2019-2020学年高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空

-1-3．1.1空间向量及其加减运算1．空间向量(1)定义□01在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度□02向量的大小叫做向量的长度或□03模．(3)表示方法(4)几类特殊的空间向量①零向量：□08规定长度为0的向量叫做零向量，记为□090.②单位向量：□10模为1的向量称为单位向量．③相反向量：□11与向量a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量，记为□12－a.④相等向量：□13方向相同且模相等的向量称为相等向量．在空间，同向且等长的有向线段表示□14同一向量或□15相等向量．2．空间向量的加减法(1)定义类似平面向量，定义空间向量的加、减法运算(如图)：-2-OB→＝OA→＋AB→＝□16a＋b；CA→＝OA→－OC→＝□17a－b.(2)加法运算律①交换律：a＋b＝□18b＋a；②结合律：(a＋b)＋c＝□19a＋(b＋c)．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有向线段可用来表示空间向量，有向线段长度越长，其所表示的向量的模就越大．()(2)空间两非零向量相加时，一定可用平行四边形法则运算．()(3)0向量是长度为0，没有方向的向量．()(4)若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b.()答案(1)√(2)×(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________．(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，DD1→－AB→＋BC→化简后的结果是________．(3)如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1，化简下列向量的表达式：①AA1→－CB→＝________.②AB1→＋B1C1→＋C1D1→＝________.③12AD→＋12AB→－12A1A→＝________.(4)(教材改编P86T3)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别为AB，B1C的中点．用AB→，-3-AD→，AA1→表示向量MN→，则MN→＝________.答案(1)球面(2)BD1→(3)①AD1→②AD1→③12AC1→(4)12AB→＋12AD→＋12AA1→解析(4)MN→＝MB→＋BC→＋CN→＝12AB→＋AD→＋12(CB→＋BB1→)＝12AB→＋AD→＋12(－AD→＋AA1→)＝12AB→＋12AD→＋12AA1→.探究1空间向量的概念例1给出下列命题：①两个相等的向量，若它们的起点相同，则终点必相同；②在正方体ABCD－A1B1C1D1中，必有AC→＝A1C1→；③若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p；④空间中任意两个单位向量必相等；⑤只有零向量的模为0.其中假命题的个数是()A．1B．2C．3D．4[解析]①真命题．根据向量相等的定义，两个相等的向量若起点相同，终点必相同，只有这样才能保证它们的方向和大小都相同．②真命题．根据正方体的性质，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，向量AC→与A1C1→的方向相同，模长也相等，应有AC→＝A1C1→.③真命题．向量的相等满足传递规律．④假命题．空间中任意两个单位向量模长均为1，但方向不一定相同，故不一定相等．⑤真命题．根据零向量的定义可知．[答案]A拓展提升-4-处理向量概念问题要关注的两个要素和两个关系(1)两个要素判断与向量有关的命题时，要抓住向量的两个主要要素，即大小与方向，两者缺一不可．(2)两个关系①模相等与向量相等的关系：两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．②向量的模与向量大小的关系：由于方向不能比较大小，因此“大于”“小于”对向量来说是没有意义的．但向量的模是可以比较大小的．【跟踪训练1】(1)给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|＞|b|且a，b同向，则a＞b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④向量BA→与向量AB→的长度相等．其中正确命题的序号为________．答案④解析①错误，方向相反且长度相等的两个向量是相反向量；②错误，向量不能比较大小；③错误，如BA→≠AB→但|BA→|＝|AB→|，④正确．(2)给出下列命题：①若|a|＝0，则a＝0；②若a＝0，则－a＝0；③|－a|＝|a|，其中正确命题的序号是________．答案②③解析①错误，若|a|＝0，则a＝0；②正确．③正确．探究2空间向量的加减运算例2如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量BD1→的是()①(A1D1→－A1A→)－AB→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→；③(AD→－AB→)－DD1→；④(B1D1→－A1A→)＋DD1→.A．①②B．②③C．③④D．①④[解析]①(A1D1→－A1A→)－AB→＝A1D1→＋AA1→＋BA→＝BD1→；②(BC→＋BB1→)－D1C1→＝BC→＋BB1→＋C1D1→＝BC1→＋C1D1→＝BD1→；③(AD→－AB→)－DD1→＝BD→＋D1D→＝BD→－DD1→＝BD→－BB1→＝B1D→≠BD1→；④(B1D1→－A1A→)＋DD1→＝B1D1→＋AA1→＋DD1→＝B1D1→＋BB1→＋DD1→＝BD1→＋DD1→≠BD1→.-5-因此，①②两式的运算结果为向量BD1→，而③④两式的运算结果不为向量BD1→.故选A.[答案]A[结论探究]例2条件下，判断下列各式中运算结果为向量AC1→的有哪些？①(AB→＋BC→)＋CC1→；②(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→；③(AB→＋BB1→)＋B1C1→；④(AA1→－B1A1→)＋B1C1→.解①(AB→＋BC→)＋CC1→＝AC→＋CC1→＝AC1→；②(AA1→＋A1D1→)＋D1C1→＝AD1→＋D1C1→＝AC1→；③(AB→＋BB1→)＋B1C1→＝AB1→＋B1C1→＝AC1→；④(AA1→－B1A1→)＋B1C1→＝(AA1→＋A1B1→)＋B1C1→＝AB1→＋B1C1→＝AC1→.故①②③④式运算结果都是向量AC1→.拓展提升1.空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量加减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法运算的关键，灵活应用相反向量可使向量间首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时，务必要注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得更准确的结果．2．化简空间向量的常用思路(1)分组：合理分组，以便灵活利用三角形法则、平行四边形法则进行化简．(2)多边形法则：在空间向量的加法运算中，若是多个向量求和，还可利用多边形法则．若干个向量的和可以将其转化为首尾相接的向量求和．(3)走边路：灵活运用空间向量的加法、减法法则，尽量走边路(即沿几何体的边选择途径)．【跟踪训练2】在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H，P，Q分别是A1A，AB，BC，CC1，C1D1，D1A1的中点，则()A.EF→＋GH→＋PQ→＝0B.EF→－GH→－PQ→＝0-6-C.EF→＋GH→－PQ→＝0D.EF→－GH→＋PQ→＝0答案A解析EF→＋GH→＋PQ→＝AF→－AE→＋CH→－CG→＋D1Q→－D1P→＝0.探究3空间向量证明题例3在如图所示的平行六面体中．求证：AC→＋AB′→＋AD′→＝2AC′→.[证明]∵平行六面体的六个面均为平行四边形，∴AC→＝AB→＋AD→，AB′→＝AB→＋AA′→，AD′→＝AD→＋AA′→.∴AC→＋AB′→＋AD′→＝(AB→＋AD→)＋(AB→＋AA′→)＋(AD→＋AA′→)＝2(AB→＋AD→＋AA′→)，又∵AA′→＝CC′→，AD→＝BC→，∴AB→＋AD→＋AA′→＝AB→＋BC→＋CC′→＝AC→＋CC′→＝AC′→，∴AC→＋AB′→＋AD′→＝2AC′→.拓展提升空间向量证明题的注意点利用三角形法则或平行四边形法则进行证明，一定要注意和(差)向量的方向．必要时利用空间向量可自由平移，使作图容易．【跟踪训练3】借助平行六面体，证明：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．-7-证明作平行六面体ABCD－A′B′C′D′使AB→＝a，AD→＝b，AA′→＝c，如图，则：(a＋b)＋c＝(AB→＋AD→)＋AA′→＝AC→＋CC′→＝AC′→，a＋(b＋c)＝AB→＋(AD→＋AA′→)＝AB→＋(BC→＋CC′→)＝AB→＋BC′→＝AC′→，所以(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．1.在空间，向量、向量的模、相等向量的概念和平面向量完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是大小相等，方向相反.2.向量可以平移，任意两个向量都是共面向量．因此空间两个向量的加、减法运算和平面向量完全相同，可以利用平行四边形法则和三角形法则来进行.3.空间向量进行减法运算时，一定要抓住向量的起点与终点，否则容易导致结果计算错误．如AB→－AD→，误写成BD→，应为DB→.1．向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是()A．a＝bB．a＋b为实数0C．a与b方向相同D．|a|＝3答案D解析因为a，b互为相反向量，所以a＝－b，a＋b＝0，a与b方向相反，|a|＝|b|＝3.2．已知空间向量AB→，BC→，CD→，AD→，则下列结论正确的是()A.AB→＝BC→＋CD→B.AB→－DC→＋BC→＝AD→C.AD→＝AB→＋BC→＋DC→D.BC→＝BD→－DC→答案B解析AB→－DC→＋BC→＝AB→＋BC→＋CD→＝AC→＋CD→＝AD→.3．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO→＋OB→＝DO→＋OC→，则四边形ABCD是()A．空间四边形B．平行四边形-8-C．等腰梯形D．矩形答案B解析∵AO→＋OB→＝AB→，DO→＋OC→＝DC→，∴AB→＝DC→，∴线段AB，DC平行且相等，∴四边形ABCD是平行四边形．4．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确结论的序号为________．①OA→＋OD→与OB1→＋OC1→是一对相反向量；②OB→－OC→与OA1→－OD1→是一对相反向量；③OA→＋OB→＋OC→＋OD→与OA1→＋OB1→＋OC1→＋OD1→是一对相反向量；④OA1→－OA→与OC→－OC1→是一对相反向量．答案①③④解析下图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为AD，B1C1的中点，则由向量运算的平行四边形法则，知OA→＋OD→＝2OE→，OB1→＋OC1→＝2OF→，又OE→＝－OF→，所以命题①正确．由于OB→－OC→＝CB→，OA1→－OD1→＝D1A1→，所以OB→－OC→与OA1→－OD1→是两个相等的向量，所以命题②是不正确的．同理可得命题③④是正确的．5．下图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝2，AA1＝1，以该长方体的八个顶点中的两点为起点和终点的所有向量中，(1)单位向量共有多少个？(2)试写出模为5的所有向量；-9-(3)试写出与AB→相等的所有向量；(4)试写出AA1→的相反向量．解(1)由于AA1＝1，所以AA1→，A1A→，BB1→，B1B→，CC1→，C1C→，DD1→，D1D→这8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左、右两侧的对角线长均为5，所以模为5的向量为AD1→，D1A→，A1D→，DA1→，BC1→，C1B→，B1C→，CB1→.(3)与向量AB→相等的所有向量(除它自身之外)为A1B1→，DC→，D1C1→.(4)向量AA1→的相反向量为A1A→，B1B→，C1C→，D1D→.