2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数章末复习学案 新人教B版必修第一册

1第三章函数知识系统整合规律方法收藏1．相同函数的判定方法(1)定义域相同；(2)对应关系相同(两点必须同时具备)．2．函数解析式的求法(1)定义法；(2)换元法；(3)待定系数法．3．函数的定义域的求法(1)已给出函数解析式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．(3)复合函数问题①若函数f(x)的定义域为[a，b]，函数f[g(x)]的定义域应由a≤g(x)≤b解出；②若函数f[g(x)]的定义域为[a，b]，则函数f(x)的定义域为函数g(x)在[a，b]上的值域．2注意：①函数f(x)中的x与函数f[g(x)]中的g(x)地位相同．②定义域所指永远是x的范围．4．函数值域的求法(1)配方法(二次或四次)；(2)判别式法；(3)换元法；(4)函数的单调性法．5．判断函数单调性的步骤(1)设x1，x2是所研究区间内任意两个自变量的值，且x1x2；(2)判定f(x1)与f(x2)的大小：作差比较或作商比较；(3)根据单调性定义下结论．6．函数奇偶性的判定法首先考查函数的定义域是否关于原点对称，再看函数f(－x)与f(x)之间的关系：①若函数f(－x)＝f(x)，则f(x)为偶函数；若函数f(－x)＝－f(x)，则f(x)为奇函数；②若f(－x)－f(x)＝0，则f(x)为偶函数；若f(x)＋f(－x)＝0，则f(x)为奇函数；③若fxfx＝1(f(－x)≠0)，则f(x)为偶函数；若fxfx＝－1(f(－x)≠0)，则f(x)为奇函数．7．方程的根与函数的零点方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图像与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．8．零点判断法如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的，并且f(a)f(b)0(即在区间两个端点处的函数值异号)，则函数y＝f(x)在区间[a，b]中至少有一个零点，即∃x0∈[a，b]，f(x0)＝0.注意：①由f(a)f(b)0可判定在(a，b)内至少有一个变号零点c，除此之外，还可能有其他的变号零点与不变号零点．②当f(a)f(b)0，则f(x)在(a，b)内可能有零点，也可能无零点．③二分法只能求出其中某一个零点的近似值，另外应注意初始区间的选择．9．函数的应用解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力．一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面，增加间接的生活阅历，诸如了解一些物价、行程、产值、利润、环保等实际问题，及有关角度、面积、体积、造价的问题，培养实际问题数学化的意识和能力．学科思想培优3一、函数的定义域函数的定义域是指函数y＝f(x)中自变量x的取值范围．确定函数的定义域是进一步研究函数其他性质的前提，而研究函数的性质，利用函数的性质解决数学问题是中学数学的重要组成部分．所以熟悉函数定义域的求法，对于函数综合问题的解决起着至关重要的作用．[典例1](1)函数f(x)＝3x21－x＋(3x－1)0的定义域是()A.－∞，13B.13，1C.－13，13D.－∞，13∪13，1(2)已知函数y＝f(x＋1)的定义域是[－2,3]，则y＝f(2x－1)的定义域是()A.0，52B．[－1,4]C．[－5,5]D．[－3,7]解析(1)由题意，得1－x0，3x－1≠0，解得x1且x≠13.(2)设u＝x＋1，由－2≤x≤3，得－1≤x＋1≤4，所以y＝f(u)的定义域为[－1,4]．再由－1≤2x－1≤4，解得0≤x≤52，即函数y＝f(2x－1)的定义域是0，52.答案(1)D(2)A二、分段函数问题所谓分段函数是指在定义域的不同子区间上的对应关系不同的函数．分段函数是一个函数而非几个函数，其定义域是各子区间的并集，值域是各段上值域的并集．分段函数求值等问题是高考常考的问题．[典例2]已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x1，－x－2a，x≥1.若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析①当1－a1，即a0时，此时a＋11，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1－a)＋a＝－(1＋a)－2a，解得a＝－32(舍去)；②当1－a1，即a0时，此时a＋11，由f(1－a)＝f(1＋a)，得2(1＋a)＋a＝－(1－a)－2a，解得a＝－34，符合题意，综上所述，a＝－34.答案－34三、函数的单调性与奇偶性4单调性是函数的一个重要性质，某些数学问题，通过函数的单调性可将函数值间的关系转化为自变量之间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是在比较大小、证明不等式、求值或求最值、解方程(组)等方面应用十分广泛．奇偶性是函数的又一重要性质，利用奇偶函数图像的对称性可以缩小问题研究的范围，常能使求解的问题避免复杂的讨论．[典例3]定义在(－1,1)上的函数f(x)满足：①对任意的x，y∈(－1,1)，均有f(x)＋f(y)＝fx＋y1＋xy；②当x∈(－1,0)时，f(x)0.(1)判定函数f(x)的奇偶性；(2)判定函数f(x)在(－1,0)上的单调性．解(1)令x＝y＝0，得2f(0)＝f(0)，∴f(0)＝0.再令y＝－x，得f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)在(－1,1)上是奇函数．(2)设－1x1x20，则x2－x10.f(x2)－f(x1)＝f(x2)＋f(－x1)＝fx2－x11－x1x2.∵－1x1x20，∴1＋x10,1＋x20，且0x1x21，∴01－x1x21，∴x2－x11－x1x20.∵x2－x1－1＋x1x2＝(x2－1)＋x1(x2－1)＝(1＋x1)(x2－1)0，∴0x2－x11－x1x2，∴0x2－x11－x1x21.∵x∈(－1,0)时，f(x)0，且f(x)为奇函数，∴x∈(0,1)时，f(x)0，∴f(x2)－f(x1)0，∴f(x)在(－1,0)上单调递减．四、函数图像及应用函数的图像是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图像能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图像正确地画出．函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．[典例4]设函数f(x)＝x2－2|x|－1(－3≤x≤3)．(1)证明函数f(x)是偶函数；5(2)画出这个函数的图像；(3)指出函数f(x)的单调区间，并说明在各个单调区间上f(x)是增函数还是减函数；(4)求函数的值域．解(1)证明：f(－x)＝(－x)2－2|－x|－1＝x2－2|x|－1＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(2)当0≤x≤3时，f(x)＝x2－2x－1＝(x－1)2－2.当－3≤x0时，f(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2.即f(x)＝x－12－20≤x≤3x＋12－23≤x0.根据二次函数的作图方法，可得函数图像如下图．(3)函数f(x)的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f(x)在区间[－3，－1)和[0,1)上为减函数，在[－1,0)和[1,3]上为增函数．(4)当0≤x≤3时，函数f(x)＝(x－1)2－2的最小值为－2，最大值为f(3)＝2；当－3≤x0时，函数f(x)＝(x＋1)2－2的最小值为－2，最大值为f(－3)＝2.故函数f(x)的值域为[－2,2]．五、函数零点与方程的根根据函数零点的定义，函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的根，判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有根，有几个根．从图形上说，函数的零点就是函数y＝f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，函数零点、方程的根、函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有着内在的本质联系，利用它们之间的关系，可以解决很多函数、方程与不等式的问题．在高考中有许多问题涉及三者的相互转化，应引起我们的重视．[典例5]试讨论函数f(x)＝x2－2|x|－a－1(a∈R)的零点个数．解设g(x)＝x2－2|x|，h(x)＝a＋1，则g(x)＝x2－2x，x≥0，x2＋2x，x0.g(x)，h(x)的图像如图所示，6g(－2)＝g(0)＝g(2)＝0，g(－1)＝g(1)＝－1，当a＋1－1，即a－2时，g(x)与h(x)的图像无交点；当a＋1＝－1或a＋10，即a＝－2或a－1时，g(x)与h(x)的图像有两个交点；当－1a＋10，即－2a－1时，g(x)与h(x)的图像有四个交点；当a＋1＝0，即a＝－1时，g(x)与h(x)的图像有三个交点．所以，当a－2时，函数f(x)＝x2－2|x|－a－1无零点；当a＝－2或a－1时，函数f(x)有两个零点；当－2a－1时，函数f(x)有四个零点；当a＝－1时，函数f(x)有三个零点．六、函数的应用针对一个实际问题，我们应该选择恰当的函数来刻画．这当然需要我们深刻理解已学函数的图像和性质，熟练掌握已学函数的特点，并对一些重要函数要有清晰地认识．对于一个具体的应用题，原题中的数量间的关系，一般是以文字和符号的形式给出，也有的是以图像的形式给出，此时我们要分析数量变化的特点和规律，选择较为合适的函数来刻画，从而解决一些实际问题或预测一些结果．[典例6]已知A，B两城市相距100km，在两地之间距离A城市xkm的D处修建一垃圾处理厂来解决A，B两城市的生活垃圾和工业垃圾．为保证不影响两城市的环境，垃圾处理厂与市区距离不得少于10km.已知垃圾处理费用和距离的平方与垃圾量之积的和成正比，比例系数为0.25.若A城市每天产生的垃圾量为20t，B城市每天产生的垃圾量为10t.(1)求x的取值范围；(2)把每天的垃圾处理费用y表示成x的函数；(3)垃圾处理厂建在距离A城市多远处，才能使每天的垃圾处理费用最少？解(1)由题意可得x≥10,100－x≥10.所以10≤x≤90.所以x的取值范围为[10,90]．(2)由题意，得y＝0.25[20x2＋10(100－x)2]，即y＝152x2－500x＋25000(10≤x≤90)．(3)由y＝152x2－500x＋25000＝152x－10032＋500003(10≤x≤90)，则当x＝1003时，y最7小．即当垃圾处理厂建在距离A城市1003km时，才能使每天的垃圾处理费用最少．