2019-2020学年新教材高中数学 第一章 集合与常用逻辑用语 1.2 常用逻辑用语 1.2.3

1第1课时充分条件、必要条件(教师独具内容)课程标准：通过对典型数学命题的梳理，理解充分条件、必要条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系．教学重点：掌握充分条件与必要条件的意义，会判断条件与结论之间的充分性或必要性．教学难点：判断条件与结论之间的充分性或必要性.【情境导学】(教师独具内容)已知命题p：小华是北京人，命题q：小华是中国人，这两个命题之间有什么关系呢？q是p的什么条件呢？这节课我们就来学习这些问题．【知识导学】知识点一命题的结构在“如果p，那么q”形式的命题中，p称为命题的条件，q称为命题的结论．若“如果p，那么q”是一个真命题，则称由□01p可以推出□02q，记作p⇒q，读作“p推出q”；否则，称由p不可以推出q，记作p⇒/q，读作“p推不出q”．知识点二充分条件、必要条件(1)当p⇒q时，我们称p是q的□01充分条件，q是p的□02必要条件；当p⇒/q时，我们称p不是q的充分条件，q不是p的必要条件．(2)充分条件与必要条件也可用集合的知识来理解．一般地，如果A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，且A⊆B(如图所示)，那么□03p(x)⇒q(x)，因此也就有□04p(x)是□05q(x)的充分条件，□06q(x)是□07p(x)的必要条件．(3)充分条件、必要条件还与数学中的□08判定定理、□09性质定理有关．【新知拓展】1．p⇒q含义(1)“若p，则q”形式的命题为真命题；(2)由条件p可以得到结论q；(3)只要有条件p，就一定有结论q；2(4)q是p的必要条件或p的必要条件是q；(5)为得到结论q，具备条件p就可以推出；(6)一旦q不成立，p一定也不成立；(7)q对于p的成立是必要的．2．对“p⇒/q”的理解“若p，则q”为假命题时，p推不出q，q不是p的必要条件，p也不是q的充分条件．3．对充分条件、必要条件的理解(1)所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的．“有之必成立，无之未必不成立”．(2)充分条件不是唯一的，如x2，x3等都是x0的充分条件．(3)所谓必要，就是条件是必须有的，必不可少的，缺其不可．“有之未必成立，无之必不成立”．(4)必要条件不是唯一的，如x0，x5等都是x9的必要条件．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“x＝3”是“x2＝9”的充分条件．()(2)“x2且y3”是“x＋y5”的充分条件．()(3)若p⇒q，则q是p的必要条件．()(4)“△ABC∽△A′B′C′”是“△ABC≌△A′B′C′”的必要条件．()(5)“x＝1”是“x2＝x”的必要条件．()答案(1)√(2)√(3)√(4)√(5)×2．做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)将命题“平行四边形的对角线互相平分”改写成“若p，则q”的形式为________________________．(2)a，b都是偶数________a＋b是偶数．(3)“ab0”是“a0，b0”的________条件．答案(1)若一个四边形为平行四边形，则这个四边形的对角线互相平分(2)⇒(3)必要题型一命题的结构形式例1把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q.3(1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形；(3)当acbc时，ab；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．[解](1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论．(3)若acbc，则ab，是假命题．故由该命题的条件不能推出该命题的结论．(4)若一个点在角的平分线上，则该点到这个角的两边的距离相等，是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．[条件探究]如果把本例(3)中的“acbc”改为“acbc，且c0”，怎样解答呢？解若acbc，且c0，则ab，是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．金版点睛1．命题改写的相关策略(1)对命题改写时，一定要找准命题的条件和结论，有些命题的形式比较简洁，条件和结论不明显，写命题的条件和结论时需要适当加以补充，例如命题“对顶角相等”的条件应写成“若两个角是对顶角”，结论为“这两个角相等”．(2)在对命题改写时，要注意所叙述的条件和结论的完整性，有些命题中，还要注意大前提的写法．例如“在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行”中，大前提“在同一平面内”是必不可少的．2．判断命题真假的方法(1)反例法：通过构造反例否定一个命题，是判定一个命题为假命题的常用方法．(2)直推法：由条件出发，运用相关的定义、性质、定理等，通过逻辑推理来推断命题的真假性，是判定一个命题为真命题的常规方法．[跟踪训练1]把下列命题写成“若p，则q”的形式，并判断由p是否可以推出q.(1)能被6整除的数既能被3整除也能被2整除；(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧．解(1)原命题可以写成：若一个数能被6整除，则它既能被3整除也能被2整除，这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论．(2)原命题可以写成：若一条直线是弦的垂直平分线，则这条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，这个命题是真命题．故由该命题的条件可以推出该命题的结论.4题型二充分条件、必要条件的判断例2判断下列说法中，p是q的充分条件的是________．①p：“x＝1”，q：“x2－2x＋1＝0”；②设a，b是实数，p：“a＋b0”，q：“ab0”；③已知a，b为正实数，p：ab1，q：a2b20.[解析]①当x＝1时，x2－2x＋1＝0，故p⇒q，所以p是q的充分条件．②由a＋b0不能推出ab0，故p不是q的充分条件．③因为ab1⇒a2b20，所以p是q的充分条件．[答案]①③金版点睛充分条件的两种判定方法(1)定义法：①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若由条件能推出结论，则条件是结论的充分条件，否则就不是充分条件．(2)命题判断法：①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．[跟踪训练2]设A，B是两个集合，判断“A∩B＝A”是“A⊆B”的什么条件．解由题意，得A∩B＝A⇒A⊆B，反之，A⊆B⇒A∩B＝A，故“A∩B＝A”是“A⊆B”的充分条件，也是必要条件．例3在下列各题中，q是p的必要条件吗？为什么？(1)p：x－2＝0；q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：两个三角形相似；q：两个三角形全等；(3)p：m－2；q：方程x2－x－m＝0无实根．[解](1)∵x－2＝0⇒(x－2)(x－3)＝0，∴q是p的必要条件．(2)∵两个三角形相似推不出两个三角形全等，∴q不是p的必要条件．5(3)∵方程x2－x－m＝0无实根，∴Δ＝b2－4ac＝1－4×1×(－m)＝1＋4m0，解得m－14.∵m－2⇒m－14，∴q是p的必要条件．金版点睛必要条件判定方法(1)定义法：首先分清条件和结论，然后判断p⇒q和q⇒p是否成立，最后得出结论．(2)集合法：对于涉及取值范围的判断题，可从集合的角度研究，若两个集合具有包含关系，则小范围⇒大范围，大范围推不出小范围．(3)传递法：由推式的传递性：p1⇒p2⇒p3⇒…⇒pn，则pn是p1的必要条件．[跟踪训练3]在下列各题中，q是p的必要条件吗？p是q的必要条件吗？为什么？(1)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(2)p：ab，q：ab1.解(1)∵a2＋b2＝0⇒a＝b＝0⇒a＋b＝0，∴q是p的必要条件．∵a＋b＝0推不出a2＋b2＝0，∴p不是q的必要条件．(2)由于ab，当b0时，ab1；当b0时，ab1，故ab推不出ab1.∴q不是p的必要条件．当a0，b0，ab1时，可以推出ab；当a0，b0，ab1时，可以推出ab.∴p不是q的必要条件.题型三利用充分条件与必要条件求参数的取值范围例4已知集合A＝{y|y＝x2－3x＋1，x∈R}，B＝{x|x＋2m≥0}；命题p：x∈A，命题q：x∈B.(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．[解]由已知可得6A＝yy＝x－322－54，x∈R＝yy≥－54，B＝{x|x≥－2m}．(1)若p是q的充分条件，则p⇒q，所以A⊆B，所以－2m≤－54，所以m≥58，即m的取值范围是58，＋∞.(2)若p是q的必要条件，则q⇒p，所以B⊆A，所以－2m≥－54，解得m≤58.即m的取值范围是－∞，58.金版点睛利用充分条件、必要条件求参数取值范围的思路根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，先将p，q等价转化，再根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．[跟踪训练4]已知p：3－m2x3＋m2，q：0x3.(1)若p是q的充分条件，求实数m的取值范围；(2)若p是q的必要条件，求实数m的取值范围．解记A＝x3－m2x3＋m2，B＝{x|0x3}．(1)若p是q的充分条件，则A⊆B.注意到B＝{x|0x3}≠∅，分两种情况讨论：①若A＝∅，即3－m2≥3＋m2，解得m≤0，此时A⊆B，符合题意．②若A≠∅，即3－m23＋m2，解得m0，7要使A⊆B，应有3－m2≥0，3＋m2≤3，解得0m≤3.m0，综上可得，实数m的取值范围是(－∞，3]．(2)若p是q的必要条件，则B⊆A.分两种情况讨论：①若3－m2≥3＋m2，即m≤0时，A＝∅，此时B⃘A，不符合题意．②若A≠∅，即3－m23＋m2，解得m0.要使B⊆A，应有3－m2≤0，3＋m2≥3，m0，解得m≥3.综上可得，实数m的取值范围是[3，＋∞)．1．若a∈R，则“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的()A．充分条件B．必要条件C．既不是充分条件，也不是必要条件D．无法判断答案A解析因为a＝2⇒(a－1)(a－2)＝0，而(a－1)(a－2)＝0不能推出a＝2，故“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的充分条件，故选A.2．下列命题中，是真命题的是()A．“x20”是“x0”的充分条件B．“xy＝0”是“x＝0”的必要条件C．“|a|＝|b|”是“a＝b”的充分条件D．“|x|1”是“x2不小于1”的必要条件答案B解析A中，x20⇒x0或x0，不能推出x0，而x0⇒x20，故“x20”是“x0”的必要条件．B中，xy＝0⇒x＝0或y＝0，不能推出x＝0，而x＝0⇒xy＝0，故“xy＝0”是8“x＝0”的必要条件．C中，|a|＝|b|⇒a＝b或a＝－b，不能推出a＝b，而a＝b⇒|a|＝|b|，故“|a|＝|b|”是“a＝b”的必要条件．D中，|x|1⇒x2不小于1，而x2不小于1不能推出|x|1，故“|x|1”是“x2不小于1”的充分条件，故选B.3．已知p：5x－1a，q：x1，若q是p的必要条件，则实数a的取值范围是________．答案a≥4解析由5x－1a，得xa＋15，要使q是p的必要条件，需有a＋15≥1，解得a≥4.故当a≥4时，q是p的必要条件．4．“ac0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的________条件．答案充分解析由ac0⇒b2－4ac0⇒ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根，而ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根不能推出ac0.故“ac0”是“ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有实根”的充分条件．5．若