2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.3.1 并集与交集学案 新人教

1第1课时并集与交集1．理解并集、交集的概念．2．会用符号、Venn图和数轴表示并集、交集．3．会求简单集合的并集和交集．1．并集的概念及表示2.交集的概念及表示温馨提示：(1)两个集合的并集、交集还是一个集合．(2)对于A∪B，不能认为是由A的所有元素和B的所有元素所组成的集合．因为A与B可能有公共元素，每一个公共元素只能算一个元素．(3)A∩B是由A与B的所有公共元素组成，而非部分元素组成．3．并集、交集的运算性质并集的运算性质交集的运算性质2A∪B＝B∪AA∩B＝B∩AA∪A＝AA∩A＝AA∪∅＝AA∩∅＝∅1．已知下列集合：A＝{x|x2－1＝0}，B＝{x∈N|1≤x≤4}，C＝{－1,1,2,3,4}．(1)集合A与集合B各有几个元素？(2)若将集合A与集合B的元素放在一起，构成一个新的集合是什么？(3)集合C中的元素与集合A，B有什么关系？[答案](1)A有2个元素，B有4个元素(2){－1,1,2,3,4}(3)集合A、B中的元素属于集合C2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)A∪B表示由集合A和集合B中元素共同组成的集合．()(2)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合．()(3)并集定义中的“或”就是“和”．()(4)若A∩B＝C∩B，则A＝C.()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×题型一并集的运算【典例1】(1)若集合A＝{0,1,2,3}，B＝{1,2,4}，则集合A∪B等于()A．{0,1,2,3,4}B．{1,2,3,4}C．{1,2}D．{0}(2)已知集合P＝{x|x3}，Q＝{x|－1≤x≤4}，那么P∪Q等于()A．{x|－1≤x3}B．{x|－1≤x≤4}C．{x|x≤4}D．{x|x≥－1}[思路导引]由并集的定义，结合数轴求解．[解析](1)A∪B＝{0,1,2,3,4}，选A.(2)在数轴上表示两个集合，如图．3∴P∪Q＝{x|x≤4}．选C.[答案](1)A(2)C求集合并集的2种方法(1)定义法：若是用列举法表示的数集，可以根据并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果．(2)数形结合法：若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果，此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示．[针对训练]1．已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是()A．{－1,2,3}B．{－1，－2,3}C．{1，－2,3}D．{1，－2，－3}[解析]∵A＝{1，－2}，B＝{－2,3}，∴A∪B＝{1，－2,3}．[答案]C2．若集合M＝{x|－3x≤5}，N＝{x|x－5或x5}，则M∪N＝________.[解析]将－3x≤5，x－5或x5在数轴上表示出来．则M∪N＝{x|x－5或x－3}．[答案]{x|x－5或x－3}题型二交集的运算【典例2】(1)设集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{x|0≤x≤4}，则A∩B等于()A．{x|0≤x≤2}B．{x|1≤x≤2}C．{x|0≤x≤4}D．{x|1≤x≤4}(2)设A＝{x∈N|1≤x≤5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则如图中阴影部分表示的集合为()4A．{2}B．{3}C．{－3,2}D．{－2,3}[思路导引]既属于集合A，又属于集合B的所有元素组成的集合，借助图示方法求解．[解析](1)在数轴上表示出集合A与B，如下图．则由交集的定义可得A∩B＝{x|0≤x≤2}．选A.(2)A＝{x∈N|1≤x≤5}＝{1,2,3,4,5}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，图中阴影部分表示的是A∩B，∴A∩B＝{2}．选A.[答案](1)A(2)A求集合交集的2个注意点(1)求两集合的交集时，首先要化简集合，使集合的元素特征尽量明朗化，然后根据交集的含义写出结果．(2)在求与不等式有关的集合的交集运算中，应重点考虑数轴分析法，直观清晰．[针对训练]3．若A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，则A∩B＝()A．{1,2}B．{0,1}C．{0,3}D．{3}[解析]∵A＝{0,1,2,3}，B＝{x|x＝3a，a∈A}，∴B＝{0,3,6,9}，∴A∩B＝{0,3}．5[答案]C4．设A＝{(x，y)|x＋y＝0}，B＝{(x，y)|x－y＝4}，则A∩B＝________.[解析]A∩B＝{(x，y)|x＋y＝0且x－y＝4}＝x，yx＋y＝0x－y＝4，解方程组x＋y＝0，x－y＝4，得x＝2，y＝－2.∴A∩B＝{(2，－2)}．[答案]{(2，－2)}题型三由集合的并集、交集求参数【典例3】(1)设集合A＝{x|－1xa}，B＝{x|1x3}且A∪B＝{x|－1x3}，求a的取值范围．(2)已知集合A＝{x|－3x≤4}，B＝{x|2－k≤x≤2k－1}，且A∪B＝A，试求k的取值范围．[思路导引](1)画出数轴求解．(2)若A∪B＝A，则B⊆A；若A∩B＝A，则A⊆B.[解](1)如下图所示，由A∪B＝{x|－1x3}知，1a≤3.(2)∵A∪B＝A，∴B⊆A.若B＝∅，则2－k2k－1，得k1；若B≠∅，则2－k≤2k－1，2－k－3，2k－1≤4，解得1≤k≤52.综上所述，k≤52.[变式]本例(2)若将“A∪B＝A”改为“A∩B＝A”，其他条件不变，求k的取值范围．[解]∵A∩B＝A，∴A⊆B.∴2－k≤－3，2k－1≥4，解得k≥5.6由集合交集、并集的性质解题的策略、方法及注意点(1)策略：当题目中含有条件A∩B＝A或A∪B＝B，解答时常借助于交集、并集的定义及集合间的关系去分析，将A∩B＝A转化为A⊆B，A∪B＝B转化为A⊆B.(2)方法：借助数轴解决，首先根据集合间的关系画出数轴，然后根据数轴列出关于参数的不等式(组)，求解即可，特别要注意端点值的取舍．(3)注意点：当题目条件中出现B⊆A时，若集合B不确定，解答时要注意讨论B＝∅的情况．[针对训练]5．已知M＝{1,2，a2－3a－1}，N＝{－1，a,3}，M∩N＝{3}，求实数a的值．[解]∵M∩N＝{3}，∴3∈M,3∈N.∴a2－3a－1＝3，即a2－3a－4＝0，解得a＝－1或a＝4，当a＝－1时，N＝{－1，－1,3}，与元素的互异性矛盾．所以a≠－1.当a＝4时，N＝{－1,4,3}，适合题意．综上，a＝4.6．设集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，集合B＝{x|x2－4x＋a＝0，a为常数}，若A∪B＝A，求实数a的取值范围．[解]由已知得A＝{1,2}，∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴集合B有两种情况：B＝∅或B≠∅.①当B＝∅时，方程x2－4x＋a＝0无实根．∴Δ＝16－4a0，∴a4.②当B≠∅时，若Δ＝0，则有a＝4，此时B＝{2}⊆A满足条件；若Δ0，则1,2是方程x2－4x＋a＝0的两根，但由根与系数的关系知矛盾，∴Δ0不成立，∴当B≠∅时，a＝4.综上可知，a的取值范围是{a|a≥4}.课堂归纳小结1．对并集、交集概念的理解(1)对于并集，要注意其中“或”的意义，“或”与通常所说的“非此即彼”有原则性的区别，它们是“可兼”的．“x∈A，或x∈B”这一条件，包括下列三种情况：x∈A但x∉B；x∈B但x∉A；x∈A且x∈B.因此，A∪B是由两个集合A，B的所有元素组成的集合．(2)A∩B中的元素是“所有”属于集合A且属于集合B的元素，而不是部分，特别地，当集合A和集合B没有公共元素时，不能说A与B没有交集，而是A∩B＝∅.72．集合的交、并运算中的注意事项(1)对于元素个数有限的集合，可直接根据集合的“交”、“并”定义求解，但要注意集合元素的互异性．(2)对于元素个数无限的集合，进行交、并运算时，可借助数轴，利用数轴分析法求解，但要注意端点值能否取到.1．设集合A＝{－1,1,2,3,5}，B＝{2,3,4}，C＝{x∈R|1≤x3}，则(A∩C)∪B＝()A．{2}B．{2,3}C．{－1,2,3}D．{1,2,3,4}[解析]因为A∩C＝{1,2}，所以(A∩C)∪B＝{1,2,3,4}，选D.[答案]D2．集合P＝{x∈Z|0≤x3}，M＝{x∈R|x2≤9}，则P∩M等于()A．{1,2}B．{0,1,2}C．{x|0≤x≤3}D．{x|0≤x3}[解析]由已知得P＝{0,1,2}，M＝{x|－3≤x≤3}，故P∩M＝{0,1,2}．[答案]B3．已知集合A＝{x|x2或x0}，B＝{x|－5x5}，则()A．A∩B＝∅B．A∪B＝RC．B⊆AD．A⊆B[解析]∵A＝{x|x2或x0}，B＝{x|－5x5}，∴A∩B＝{x|－5x0或2x5}，A∪B＝R.故选B.[答案]B4．设集合M＝{x|－3≤x7}，N＝{x|2x＋k≤0}，若M∩N≠∅，则实数k的取值范围为________．[解析]因为N＝{x|2x＋k≤0}＝xx≤－k2，且M∩N≠∅，所以－k2≥－3⇒k≤6.[答案]k≤65．已知集合M＝{x|2x－4＝0}，集合N＝{x|x2－3x＋m＝0}，(1)当m＝2时，求M∩N，M∪N.(2)当M∩N＝M时，求实数m的值．[解](1)由题意得M＝{2}．当m＝2时，N＝{x|x2－3x＋2＝0}＝{1,2}，8则M∩N＝{2}，M∪N＝{1,2}．(2)∵M∩N＝M，∴M⊆N.∵M＝{2}，∴2∈N.∴2是关于x的方程x2－3x＋m＝0的解，即4－6＋m＝0，解得m＝2.由(1)知，M∩N＝{2}＝M，适合题意，故m＝2.课后作业(四)复习巩固一、选择题1．已知集合A＝{x|x0}，B＝{x|－1≤x≤2}，则A∪B＝()A．{x|x≥－1}B．{x|x≤2}C．{x|0x≤2}D．{x|－1≤x≤2}[解析]借助数轴易得A∪B＝{x|x≥－1}．[答案]A2．若集合A＝{x|－5x2}，B＝{x|－3x3}，则A∩B＝()A．{x|－3x2}B．{x|－5x2}C．{x|－3x3}D．{x|－5x3}[解析]由交集的定义知A∩B＝{x|－5x2}∩{x|－3x3}＝{x|－3x2}．故选A.[答案]A3．A＝{x∈N|1≤x≤10}，B＝{x∈R|x2＋x－6＝0}，则右图中阴影部分表示的集合为()A．{2}B．{3}C．{－3,2}D．{－2,3}[解析]注意到集合A中的元素为自然数，因此A＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，而B＝{－3,2}，因此阴影部分表示的是A∩B＝{2}，故选A.[答案]A4．设集合A＝{a，b}，B＝{a＋1,5}，若A∩B＝{2}，则A∪B等于()A．{1,2}B．{1,5}C．{2,5}D．{1,2,5}[解析]∵A∩B＝{2}，∴2∈A,2∈B，9∴a＋1＝2，∴a＝1，b＝2，即A＝{1,2}，B＝{2,5}，∴A∪B＝{1,2,5}，故选D.[答案]D5．设集合A＝{x|－1≤x2}，B＝{x|xa}，若A∩B≠∅，则a的取值范围是()A．a2B．a－2C．a－1D．－1a≤2[解析]∵A＝{x|－1≤x2}，B＝{x|xa}，要使A∩B≠∅，借助数轴可知a－1.[答案]C二、填空题6．满足{0,1}∪A＝{0,1,2}的所有集合A的个数为________．[解析]由{0,1}∪A＝{0,1,2}可知A＝{2}或A＝{0,2}或A＝{1,2}或A＝{0,1,2}，共4个．[答案]47．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为________．[解析]集合A的含义是被3除余2的正整数组成的集合，在集合B中，8,14被3除余2，故A∩B＝{8,14}，其中有2个元素．[答案]28．已知集合A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1x2m－1}，