2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.5 函数的应用（二） 4.5.

-1-第2课时建立函数模型解决实际问题(教师独具内容)课程标准：结合现实情境中的具体问题，会选择合适的函数模型来解决问题．教学重点：建立函数模型解决实际问题．教学难点：建立函数模型．【知识导学】知识点一用函数模型解决实际问题的步骤(1)□01审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，用函数刻画实际问题，初步选择模型．(2)□02建模：将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的函数模型．(3)□03求模：求解函数模型，得到数学结论．(4)□04还原：利用数学知识和方法得出的结论还原到实际问题中．可将这些步骤用框图表示如下：知识点二数据拟合(1)定义：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．(2)数据拟合的步骤①以所给数据作为点的坐标，在平面直角坐标系中绘出各点；②依据点的整体特征，猜测这些点所满足的函数形式，设其一般形式；③取特殊数据代入，求出函数的具体解析式；④做必要的检验．-2-【新知拓展】1．常见的函数模型2．分段函数模型：y＝fx，x∈I1，gx，x∈I2.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)能用指数型函数f(x)＝abx＋c(a，b，c为常数，a0，b1)表达的函数模型，称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函数．()(2)函数y＝12·3x＋1属于幂函数模型．()(3)当a＞1，n＞0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有logax＜xn＜ax成立．()(4)当x100时，函数y＝10x－1比y＝lgx增长的速度快．()答案(1)√(2)×(3)×(4)√2．做一做(1)某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表：则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是()-3-A．y＝2x－1B．y＝x2－1C．y＝2x－1D．y＝1.5x2－2.5x＋2(2)如图所示的曲线反映的是________函数模型的增长趋势．(3)已知直角梯形ABCD如图所示，CD＝2，AB＝4，AD＝2，线段AB上有一点P，过点P作AB的垂线l，当点P从点A运动到点B时，记AP＝x，l截直角梯形的左边部分面积为y，则y关于x的函数关系式为________．答案(1)D(2)对数(3)y＝2x，0≤x≤2，－12x－42＋6，2x≤4题型一函数模型的选择问题例1某学校为了实现60万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随生源利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x，其中哪个模型符合该校的要求？[解]借助工具作出函数y＝3，y＝0.2x，y＝log5x，y＝1.02x的图象(如图所示)，观察图象可知，在区间[5,60]上，y＝0.2x，y＝1.02x的图象都有一部分在直线y＝3的上方，只有y＝log5x的图象始终在y＝3和y＝0.2x的下方，这说明只有按模型y＝log5x进行奖励才符合学校的要求．-4-金版点睛不同函数模型的选取标准(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；(2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律；(3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律；(4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[跟踪训练1]据调查：人类在能源利用与森林砍伐中使CO2浓度增加．据测，2015年、2016年、2017年大气中的CO2浓度分别比2014年增加了1个单位，3个单位，6个单位．若用一个函数模型每年CO2浓度增加的单位数y与年份增加数x的关系，模拟函数可选用二次函数f(x)＝px2＋qx＋r(其中p，q，r为常数)或函数g(x)＝a·bx＋c(其中a，b，c为常数)，又知2018年大气中的CO2浓度比2014年增加了16.5个单位，请问用以上哪个函数作模拟函数较好？解若以f(x)＝px2＋qx＋r作模拟函数，则依题意，得p＋q＋r＝1，4p＋2q＋r＝3，9p＋3q＋r＝6，解得p＝12，q＝12，r＝0.∴f(x)＝12x2＋12x.若以g(x)＝a·bx＋c作模拟函数，-5-则ab＋c＝1，ab2＋c＝3，ab3＋c＝6.解得a＝83，b＝32，c＝－3.∴g(x)＝83·32x－3.利用f(x)，g(x)对2018年CO2浓度作估算，则其数值分别为f(4)＝10单位，g(4)＝10.5单位，∵|f(4)－16.5||g(4)－16.5|，故g(x)＝83·32x－3作模拟函数与2018年的实际数据较为接近，用g(x)＝83·32x－3作模拟函数较好.题型二建立函数模型解决实际问题例2某工厂生产某种产品，每件产品的出厂价为50元，其成本价为25元，因为在生产过程中平均每生产一件产品有0.5立方米污水排出，为了净化环境，工厂设计了两套方案对污水进行处理，并准备实施．方案一：工厂的污水先净化处理后再排出，每处理1立方米污水所用原料费为2元，并且每月排污设备损耗费为30000元；方案二：工厂将污水排到污水处理厂统一处理，每处理1立方米污水需付14元的排污费，问：(1)工厂每月生产3000件产品时，你作为厂长，在不污染环境，又节约资金的前提下应选择哪种方案？通过计算加以说明；(2)若工厂每月生产6000件产品，你作为厂长，又该如何决策呢？[解]设工厂每月生产x件产品时，选择方案一的利润为y1，选择方案二的利润为y2，由题意知y1＝(50－25)x－2×0.5x－30000＝24x－30000.y2＝(50－25)x－14×0.5x＝18x.(1)当x＝3000时，y1＝42000，y2＝54000，∵y1y2，∴应选择方案二处理污水．(2)当x＝6000时，y1＝114000，y2＝108000，∵y1y2，∴应选择方案一处理污水．金版点睛建立函数模型是为了预测和决策，预测准不准主要看建立的函数模型与实际的拟合程度.-6-而要获得好的拟合度，就需要丰富、详实的数据.[跟踪训练2]某公司预投资100万元，有两种投资可供选择：甲方案年利率10%，按单利计算，5年后收回本金和利息；乙方案年利率9%，按每年复利一次计算，5年后收回本金和利息．哪种投资更有利？这种投资比另一种投资5年可多得利息多少万元？(结果精确到0.01万元)解按甲方案，每年利息100×10%＝10,5年后本息合计150万元；按乙方案，第一年本息合计100×1.09，第二年本息合计100×1.092，…，5年后本息合计100×1.095≈153.86万元．故按乙方案投资5年可多得利息3.86万元，更有利.题型三用分段函数模型解决实际问题例3提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/小时)[解](1)由题意，当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b，由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.故函数v(x)的表达式为v(x)＝60，0≤x≤20，13200－x，20x≤200.(2)依题意并结合(1)可得f(x)＝60x，0≤x≤20，13x200－x，20x≤200.-7-当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，f(x)在区间[0,20]上取得最大值60×20＝1200；当20x≤200时，f(x)＝13x(200－x)＝－13(x－100)2＋100003≤100003，当且仅当x＝100时，等号成立．所以当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值100003.综上可得，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333.即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．金版点睛解决分段函数问题需注意的几个问题(1)所有分段的区间的并集就是分段函数的定义域．(2)求分段函数的函数值时，先要弄清自变量在哪个区间内取值，然后再用该区间上的解析式来计算函数值．(3)求分段函数的最值时，先求函数在每一段范围内的最值，然后比较这几个最值的大小，最后求出分段函数的最值．[跟踪训练3]为了预防流感，某学校对教室用过氧乙酸熏蒸进行消毒．已知药物在释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间t(小时)成正比，药物释放完毕后，y与t的函数关系式为y＝116t－a(a为常数)，如图所示．(1)从药物释放开始，写出y与t的函数关系式；(2)据测定，当教室空气中的含药量降低到每立方米0.25毫克以下时，学生可进教室，-8-问这次消毒多久后学生才能回到教室．解(1)由图象可知，当0≤t≤0.1时，y＝10t；当t＝0.1时，由1＝1160.1－a，得a＝0.1，∴当t0.1时，y＝116t－0.1.∴y＝10t，0≤t≤0.1，116t－0.1，t0.1.(2)由题意可知，116t－0.10.25，解得t0.6，即这次消毒0.6×60＝36(分钟)后，学生才能进教室.题型四建立拟合函数模型解决实际问题例418世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表：他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置，在土星外面的行星与太阳的距离大约是多少？[解]由数值对应表作散点图如图．由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·bx＋C．-9-代入(1,0.7)，(2,1.0)，(3,1.6)得ab＋c＝0.7，①ab2＋c＝1.0，②ab3＋c＝1.6，③(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②，得2a＋c＝0.7，4a＋c＝1.0，解得a＝320，c＝25，∴f(x)＝320·2x＋25.∵f(5)＝265＝5.2，f(6)＝10，∴符合对应表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6，所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处．在土星外面的行星与太阳的距离大约是19.6天文单位．金版点睛对于此类实际应用问题，关键是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题．函数拟合与预测的一般步骤是：(1)能够根据原始数据、表格，绘出散点图．(2)通过考察散点图，画出“最贴近”的直线或曲线，即拟合直线或拟合曲线．如果所有实际点都落到了拟合直线或曲线上，滴“点”不漏，那么这将是个十分完美的事情，但在实际应用中，这种情况一般不会发生．因此，使实际点尽可能均匀分布在直线或曲线两侧，使两侧的点数大体相等，得出的拟合直线或拟合曲线就是“最贴近”的了．(3)根据所学函数知识，求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式