2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质 3.1.3 函数的奇偶

1第2课时函数奇偶性的应用(教师独具内容)课程标准：会利用函数的奇偶性研究函数的定义域、值域、解析式、单调性等．教学重点：函数奇偶性的应用．教学难点：函数的奇偶性和单调性的综合应用．【情境导学】(教师独具内容)通过上节课的学习，我们知道函数的奇偶性描述了函数图像具有的对称性，这节课我们就来学习如何应用函数的奇偶性来解决问题．【知识导学】知识点一函数奇偶性的应用如果知道一个函数是□01奇函数或是□02偶函数，那么其定义域能分成□03关于原点对称的两部分，得出函数在其中一部分上的性质和图像，就可得出这个函数在另一部分上的□04性质和图像．知识点二偶函数的性质如果y＝f(x)是偶函数，那么其在x0与x0时的单调性□01相反．知识点三奇函数的性质如果y＝f(x)是奇函数，那么其在x0与x0时的单调性□01相同．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)偶函数的图像一定与y轴相交．()(2)奇函数的图像一定通过原点．()(3)若函数y＝f(x)是偶函数，且在[1,2]上单调递增，那么该函数在[－2，－1]上也单调递增．()(4)若函数y＝f(x)是奇函数，且在(0,3)上单调递减，那么该函数在(－3,0)上单调递增．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×22．做一做(1)函数y＝f(x)，x∈[－1，a](a－1)是奇函数，则a等于()A．－1B．0C．1D．无法确定(2)已知函数f(x)为奇函数，且当x0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝________.(3)如果奇函数f(x)在区间[2,5]上是减函数，且最大值为8，最小值为3，那么f(x)在[－5，－2]上是________函数，最大值是________，最小值是________．答案(1)C(2)－2(3)减－3－8题型一利用函数的奇偶性求值或求参数例1(1)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c是定义在[2b－5,2b－3]上的奇函数，则f12的值为()A.13B.98C．1D．无法确定(2)已知f(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx＋2，若f(－3)＝－3，则f(3)＝________.(3)已知函数f(x)＝(x＋a)(x＋b)(a，b∈R)为R上的偶函数．①求a，b的关系式；②求关于x的方程f(x)＝0的解集．[解析](1)∵奇函数的定义域关于原点对称，∴2b－5＝－(2b－3)＝－2b＋3.解得b＝2.∴f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，∴f(0)＝c＝0，f(－1)＝－f(1)．即－1＋a－2＝－(1＋a＋2)．∴a＝0.∴f(x)＝x3＋2x.∴f12＝123＋2×12＝18＋1＝98.(2)令g(x)＝x7－ax5＋bx3＋cx，则g(x)为奇函数．∴f(－3)＝g(－3)＋2＝－g(3)＋2.又f(－3)＝－3，∴g(3)＝5.又f(3)＝g(3)＋2，∴f(3)＝5＋2＝7.(3)①因为f(x)＝(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对于x∈R恒成立，3所以(－x)2－(a＋b)x＋ab＝x2＋(a＋b)x＋ab，即2(a＋b)x＝0对于x∈R恒成立，所以a＋b＝0，即b＝－a.②由①可知，f(x)＝x2－a2.当a＝0时，f(x)＝x2＝0，解得x＝0；当a≠0时，f(x)＝x2－a2＝0，解得x＝±a.综上所述，当a＝0时，方程f(x)＝0的解集为{0}；当a≠0时，方程f(x)＝0的解集为{－a，a}．[答案](1)B(2)7(3)见解析金版点睛利用奇偶性求参数的常见类型及策略(1)定义域含参数：奇、偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数．(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数即可求解．[跟踪训练1](1)设函数f(x)＝2x＋1，x0，gxx0，若f(x)是奇函数，则g(2)的值是()A．3B．5C．－5D．－3(2)若f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b的值为()A．－13B.13C．－12D.12答案(1)A(2)B解析(1)∵函数f(x)＝2x＋1，x0，gxx0，且f(x)是奇函数，∴g(2)＝f(2)＝－f(－2)＝－(－2×2＋1)＝3.故选A.(2)∵f(x)＝ax2＋bx＋b＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＝－2a，f(－x)＝ax2－bx＋b＋1＝f(x)＝ax2＋bx＋b＋1.∴a＝13，b＝0.∴a＋b＝13.故选B.题型二利用函数的奇偶性求解析式例2若f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝x(1－x)，求当x≥0时，f(x)4的解析式．[解]∵当x0时，f(x)＝x(1－x)，设x0，则－x0.∴f(－x)＝－x(1＋x)，又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1＋x)．当x＝0时，f(0)＝－f(0)，即f(0)＝0.∴当x≥0时，f(x)＝x(1＋x)．金版点睛利用函数奇偶性求解析式的方法注意求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量x，然后把x转化为－x为另一已知区间上的解析式中的变量，通过互化，求得所求区间上的解析式．[跟踪训练2]已知f(x)是定义在R上的奇函数，并且当x0时f(x)＝x3＋x＋1，求f(x)的解析式．解∵当x0时，f(x)＝x3＋x＋1，设x0，∴－x0.∴f(－x)＝(－x)3＋(－x)＋1＝－x3－x＋1.又f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，f(－x)＝－f(x)．∴－f(x)＝－x3－x＋1，即f(x)＝x3＋x－1.故f(x)＝x3＋x＋1x00x＝0x3＋x－1x0.题型三函数的奇偶性与单调性的综合应用例3(1)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，在[2,6]上是减函数，试比较f(－5)与f(3)的大小；(2)设定义在[－2,2]上的奇函数f(x)在区间[0,2]上单调递减，若f(m)＋f(m－1)0，求实数m的取值范围．[解](1)因为f(x)是偶函数，所以f(－5)＝f(5)，因为f(x)在[2,6]上是减函数，所以f(5)f(3)，所以f(－5)f(3)．(2)由f(m)＋f(m－1)0，得5f(m)－f(m－1)，即f(1－m)f(m)．又f(x)在区间[0,2]上为减函数且f(x)在[－2,2]上为奇函数，∴f(x)在[－2,2]上为减函数．∴－2≤1－m≤2，－2≤m≤2，1－mm，即－1≤m≤3，－2≤m≤2，m12.解得－1≤m12.故m的取值范围为－1，12.金版点睛奇偶性与单调性综合问题的两种类型(1)比较大小：看自变量是否在同一单调区间上．①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小；②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小．(2)解不等式①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为f(x1)f(x2)或f(x1)f(x2)的形式；②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“f”转化为简单不等式求解．[跟踪训练3](1)已知函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，f(x)在[0,5]上是单调函数，且f(－4)f(－2)，则下列不等式一定成立的是()A．f(－1)f(3)B．f(2)f(3)C．f(－3)f(5)D．f(0)f(1)(2)设函数f(x)在R上是偶函数，在(－∞，0)上单调递减，若f(a2－2a＋3)f(a2＋a＋1)，求实数a的取值范围．答案(1)D(2)见解析解析(1)因为函数f(x)在[－5,5]上是偶函数，所以f(－4)f(－2)⇒f(4)f(2)．又f(x)在[0,5]上是单调函数．所以f(x)在[0,5]上单调递减，从而f(0)f(1)．(2)由题意，知f(x)在(0，＋∞)上是增函数．6又a2－2a＋3＝(a－1)2＋20，a2＋a＋1＝a＋122＋340，且f(a2－2a＋3)f(a2＋a＋1)，所以a2－2a＋3a2＋a＋1，即3a2，a23.综上，实数a的取值范围是－∞，23.1．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a等于()A.12B.23C.34D．1答案A解析函数f(x)的定义域为xx≠－12，且x≠a.又f(x)为奇函数，定义域应关于原点对称，∴a＝12.2．若函数f(x)＝ax2＋(2＋a)x＋1是偶函数，则函数f(x)的单调递增区间为()A．(－∞，0]B．[0，＋∞)C．(－∞，＋∞)D．[1，＋∞)答案A解析因为函数f(x)为偶函数，所以a＋2＝0，a＝－2，即该函数f(x)＝－2x2＋1，所以函数在(－∞，0]上单调递增．故选A.3．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是()A．f(－π)f(3)f(－2)B．f(－π)f(－2)f(3)C．f(3)f(－2)f(－π)D．f(3)f(－π)f(－2)答案A解析∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且23π，∴f(π)f(3)f(2)，即f(－π)f(3)f(－2)．4．奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值是4，最小值是－1，7则2f(－6)＋f(－3)＝________.答案－7解析∵f(x)是奇函数，且在[3,6]上是增函数，∴f(3)＝－1，f(6)＝4.∴2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×4＋1＝－7.5．已知函数f(x)＝x2＋4x＋3.(1)若g(x)＝f(x)＋bx为偶函数，求b的值；(2)求函数f(x)在[－3,3]上的最大值．解(1)g(x)＝f(x)＋bx＝x2＋(b＋4)x＋3，g(－x)＝x2－(b＋4)x＋3，∵g(x)＝g(－x)，∴b＋4＝0，∴b＝－4.(2)∵f(x)＝x2＋4x＋3的图像关于直线x＝－2对称，∴f(x)在x＝－2时取得最小值－1，在x＝3时取得最大值24.