2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 立体几何中的向量方法 3.2.3

-1-3.2.3利用空间向量求空间角、空间距离问题1．空间角及向量求法角的分类向量求法范围异面直线所成的角设两异面直线所成的角为θ，它们的方向向量为a，b，则cosθ＝□01|cos〈a，b〉|＝□02|a·b||a||b|□030，π2直线与平面所成的角设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则sinθ＝□04|cos〈a，n〉|＝□05|a·n||a||n|□060，π2二面角设二面角α－l－β的平面角为θ，平面α，β的法向量为n1，n2，则|cosθ|＝□07|cos〈n1，n2〉|＝□08|n1·n2||n1||n2|□09[0，π]2．空间距离的向量求法分类向量求法两点距设A，B为空间中任意两点，则d＝□10|AB→|点面距设平面α的法向量为n，B∉α，A∈α，则B点到平面α的距离d＝□11|BA→·n||n|1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等．()(2)直线l∥平面α，则直线l到平面α的距离就是直线l上的点到平面α的距离．()(3)若平面α∥β，则两平面α，β的距离可转化为平面α内某条直线到平面β的距离，也可转化为平面α内某点到平面β的距离．()答案(1)×(2)√(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小-2-为________．(2)(教材改编P111A组T11)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是C1C的中点，O是底面ABCD的中点，P是A1B1上的任意点，则直线BM与OP所成的角为________．(3)已知平面α的一个法向量为n＝(－2，－2,1)，点A(－1,3,0)在平面α内，则点P(－2,1,4)到平面α的距离为________．答案(1)45°或135°(2)π2(3)103解析(2)建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则O(1,1,0)，P(2，x,2)，B(2,2,0)，M(0,2,1)，则OP→＝(1，x－1,2)，BM→＝(－2,0,1)．所以OP→·BM→＝0，所以直线BM与OP所成角为π2.-3-探究1利用空间向量求线线角例1如图1，已知两个正四棱锥P－ABCD与Q－ABCD的高分别为1和2，AB＝4.求异面直线AQ与PB所成角的余弦值．[解]由题设知，ABCD是正方形，连接AC，BD，交于点O，则AC⊥BD.连接PQ，则PQ过点O.由正四棱锥的性质知PQ⊥平面ABCD，故以O为坐标原点，以直线CA，DB，QP分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系(如图2)，则P(0,0,1)，A(22，0,0)，Q(0,0，－2)，B(0,22，0)，∴AQ→＝(－22，0，－2)，PB→＝(0,22，－1)．于是cos〈AQ→，PB→〉＝AQ→·PB→|AQ→||PB→|.