2019-2020学年新教材高中数学 第3章 函数的概念与性质 3.3 幂函数教学案 新人教A版必修

-1-3.3幂函数(教师独具内容)课程标准：1.通过具体实例了解幂函数的概念.2.会画幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，并能通过图象了解幂函数的图象与性质.3.能正确应用幂函数的知识解决相关问题．教学重点：1.幂函数的概念.2.幂函数的图象与性质．教学难点：应用幂函数的知识解决相关问题．【知识导学】知识点一幂函数的概念一般地，函数□01y＝xα叫做幂函数(powerfunction)，其中□02x是自变量，□03α是常数．知识点二一些常用幂函数的图象同一坐标系中，幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x12的图象(如图)．知识点三一些常用幂函数的性质-2-【新知拓展】1．幂函数的特征(1)xα的系数是1；(2)xα的底数x是自变量；(3)xα的指数α为常数．只有满足这三个条件，才是幂函数．对于形如y＝(2x)α，y＝2x5，y＝xα＋6等的函数都不是幂函数．-3-2．幂函数的性质(1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)；(2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增；(3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴；(4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y＝x3＋2是幂函数．()(2)幂函数的图象必过(0,0)和(1,1)这两点．()(3)幂函数y＝xα的定义域为R，与指数无关．()(4)当x＞1时，函数y＝x2的图象总在函数y＝x3的图象的下方．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若y＝mxα＋(2n－4)是幂函数，则m＋n＝________.(2)已知幂函数f(x)＝xα的图象经过点(2,8)，则f(－2)＝________.(3)若y＝axa2－12是幂函数，则该函数的值域是________．答案(1)3(2)－8(3)[0，＋∞)题型一幂函数的定义例1已知幂函数y＝(m2－m－1)xm2－2m－3，求此幂函数的解析式，并指出其定义域．[解]∵y＝(m2－m－1)xm2－2m－3为幂函数，∴m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，则y＝x－3，且有x≠0；当m＝－1时，m2－2m－3＝0，则y＝x0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y＝x－3或y＝x0，它们的定义域都是{x|x≠0}．金版点睛判断函数是幂函数的依据判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα(α为常数)的形式，即满足：①指数α为常数；②底数x为自变量；③系数为1.-4-[跟踪训练1](1)在函数y＝1x2，y＝2x2，y＝x2＋x，y＝1中，幂函数的个数为()A．0B．1C．2D．3(2)已知y＝(m2－4m＋4)x1m－1＋2n－3是幂函数，求m，n的值．答案(1)B(2)见解析解析(1)y＝1x2＝x－2，所以是幂函数；y＝2x2由于系数是2，因此不是幂函数；y＝x2＋x是两项和的形式，不是幂函数；y＝1＝x0(x≠0)，可以看出，常函数y＝1的图象比幂函数y＝x0的图象多了一个点(0,1)，所以常函数y＝1不是幂函数．(2)由题意得m2－4m＋4＝1，m－1≠0，2n－3＝0，解得m＝3，n＝32，所以m＝3，n＝32.题型二幂函数的图象及应用例2幂函数y＝x2，y＝x－1，y＝x12，y＝x－12在第一象限内的图象依次是图中的曲线()A．C2，C1，C3，C4B．C4，C1，C3，C2C．C3，C2，C1，C4D．C1，C4，C2，C3[解析]由于在第一象限内直线x＝1的右侧，幂函数y＝xα的图象从上到下相应的指数α由大变小，即幂函数图象在第一象限内直线x＝1右侧的“高低”关系是“指大图高”，故幂函数y＝x2在第一象限内的图象为C1，y＝x－1在第一象限内的图象为C4，y＝x12在第一象限-5-内的图象为C2，y＝x－12在第一象限内的图象为C3.[答案]D金版点睛解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1]上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴(简记为指大图低)；在[1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y＝x－1或y＝x12或y＝x3)来判断．[跟踪训练2](1)如图是幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象，则()A．－1n0m1B．n－1,0m1C．－1n0，m1D．n－1，m1(2)已知函数y＝|x|.①求定义域；②判断奇偶性；③已知该函数在第一象限的图象如图所示，试补全图象，并由图象确定单调区间．答案(1)B(2)见解析解析(1)在(0,1)内取x0，作直线x＝x0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，-6-0m1，n－1.(2)①y＝|x|，定义域为实数集R.②设y＝f(x)，因为f(－x)＝|－x|＝|x|＝f(x)，且定义域关于坐标原点对称，所以函数y＝|x|是偶函数．③因为函数为偶函数，则作出它在第一象限的图象关于y轴的对称图象，即得函数y＝|x|的图象，如图所示．根据图象易知，函数y＝|x|在区间[0，＋∞)上单调递增，在区间(－∞，0]上单调递减.题型三幂函数的性质及应用例3比较下列各题中两个值的大小：(1)2.312，2.412；(2)(2)－12，(3)－12；(3)(－0.31)2,0.352.[解](1)∵y＝x12在[0，＋∞)上单调递增，且2.32.4，∴2.3122.412.(2)∵y＝x－12在(0，＋∞)上单调递减，且23，∴(2)－12(3)－12.(3)∵y＝x2为R上的偶函数，∴(－0.31)2＝0.312.又函数y＝x2在[0，＋∞)上单调递增，且0.310.35，-7-∴0.3120.352，即(－0.31)20.352.金版点睛比较幂值大小的方法比较幂值的大小，关键是构造适当的函数，若指数相同，底数不同，则考虑构造幂函数，然后根据所构造的幂函数的性质如单调性、奇偶性等来解决问题．例4若(3－2m)12(m＋1)12，求实数m的取值范围．[解]因为y＝x12在定义域[0，＋∞)上单调递增，所以3－2m≥0，m＋1≥0，3－2mm＋1，解得－1≤m23.故实数m的取值范围为－1，23.金版点睛利用幂函数解不等式的步骤利用幂函数解不等式，实质是已知两个函数值的大小，判断自变量的大小，常与幂函数的单调性、奇偶性等综合命题．求解步骤如下：(1)确定可以利用的幂函数；(2)借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系，转化为自变量的大小关系；(3)解不等式(组)求参数范围，注意分类讨论思想的应用．[跟踪训练3](1)比较下列各组数的大小：①2312与3512；②－3.143与－π3；(2)已知幂函数y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3，当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，求此幂函数的解析式．解(1)①∵y＝x12在[0，＋∞)上单调递增，且2335，-8-∴23123512.②∵y＝x3是R上的增函数，且3.14π，∴3.143π3，∴－3.143－π3.(2)∵y＝(m2＋m－5)xm2－2m－3是幂函数，∴m2＋m－5＝1，即(m－2)(m＋3)＝0，∴m＝2或m＝－3.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小；当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈(0，＋∞)时，y随x的增大而减小，故舍去．∴y＝x－3(x≠0)．1．下列函数是幂函数的是()A．y＝5xB．y＝x5C．y＝5xD．y＝(x＋1)3答案B解析由幂函数的定义知函数y＝5x不是幂函数；函数y＝5x是正比例函数，不是幂函数；函数y＝(x＋1)3的底数不是自变量x，不是幂函数；函数y＝x5是幂函数．2．函数y＝x3的图象大致是图中的()答案B解析∵函数y＝x3是奇函数，且α＝31，则其为增函数，且y随x的增大急剧增大，∴函数图象为B.3．设a＝2－6，b＝3－4，c＝7－2，则a，b，c的大小关系为()A．bacB．acbC．abcD．cba答案A-9-解析a＝2－6＝8－2，b＝3－4＝9－2，c＝7－2，由幂函数y＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，可知bac.4．已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f18＝________.答案24解析设幂函数为y＝xα(α为常数)．∵函数f(x)的图象过点(4,2)，∴2＝4α，∴α＝12，∴f(x)＝x12，∴f18＝1812＝24.5．已知幂函数y＝x3m－9(m∈N*)的图象关于y轴对称，且在区间(0，＋∞)上单调递减，求f(x)的解析式．解∵幂函数y＝x3m－9在区间(0，＋∞)上单调递减，∴3m－90，即m3.又∵m∈N*，∴m＝1,2.又y＝x3m－9的图象关于y轴对称，即该函数是偶函数，∴3m－9是偶数．∴m＝1.∴f(x)＝x－6.