2019-2020学年高中数学 第一章 立体几何初步章末复习学案 北师大版必修2

1第一章立体几何初步知识网络构建高频考点例析考点一空间几何体的直观图和三视图例1一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．[解析]由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长宽高分别为4,3,1的长方体，它的体积V＝1×π×12＋4×3×1＝12＋π.[答案]12＋π类题通法由三视图求几何体的表面积与体积的综合题，是新课标高考题的一个热点，解这类题往往由三视图想象原貌，考察其结构特征及其组合状况，再根据三视图中所标基本量，利用面积、体积公式计算结果.[变式训练1]一个棱锥的三视图如图，求该棱锥的表面积(单位：cm2)．2解如图所示三棱锥的直观图．AO⊥底面BCD，O点为BD的中点，BC＝CD＝6，BC⊥CD，AO＝4，AB＝AD.S△BCD＝6×6×12＝18，S△ABD＝12×62×4＝122.取BC中点为E.连接AE、OE.可得AO⊥OE，AE＝AO2＋OE2＝42＋32＝5，∴S△ABC＝S△ACD＝12×6×5＝15，∴S表＝18＋122＋15＋15＝48＋122(cm2)．考点二平行问题例2如下图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，H为BC的中点，求证：FH∥平面EDB.[证明]连接AC交BD于点G，则G为AC的中点．3连接EG，GH，∵H为BC的中点，∴GH綊12AB.又EF綊12AB，∴EF綊GH，∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH，∵EG平面EDB，FH⊆/平面EDB，∴FH∥平面EDB.类题通法在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理.特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，遵循规律而不受制于规律.[变式训练2]如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B、D1D、DA的中点．求证：平面AD1E∥平面BGF.证明∵E，F分别是B1B和D1D的中点，∴D1F綊BE，∴BED1F是平行四边形，∴D1E∥BF，又∵D1E⊆/平面BGF，BF平面BGF，∴D1E∥平面BGF.∵FG是△DAD1的中位线，∴FG∥AD1.又AD1⊆/平面BGF，FG平面BGF，∴AD1∥平面BGF.4又∵AD1∩D1E＝D1，∴平面AD1E∥平面BGF.考点三垂直问题例3如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是正方形，SA⊥平面ABCD，且SA＝AB，点E是AB的中点，点F是SC的中点．求证：(1)EF⊥CD；(2)平面SCD⊥平面SCE.[证明](1)如图，连接AF，BF，AC，由已知SA⊥平面ABCD，且AC平面ABCD，得到SA⊥AC.在Rt△SAC中，点F是SC的中点，则AF＝12SC.由于底面ABCD是正方形，则AB⊥BC.又SA⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.所以BC⊥平面SAB.所以SB⊥BC.在Rt△SBC中，点F是SC的中点，则BF＝12SC，故AF＝BF.由点E是AB的中点，得到EF⊥AB，而AB∥CD，所以EF⊥CD.(2)由已知SA⊥平面ABCD，且AB平面ABCD，得到SA⊥AB.由于底面ABCD是正方形，5则AB⊥BC.又SA＝AB，所以Rt△SAE≌Rt△CBE.所以SE＝CE.而点F是SC的中点，则EF⊥SC.结合(1)EF⊥CD，且SC∩CD＝C，所以EF⊥平面SCD.因为EF平面SCE，故平面SCD⊥平面SCE.类题通法要证两平面垂直，最常用的办法是用判定定理.证一个平面内的一条直线垂直于另一平面，而线垂直面的证明关键在于找到面内有两条相交直线垂直已知直线.要善于运用题目给出的信息，通过计算挖掘题目的垂直与平行关系，这是一种非常重要的思想方法，它可以使复杂问题简单化.[变式训练3]如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB中点，过A，D，N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.证明(1)∵AD∥BC，BC平面PBC，AD⊆/平面PBC，∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.∴MN∥BC.又N为PB中点，∴点M为PC的中点．∴MN綊12BC.又E为AD的中点，AD綊BC，∴四边形DENM为平行四边形．6∴EN∥DM.又DM平面PDC，EN⊆/平面PDC，∴EN∥平面PDC.(2)连接PE、BE.∵四边形ABCD为边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又PE⊥AD，BE∩PE＝E，∴AD⊥平面PEB.∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.(3)由(2)结论可知AD⊥PB，又PA＝AB且N为PB的中点，∴AN⊥PB.又AD∩AN＝A，∴PB⊥平面ADMN.∵PB平面PBC，∴平面PBC⊥平面ADMN.考点四表面积、体积的计算例4正三棱锥的高为1，底面边长为26，内有一个球与它的四个面都相切(如右图)．求：(1)棱锥的表面积；(2)内切球的表面积与体积．[解](1)底面正三角形内中心到一边的距离为13×32×26＝2，则正棱锥侧面的斜高为1222＝3.∴S侧＝3×12×26×3＝92.∴S表＝S侧＋S底＝92＋12·32(26)2＝92＋63.7(2)设正三棱锥P－ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴VP－ABC＝VO－PAB＋VO－PBC＋VO－PAC＋VO－ABC＝13·S侧·r＋13S△ABC·r＝13S表·r＝(32＋23)r.又VP－ABC＝13×12×32(26)2×1＝23，∴(32＋23)r＝23，得r＝2332＋23＝2332－2318－12＝6－2.S内切球＝4π(6－2)2＝(40－166)π.V内切球＝43π(6－2)3＝83(96－22)π.类题通法对于规则几何体的表面积和体积问题，可以直接利用公式进行求解.在求解时首先判断几何体的形状及其结构特征，确定几何体的基本量，然后合理选择公式求解.常考查的几何体有长方体、直四棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球等，多与几何体的三视图相结合，需要利用三视图确定几何体的形状和基本量.组合体的表面积与体积，分割转化成柱、锥、台、球的表面积与体积.[变式训练4]已知△ABC的三边长分别是AC＝3，BC＝4，AB＝5.以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得旋转体的表面积和体积．解如图在△ABC中，过C作CD⊥AB，垂足为D.8∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.∴△ACD∽△ABC，∴ACAB＝CDBC，∴CD＝125，记r＝125.△ABC以AB为轴旋转所得旋转体是两个同底的圆锥，且底半径r＝125，母线长AC＝3，BC＝4.∴S表面积＝πr(AC＋BC)＝π×125×(3＋4)＝845π，V＝13πr2(AD＋BD)＝13πr2AB＝13π×1252×5＝485π，∴所求旋转体表面积是845π，体积是485π.思想方法一、转化与化归思想的应用运用转化与化归的思想寻求解题思路时，常用如下几种策略：(1)已知与未知的转化．由已知想可知，由未知想需知，通过联想，寻找解题途径．(2)正面与反面的转化．在处理某一问题，按照习惯思维方式从正面思考而遇到困难，甚至不可能时，用逆向思维的方法去解决，往往能达到突破性的效果．(3)数与形的转化．数形结合其实质是将抽象的数学语言与直观的图形相结合，可以使许多概念和关系直观而形象，有利于解题途径的探求．(4)一般与特殊的转化，特殊问题的解决往往是比较容易的，可以利用特殊中内含的本质联系，通过归纳演绎，得出一般结论，从而使问题得以解决．(5)复杂与简单的转化．把一个复杂的、陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题来解决，这是数学解题的一条重要原则．例1设三棱柱ABC－A1B1C1的体积为V，P，Q分别是侧棱AA1，CC1上的点，且PA＝QC1，则四棱锥B－APQC的体积为()9A.16VB.14VC.13VD.12V[解析]特殊化法，取直棱柱且P，Q为侧棱的中点，连接AQ，则VB－APQC＝2VB－AQC＝2VQ－ABC＝2·13S△ABC·QC＝2·13S△ABC·12C1C＝13S△ABC·C1C＝13V.[答案]C二、分类讨论思想的应用分类讨论的思想是指在研究和解决数学问题时，根据数学对象的本质属性的相同点和不同点，将对象分为不同种类，然后分类进行研究和解决，从而达到研究和解决全问题的思想方法．它是一种重要的思想方法，其特点是一种逻辑划分，在研究和解决数学问题时要搞清为什么要进行分类讨论，如何科学地划分分类标准．实施分类时，应遵循科学的逻辑原则，才能做到既不重复也不遗漏．例2给出下列说法，其中正确的两个说法是()①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行；②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点的连线平行于这两个平面；③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α；④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．A．①②B．②③C．③④D．②④[解析]①错误，如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交．②正确，如图(1)，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分别为AB、CD的中点，过C作CG∥AB交平面β于G，连接BG、GD.设H是CG的中点，则EH∥BG，HF∥GD.∴EH∥平面β，HF∥平面β.∴平面EHF∥平面β∥平面α.∴EF∥α，EF∥β.10③错误，直线n可能在平面α内．④正确，如图(2)，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一的．[答案]D三、整体思想的应用所谓整体性思维就是在探究数学问题时，应研究问题的整体形式，整体结构或对问题的数的特征、形的特征、结构特征作出整体性处理．整体思维的含义很广，根据问题的具体要求，需对代数式作整体变换，或整体代入，也可以对图形作整体处理．例3全面积为11，十二条棱长度之和为24，求这个长方体的一条对角线长．[解]设此长方体的长、宽、高分别为x，y，z，体对角线长为l，则由题意得2xy＋yz＋zx11，4x＋y＋z24，由4(x＋y＋z)＝24得x＋y＋z＝6，从而长方体的体对角线长l＝x2＋y2＋z2＝x＋y＋z2－2xy＋yz＋zx＝62－11＝5.所以该长方体的体对角线长为5.四、函数与方程思想的应用1．函数方程的思想是思考与解决数学问题的重要思想，它融汇了待定系数法、配方法、换元法、反证法等基本数学方法及数形结合、分类与整合、转化与化归等重要思想．2.函数、方程历来都是高考考查的重点内容，已成为高考永恒的热点，且常考常新．3.最值问题转化成二次函数问题是立体几何与代数相结合的典范，应体会方法的应用技巧．例4如图，一块矩形形状的太阳能吸光板安装在三棱锥形状的支撑架上，矩形EFGH的四个顶点分别在边AB、BC、CD、AD上，已知AC＝a，BD＝b，则E、F、G、H在什么位置时吸光板的吸光量最大？[解]吸光板的吸光量的多少，取决于矩形EFGH的面积，设EH＝x，EF＝y，在矩形EFGH中，EH∥FG，又EH⊆/平面BCD，FG平面BCD.∴EH∥平面BCD，而EH平面ABD，平面ABD∩平面BCD＝BD，∴EH∥BD，同理可证EF∥AC.11∴xb＝AEAB，ya＝BEAB，∴xb＋ya＝AE＋BEAB＝1，又矩形EFGH的面积为S＝xy，即S＝a1－xb·x＝－abx2＋ax(0xb)，∴当x＝－a2－ab＝b2时，S有最大值，此时y＝a2.∴当E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点时，吸光板的吸光量最大．五、数形结合思想在