＝{3}或－12或∅.于是当N＝{3}时，m＝13；当N＝－12时，m＝－2；当N＝∅时，m＝0.所以m的取值集合为－2，0，13.课堂归纳小结1．对子集、真子集有关概念的理解(1)集合A中的任何一个元素都是集合B中的元素，即由x∈A能推出x∈B，这是判断A⊆B的常用方法．(2)不能简单地把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为若A＝∅时，则A中不含任何元素；若A＝B，则A中含有B中的所有元素．(3)在真子集的定义中，AB首先要满足A⊆B，其次至少有一个x∈B，但x∉A.2．集合子集的个数求集合的子集问题时，一般可以按照子集元素个数分类，再依次写出符合要求的子集．集合的子集、真子集个数的规律为：含n个元素的集合有2n个子集，有2n－1个真子集，有2n－2个非空真子集．写集合的子集时，空集和集合本身易漏掉．3．由集合间的关系求参数问题的注意点及常用方法(1)注意点：①不能忽视集合为∅的情形；②当集合中含有字母参数时，一般需要分类讨论．8(2)常用方法：对于用不等式给出的集合，已知集合的包含关系求相关参数的范围(值)时，常采用数形结合的思想，借助数轴解答.1．下列四个关系式：①{a，b}⊆{b，a}；②∅＝{∅}；③∅{0}；④0∈{0}．其中正确的个数是()A．4B．3C．2D．1[解析]对于①，任何集合是其本身的子集，正确；对于②，相对于集合{∅}来说，∅∈{∅}，也可以理解为∅⊆{∅}，错误；对于③，空集是非空集合的真子集，故∅{0}正确；对于④，0是集合{0}的元素，故0∈{0}正确．[答案]B2．集合A＝{x|－1≤x2，x∈N}的真子集的个数为()A．4B．7C．8D．16[解析]A＝{－1,0,1}，其真子集为∅，{－1}，{0}，{1}，{－1,0}，{－1,1}，{0,1}，共有22－1＝4(个)．[答案]A3．已知集合A＝{3，－1}，集合B＝{|x－1|，－1}，且A＝B，则实数x等于()A．4B．－2C．4或－2D．2[解析]∵A＝B，∴|x－1|＝3，解得x＝4或x＝－2.[答案]C4．已知集合A⊆{0,1,2}，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为________．[解析]集合{0,1,2}的子集为：∅，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，{0,1,2}，其中含有偶数的集合有6个．[答案]65．设集合A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|m－1≤x≤2m＋1}，已知B⊆A.(1)求实数m的取值范围；(2)当x∈N时，求集合A的子集的个数．[解](1)当m－12m＋1，即m－2时，B＝∅，符合题意．当m－1≤2m＋1，即m≥－2时，B≠∅.由B⊆A，借助数轴(如图)，9得m－1≥－1，2m＋1≤6，解得0≤m≤52.综上所述，实数m的取值范围是mm－2或0≤m≤52.(2)当x∈N时，A＝{0,1,2,3,4,5,6}，∴集合A的子集的个数为27＝128.课后作业(三)复习巩固一、选择题1．下列关系式不正确的是()A．{1}⊆{1,2}B．{0}⊆{1,2}C．{2}⊆{1,2}D．1∈{1,2}[解析]∵0∉{1,2}，∴{0}⊆{1,2}不正确；根据子集的概念可知A，C正确；D显然正确．[答案]B2．下列四个集合中，是空集的是()A．{0}B．{x|x8且x5}C．{x∈N|x2－1＝0}D．{x|x4}[解析]选项A、C、D都含有元素，而选项B中无元素，故选B.[答案]B3．设集合A＝{x|1x2}，B＝{x|xa}，若AB，则实数a的取值范围为()A．{a|a≥2}B．{a|a≤1}C．{a|a≥1}D．{a|a≤2}[解析]在数轴上表示出两个集合(图略)，因为AB，所以a≥2.[答案]A4．若集合A满足A⊆B，A⊆C，B＝{0,1,2,3}，C＝{0,2,4,8}，则满足上述条件的集合A的个数为()A．0B．1C．2D．4[解析]∵A⊆B，A⊆C，∴A中最多能含有0,2两个元素，∴A＝∅，{0}，{2}，{0,2}共4个．[答案]D105．若集合M＝xx＝k2＋14，k∈Z，N＝xx＝k4＋12，k∈Z，则()A．M＝NB．MNC．MND．M与N没有相同元素[解析]M＝xx＝2k＋14，k∈Z，N＝xx＝k＋24，k∈Z.∵k∈Z,2k＋1为奇数，k＋2为整数，∴MN.故选C.[答案]C二、填空题6．集合A＝{2n＋1|n∈Z}，集合B＝{4k±1|k∈Z}，则A与B间的关系是________．[解析]因为整数包括奇数与偶数，所以n＝2k或2k－1(k∈Z)，当n＝2k时，2n＋1＝4k＋1，当n＝2k－1时，2n＋1＝4k－1，故A＝B.[答案]A＝B7．已知非