2019-2020学年高中数学 第三章 概率 3.2 古典概型 3.2.1 古典概型的特征和概率计算

-1-3.2.1古典概型的特征和概率计算公式3.2.2建立概率模型[航向标·学习目标]1．理解古典概型的两个基本特征．2．掌握古典概型的概念及概率的计算公式．[读教材·自主学习]1．基本事件：一次试验中可能出现的□01每一个结果称为一个基本事件．2．基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是不可能同时发生的．一次试验中，只可能出现一种结果，即出现一个基本事件．(2)任何事件都可以表示成基本事件的和．3．古典概型：(1)试验的所有可能结果只有□02有限个，每次试验只出现其中的一个结果．(2)每一个试验结果出现的可能性□03相同．我们把具有这样两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型．4．古典概型的计算公式：对于古典概型，通常试验中的某一事件A是由几个基本事件组成，如果试验的所有可能结果(基本事件)数为n，随机事件A包含的基本事件数为m，那么事件A的概率规定为□04P(A)＝mn.[看名师·疑难剖析]1．古典概型试验有两个共同的特征(1)有限性：在一次试验中，可能出现的结果是有限个，即只有有限个不同的基本事件．(2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的．2．古典概型的概率公式(等可能性事件的概率)(1)若试验的结果是由n个基本事件组成，并且每个基本事件的发生是等可能的，而随机事件A包含的基本事件数为m，则由互斥事件的概率加法公式可得：所以古典概型中，P(A)＝A包括的基本事件个数总的基本事件个数.这就是概率的古典定义．(2)用集合观点来理解事件A与基本事件的关系(如下图)：在一次试验中，等可能出现n-2-个结果组成一个集合I，这n个结果就是集合I的n个元素，各基本事件均对应于集合I的含有1个元素的子集，包含每个结果的事件A对应于I的含有m个元素的子集A.因此从集合的角度看，事件A的概率是子集A的元素个数(记作card(A))与集合I的元素个数(记作card(I))的比值，即P(A)＝cardAcardI＝mn.考点一基本事件的计数问题例1一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出两只球．(1)共有多少个基本事件？(2)两只都是白球包含几个基本事件？[分析]由题目可获取以下主要信息：①本次摸球事件中共有5只球，其中3只白球，2只黑球．②题目中摸球的方式为一次摸出两只球，每只球被摸取是等可能的．解答本题可先列出摸出两球的所有基本事件，再数出均为白球的基本事件数．[解](1)解法一：采用列举法分别记白球为1、2、3号，黑球为4、5号，有以下基本事件：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(2,3)、(2,4)、(2,5)、(3,4)、(3,5)、(4,5)共10个(其中(1,2)表示摸到1号，2号时)．解法二：采用列表法设5只球的编号为：a、b、c、d、e，其中a，b，c为白球，d，e为黑球．列表如下：-3-由于每次取两个球，每次所取两个球不相同，而摸(b，a)与(a，b)是相同的事件，故共有10个基本事件．(2)解法一中“两只都是白球”包括(1,2)(1,3)(2,3)三种．解法二中，包括(a，b)，(b，c)，(c，a)三种．类题通关求基本事件个数常用列举法、列表法、树状图法来解决，并且注意以下几个方面：①用列举法时要注意不重不漏；②用列表法时注意顺序问题；③树状图法若是有顺序问题时，只做一个树状图然后乘以元素个数．[变式训练1]连续掷3枚均匀硬币，观察落地后这3枚硬币出现正面还是反面．(1)请写出这个试验的所有基本事件；(2)“恰有两枚正面向上”这个事件包含哪几个基本事件？解(1)这个试验的所有基本事件为：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．(2)“恰有两枚正面向上”包含以下3个基本事件：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．考点二古典概型的判断例2下列概率模型中，是古典概型的个数为()(1)从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率；(2)从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率；(3)在一个正方形ABCD内画一点P，求P刚好与点A重合的概率；(4)抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率．A．1B．2C．3D．4[解析]第1个概率模型不是古典概型，因为从区间[1,10]内任意取出一个数，有无数个对象可取，所以不满足“有限性”．第2个概率模型是古典概型，因为试验结果只有10个，-4-而且每个数被抽到的可能性相等，即满足有限性和等可能性；第3个概率模型不是古典概型．第4个概率模型也不是古典概型，因为硬币不均匀，因此两面出现的可能性不相等．[答案]A类题通关一个试验是否为古典概型，关键是看这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，即判断试验是否同时满足这两个特征或条件.[变式训练2]判断下列试验是否是古典概型，并说明理由．(1)同时抛掷两枚质地均匀的骰子，求点数和为7的概率；(2)求近三天中有一天降雨的概率；(3)10个人(包括甲和乙)站成一排，求其中甲、乙相邻的概率．解(1)、(3)为古典概型．因为都适合古典概型的两个特征：有限性和等可能性，而(2)不适合等可能性，故不为古典概型．考点三古典概型的概率计例3袋中装有6个小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．[分析]求古典概型的概率应按下面四个步骤进行：(1)仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；(2)判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；(3)分别求出基本事件的总数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；(4)利用公式P(A)＝mn求出事件A的概率．[解]设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编号为5、6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．(1)从袋中的6个球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两个的方法总数，共有6个．即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．∴取出的两个小球全是白球的概率为P(A)＝615＝25.(2)从袋中的6个球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．∴取出的两个球一个是白球，另一个是红球的概率为815.[变式训练3]先后抛掷两颗骰子，求：-5-(1)点数之和是4的倍数的概率；(2)点数之和大于5小于10的概率．解从图中容易看出基本事件与所描点一一对应共36种．(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)．所以P(A)＝14.(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个．即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3)．所以P(B)＝59.[例](12分)甲、乙两校各有3名教师报名支教，其中甲校2男1女，乙校1男2女．(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师性别相同的概率；(2)若从报名的6名教师中任选2名，写出所有可能的结果，并求选出的2名教师来自同一学校的概率．(一)精妙思路点拨-6-(二)分层规范细解(1)甲校两名男教师分别用A，B表示，女教师用C表示；乙校男教师用D表示，两名女教师分别用E，F表示．从甲校和乙校报名的教师中各任选1名①的所有可能的结果为：A，D，A，E，A，F，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，共9种.②2分从中选出两名教师性别相同的结果有：(A，D)，(B，D)，(C，E)，(C，F)共4种.4分选出的两名教师性别相同的概率为P＝49.6分(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名①的所有可能的结果为：A，B，A，C，A，D，A，E，A，F，B，C，B，D，B，E，B，F，C，D，C，E，C，F，D，E，D，F，E，F，共15种.②8分从中选出两名教师来自同一学校的结果有：(A，B)，(A，C)，(B，C)，(D，E)，(D，F)，(E，F)共6种，10分选出的两名教师来自同一学校的概率为P＝615＝25.12分(三)来自一线的报告通过阅卷后分析，对解答本题的失分警示和解题启示总结如下：(注：此处的①②见分层规范细解过程)-7-(四)类题练笔掌握用红、黄、蓝三种不同颜色给下图中3个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，求：(1)3个矩形颜色都相同的概率；(2)3个矩形颜色都不同的概率．解所有可能的基本事件共有27个，如图所示：-8-(1)记“3个矩形都涂同一种颜色”为事件A，由图知，事件A的基本事件有3个，故P(A)＝327＝19.(2)记“3个矩形颜色都不同”为事件B，由图可知，事件B的基本事件有6个，故P(B)＝627＝29.(五)解题设问(1)本题是古典概型吗？________.(2)用哪种方法列举所有可能的基本事件最方便、最合适？________.答案(1)是(2)树状图法1.袋中有2个红球，2个白球，2个黑球，从里面任意摸2个小球，________不是基本事-9-件．()A.{正好2个红球}B．{正好2个黑球}C.{正好2个白球}D．{至少1个红球}答案D解析至少1个红球包含：一红一白或一红一黑或2个红球，所以{至少1个红球}不是基本事件，其他事件都是基本事件.2.下列对古典概型的说法中正确的是()①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个②每个事件出现的可能性相等③每个基本事件出现的可能性相等④基本事件总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝knA.②④B．①③④C.①④D．③④答案B解析②中所说的事件不一定是基本事件，所以②不正确；根据古典概型的特点及计算公式可知①③④正确.3.从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________.答案13解析本题主要考查古典概型．采用枚举法：从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，基本事件为：{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共6个，符合“一个数是另一个数的两倍”的基本事件有{1,2}，{2,4}，共2个，所以所求的概率为13.4.盒子里共有大小相同的3只白球，1只黑球．若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是________.答案12解析设3只白球为A，B，C,1只黑球为d，则从中随机摸出两只球的情形有：AB，AC，Ad，BC，Bd，Cd，共6种，其中两只球颜色不同的有3种，故所求概率为12.5.抛掷一枚骰子，设正面出现的点数为x，(1)求出x的可能取值情况(即全体基本事件).(2)下列事件由哪些基本事件组成(用x的取值回答).-10-①x的取值为2的倍数(记为事件A)；②x的取值大于3(记为事件B)；③x的取值不超过2(记为事件C)；④x的取值是质数(记为事件D).(3)判断(2)中的事件是否为古典概型，并求其概率.解根据定义判断.(1)1,2,3,4,5,6；(2)①事件A为2,4,6；②事件B为4,5,6；③事件C为1,2；④事件D为2,3,5；(3)是古典概型，其中P(A)＝36＝12，P(B)＝36＝12，P(C)＝26＝13，P(D)＝36＝12.