2019-2020学年新教材高中数学 第4章 指数函数与对数函数 4.3 对数 4.3.1 对数的概

-1-4.3.1对数的概念(教师独具内容)课程标准：通过具体实例，理解对数的概念，了解常用对数与自然对数．理解对数的简单性质．教学重点：1.对数的概念，指数式与对数式的互化.2.对数的简单性质．教学难点：对数概念的理解，指数式与对数式之间的熟练转化.【知识导学】知识点一对数的概念(1)对数的概念：如果□01ax＝N(a0，且a≠1)，那么数□02x叫做以□03a为底□04N的对数，记作□05x＝logaN，其中□06a叫做对数的底数，□07N叫做真数．(2)两种特殊的对数①常用对数：通常□08以10为底的对数叫做常用对数，N的常用对数log10N简记为□09lg_N；②自然对数：□10以e为底的对数称为自然对数，N的自然对数logeN简记为□11ln_N(其中e＝2.71828…)．知识点二对数与指数的关系(1)对数的基本性质①□01零和负数没有对数，即真数N0；②1的对数为□020，即loga1＝□030(a0，且a≠1)；③底数的对数等于□041，即logaa＝□051(a0，且a≠1)．(2)两个重要的对数恒等式①alogaN＝□06N(a0，且a≠1，N0)；②logaaN＝□07N(a0，且a≠1)．【新知拓展】在对数的概念中为什么规定a0且a≠1(1)若a0，则当N为某些值时，x的值不存在，如：x＝log(－2)8不存在．(2)若a＝0，①当N≠0时，x的值不存在．如：log03(可理解为0的多少次幂是3)不存在；②当N＝0时，x可以是任意正实数，是不唯一的，即log00有无数个值．(3)若a＝1，①当N≠1时，x的值不存在．如：log13不存在；-2-②当N＝1时，x可以为任意实数，是不唯一的，即log11有无数个值．因此规定a0，且a≠1.1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)因为(－2)4＝16，所以log(－2)16＝4.()(2)对数式log32与log23的意义一样．()(3)对于同一个正数，当底不同时，它的对数也不相同．()(4)等式loga1＝0对于任意实数a恒成立．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)若5x＝2019，则x＝________.(2)lg10＝________；lne＝________.(3)将log3a＝2化为指数式为________．答案(1)log52019(2)11(3)32＝a题型一对数的概念例1(1)使对数log2(－2x＋1)有意义的x的取值范围为()A.0，12B.12，＋∞C.－∞，12D.－∞，－12(2)在对数式b＝loga－2(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a5或a2B．2a5C．2a3或3a5D．3a4[解析](1)要使对数log2(－2x＋1)有意义，只要使真数－2x＋10即可，即x12，所以x的取值范围为－∞，12，故选C.(2)由题意，得a－20，a－2≠1，5－a0，解得2a3或3a5.[答案](1)C(2)C金版点睛-3-对数有意义的条件对数有意义的两个条件：①底数大于零且不等于1；②对数的真数必须大于零．[跟踪训练1](1)函数f(x)＝lgx＋1x－1中x的取值范围是()A．(－1，＋∞)B．[－1，＋∞)C．(－1,1)∪(1，＋∞)D．[－1,1)∪(1，＋∞)(2)若log(2x－1)(x＋2)有意义，求x的取值范围．答案(1)C(2)见解析解析(1)要使函数有意义，必有x＋10，x－1≠0，解得x－1且x≠1，故选C.(2)若对数有意义，则真数大于0，底数大于0且不等于1，所以x＋20，2x－10，2x－1≠1，解得x12，且x≠1.即x的取值范围是xx12，且x≠1.题型二指数式与对数式的互化例2(1)将下列指数式改写成对数式：24＝16；2－5＝132；34＝81；12m＝n；(2)将下列对数式改写成指数式：log5125＝3；log1216＝－4；lna＝b；lg1000＝3.[解](1)log216＝4；log2132＝－5；log381＝4；log12n＝m.(2)53＝125；12－4＝16；eb＝a；103＝1000.金版点睛由指数式ab＝N可以写成logaN＝b(a0，且a≠1)，这是指数式与对数式互化的依据．对数式与指数式是同一种数量关系的两种不同表达形式．具体对应如下：-4-[跟踪训练2](1)若a＝log23，则2a＋2－a＝________；(2)将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式：①log216＝4；②log3x＝6；③43＝64.答案(1)103(2)见解析解析(1)因为a＝log23，所以2a＝3，则2a＋2－a＝3＋3－1＝103.(2)①24＝16；②(3)6＝x；③log464＝3.题型三对数性质的应用例3(1)给出下列各式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④由log25x＝12，得x＝±5.其中，正确的是________(把正确的序号都填上)；(2)求下列各式中x的值：①log2(log5x)＝0；②log3(lgx)＝1；③log(2－1)(2－1)＝x；④3x＋3＝2.[解析](1)∵lg10＝1，∴lg(lg10)＝lg1＝0，①正确；∵lne＝1，∴lg(lne)＝lg1＝0，②正确；若10＝lgx，则x＝1010，③错误；由log25x＝12，得x＝2512＝5，④错误．故填①②.-5-(2)①∵log2(log5x)＝0.∴log5x＝20＝1，∴x＝51＝5.②∵log3(lgx)＝1，∴lgx＝31＝3，∴x＝103＝1000.③∵log(2－1)(2－1)＝x，∴(2－1)x＝2－1，∴x＝1.④∵x＋3＝log32，∴x＝log32－3.[答案](1)①②(2)见解析金版点睛对数性质在计算中的应用(1)对数的常用性质：logaa＝1，loga1＝0(a0，且a≠1)．(2)使用对数的性质时，有时需要将底数或真数进行变形后才能运用；对于多重对数符号的，可以先把内层视为整体，逐层使用对数的性质．[跟踪训练3](1)若log2(x2－7x＋13)＝0，求x的值；(2)已知log2[log3(log4x)]＝log3[log4(log2y)]＝0，求x＋y的值．解(1)因为log2(x2－7x＋13)＝0，所以x2－7x＋13＝1，即x2－7x＋12＝0，解得x＝4或x＝3.(2)因为log2[log3(log4x)]＝0，所以log3(log4x)＝1，所以log4x＝3.所以x＝43＝64.同理求得y＝16.所以x＋y＝80.题型四对数恒等式的应用例4求下列各式的值：(1)5log54；(2)3log34－2；(3)24＋log25.[解](1)设5log54＝x，则log54＝log5x，∴x＝4.(2)∵3log34＝4，∴3log34－2＝3log34×3－2＝4×19＝49.(3)∵2log25＝5，∴24＋log25＝24×2log25＝16×5＝80.-6-金版点睛运用对数恒等式时的注意事项(1)对于对数恒等式alogaN＝N(a0，且a≠1，N0)要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为对数的真数．(2)对于指数中含有对数值的式子进行化简，应充分考虑对数恒等式的应用．[跟踪训练4]求31＋log36－24＋log23＋103lg3＋19log34的值．解原式＝31×3log36－24×2log23＋(10lg3)3＋3－2×log34＝3×6－16×3＋33＋(3log34)－2＝18－48＋27＋116＝－4716.1．若a0，且a≠1，c0，则将ab＝c化为对数式为()A．logab＝cB．logac＝bC．logbc＝aD．logca＝b答案B解析由对数的定义直接可得logac＝b.2．已知logx16＝2，则x等于()A．±4B．4C．256D．2答案B解析∵x2＝16且x0，x≠1，∴x＝4.故选B.3．若log3181＝x，则x＝________.答案－4解析∵log3181＝log33－4，∴3x＝3－4，∴x＝－4.4．式子2log25＋log321的值为________．答案5解析由对数性质知，2log25＝5，log321＝0，故原式＝5.-7-5．求下列各式中x的值：(1)若log31＋2x3＝1，求x的值；(2)若log2019(x2－1)＝0，求x的值．解(1)∵log31＋2x3＝1，∴1＋2x3＝3，∴1＋2x＝9，∴x＝4.(2)∵log2019(x2－1)＝0，∴x2－1＝1，即x2＝2.∴x＝±2.