2019-2020学年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方

1、-1-2．3.1双曲线及其标准方程1．双曲线(1)定义□01平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．(2)双曲线的集合描述设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合□02P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,02a|F1F2|}．2．双曲线的标准方程-2-1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．()(2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a0，b0且a≠b.()(3)双曲线的标准方程可以统一为Ax2＋By2＝1(其中AB0)．()答案(1)×(2)×(3)√2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若双曲线x24－y216＝1上一点M到左焦点的距离为8，则点M到右焦点的距离为________．(2)双曲线x2－4y2＝1的焦距为________．(3)(教材改编P55T1)已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方。

2、程为________．(4)下列方程表示焦点在y轴上的双曲线的有________(把序号填在横线上)．①x2－y22＝1；②x2a＋y22＝1(a0)；③y2－3x2＝1；④x2cosα＋y2sinα＝1π2απ.答案(1)4或12(2)5(3)x225－y224＝1或y225－x224＝1(4)②③④解析(3)∵a＝5，c＝7，∴b＝c2－a2＝24＝26.当焦点在x轴上时，双曲线方程为x225－y224＝1；当焦点在y轴上时，双曲线方程为y225－x224＝1.探究1双曲线标准方程的认识例1若θ是第三象限角，则方程x2＋y2sinθ＝cosθ表示的曲线是()A．焦点在y轴上的双曲线B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在x轴上的椭圆[解析]曲线方程可化为x2cosθ＋y2cosθsinθ＝1，θ是第三象限角，则cosθ0，cosθsinθ0，所以该曲线是焦点在y轴上的双曲线．故选A.[答案]A-3-拓展提升双曲线方程的认识方法将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x2m＋y2n＝1，则当mn0时，方程表示双曲线．若m0，n0，则方。

3、程表示焦点在x轴上的双曲线；若m0，n0，则方程表示焦点在y轴上的双曲线．【跟踪训练1】若k1，则关于x，y的方程(1－k)x2＋y2＝k2－1所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在y轴上的双曲线D．焦点在x轴上的双曲线答案C解析原方程化为y2k2－1－x2k＋1＝1，∵k1，∴k2－10，k＋10.∴方程所表示的曲线为焦点在y轴上的双曲线．探究2双曲线的标准方程例2求满足下列条件的双曲线的标准方程．(1)焦点在坐标轴上，且过M－2，352，N473，4两点；(2)两焦点F1(－5,0)，F2(5,0)，且过P352，2.[解](1)当双曲线的焦点在x轴上时，设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)．∵M，N在双曲线上，∴－22a2－3522b2＝1，4732a2－42b2＝1，-4-解得1a2＝－116，1b2＝－19(不符合题意，舍去)．当双曲线的焦点在y轴上时，设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)．∵M，N在双曲线上，∴。

4、3522a2－4b2＝1，42a2－4732b2＝1，解得1a2＝19，1b2＝116，即a2＝9，b2＝16.∴所求双曲线方程为y29－x216＝1.(2)由已知可设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，代入点P352，2可得454a2－4b2＝1，①又a2＋b2＝25，②由①②联立可得a2＝9，b2＝16，∴双曲线方程为x29－y216＝1.[解法探究]例2(1)有没有其他解法呢？解∵双曲线的焦点位置不确定，∴设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn0)．∵M，N在双曲线上，则有4m＋454n＝1，169×7m＋16n＝1，解得m＝－116，n＝19，∴所求双曲线方程为－x216＋y29＝1，即y29－x216＝1.-5-拓展提升利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤(1)定位置：根据条件确定双曲线的焦点在哪条坐标轴上，还是两种都有可能．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x2a2－y2b2＝1或y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，焦点不定时，亦可设为mx2＋ny2＝1(m·n0)．(。

5、3)寻关系：根据已知条件列出关于a，b，c(m，n)的方程组．(4)得方程：解方程组，将a，b，c(m，n)代入所设方程即为所求．【跟踪训练2】根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x227＋y236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．解(1)椭圆x227＋y236＝1的焦点坐标为F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1.由题意，知a2＋b2＝9，42a2－152b2＝1，解得a2＝4，b2＝5.故双曲线的方程为y24－x25＝1.(2)∵焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线方程为x2λ－y26－λ＝1(其中0λ6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．∴所求双曲线方程是x25－y2＝1.探究3双曲线定义的应用例3如图，若F1，F2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．-6-(1)若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离；(2)若P是双曲线左支上的点，且|PF1|·|PF2|＝32，试求。

6、△F1PF2的面积．[解]双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，假设点M到另一个焦点的距离等于x，则|16－x|＝6，解得x＝10或x＝22.由于c－a＝5－3＝2,102,222，故点M到另一个焦点的距离为10或22.(2)将|PF2|－|PF1|＝2a＝6，两边平方得|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|＝36，∴|PF1|2＋|PF2|2＝36＋2|PF1|·|PF2|＝36＋2×32＝100.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F1PF2＝90°，∴S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|＝12×32＝16.拓展提升双曲线定义的两种应用(1)求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF1|－|PF2||＝2。

7、a求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c－a)．(2)双曲线中的焦点三角形双曲线上的点P与其两个焦点F1，F2连接而成的三角形PF1F2称为焦点三角形．令|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，∠F1PF2＝θ，因|F1F2|＝2c，所以有①定义：|r1－r2|＝2a.②余弦公式：4c2＝r21＋r22－2r1r2cosθ.③面积公式：S△PF1F2＝12r1r2sinθ.-7-一般地，在△PF1F2中，通过以上三个等式，所求问题就会顺利解决．【跟踪训练3】(1)已知P是双曲线x264－y236＝1上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝17，求|PF2|的值．解由双曲线方程x264－y236＝1可得a＝8，b＝6，c＝10，由双曲线的图象可得点P到右焦点F2的距离d≥c－a＝2，因为||PF1|－|PF2||＝16，|PF1|＝17，所以|PF2|＝1(舍去)或|PF2|＝33.(2)已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F1，F2，若双曲线上一点P使得∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的面积．解由x29－y216＝1，得a＝3。

8、，b＝4，c＝5.由定义和余弦定理得|PF1|－|PF2|＝±6，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos60°，所以102＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，所以|PF1|·|PF2|＝64，则S△F1PF2＝12|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2＝12×64×32＝163.探究4与双曲线有关的轨迹问题例4如图，在△ABC中，已知|AB|＝42，且三内角A，B，C满足2sinA＋sinC＝2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．并指出表示什么曲线．[解]如图，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(－22，0)，B(22，0)．由正弦定理得sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R.-8-∵2sinA＋sinC＝2sinB，∴2a＋c＝2b，即b－a＝c2.从而有|CA|－|CB|＝12|AB|＝22AB.∴由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支且不包括顶点．∵a＝2，c＝22，∴b2＝c2－a2＝6.∴顶点C的轨迹方程为x22－y26＝1(x2)．故C。

9、点的轨迹为双曲线右支且除去点(2，0)．拓展提升用定义法求轨迹方程的一般步骤(1)根据已知条件及曲线定义确定曲线的位置及形状(定形，定位)．(2)根据已知条件确定参数a，b的值(定参)．(3)写出标准方程并下结论(定论)．【跟踪训练4】如图所示，已知定圆F1：x2＋y2＋10x＋24＝0，定圆F2：(x－5)2＋y2＝42，动圆M与定圆F1，F2都外切，求动圆圆心M的轨迹方程．解圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，∴圆心为F1(－5,0)，半径r1＝1.圆F2：(x－5)2＋y2＝42，∴圆心为F2(5,0)，半径r2＝4.设动圆M的半径为R，则有|MF1|＝R＋1，|MF2|＝R＋4，∴|MF2|－|MF1|＝3|F1F2|＝10，∴点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，且a＝32，c＝5，∴b＝912，∴点M的轨迹方程为49x2－491y2＝1x≤－32.-9-1.双曲线的定义中，一定要注意的几点(1)前提条件“平面内”不能丢掉，否则就成了空间曲面，不是平面曲线了；(2)不可漏掉定义中的常数小于|F1F2|，否则，当2a＝|F1F2|时，||PF1|－|PF2||＝。

10、2a表示两条射线；当||PF1|－|PF2||2a时，不表示任何图形；(3)不能丢掉绝对值符号，若丢掉绝对值符号，其余条件不变，则点的轨迹为双曲线的一支.2.求双曲线的标准方程时，应注意的两个问题(1)正确判断焦点的位置；(2)设出标准方程后，再运用待定系数法求解．求双曲线的标准方程也是从“定形”“定式”和“定量”三个方面去考虑．“定形”是指对称中心在原点，以坐标轴为对称轴的情况下，焦点在哪条坐标轴上；“定式”是根据“形”设双曲线标准方程的具体形式；“定量”是指用定义法或待定系数法确定a，b的值.1．若方程y24－x2m＋1＝1表示双曲线，则实数m的取值范围是()A．(－1,3)B．(－1，＋∞)C．(3，＋∞)D．(－∞，－1)答案B解析依题意，应有m＋10，即m－1.2．已知双曲线x216－y29＝1，则双曲线的焦点坐标为()A．(－7，0)，(7，0)B．(－5,0)，(5,0)C．(0，－5)，(0,5)D．(0，－7)，(0，7)答案B解析由双曲线的标准方程可知a2＝16，b2＝9，则c2＝a2＋b2。