2019-2020学年新教材高中数学 课后作业34 函数的零点与方程的解 新人教A版必修第一册

1课后作业(三十四)复习巩固一、选择题1．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，ac0，则函数的零点个数是()A．1B．2C．0D．无法确定[解析]因为ac0，所以b2－4ac0，所以二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根，故函数有2个零点．[答案]B2．下列函数不存在零点的是()A．y＝x－1xB．y＝2x2－x－1C．y＝x＋1，x≤0，x－1，x0D．y＝x＋1，x≥0，x－1，x0[解析]由x－1x＝0，得x＝±1，故选项A不适合；由2x2－x－1＝0得x＝1或x＝－12，故选项B不适合；由x＋1＝0，x≤0得x＝－1，x－1＝0，x0得x＝1，故选项C不适合；选项D中函数无零点．故选D.[答案]D3．函数f(x)＝12x－x＋2的零点所在的一个区间是()A．(－1,0)B．(0,1)C．(1,2)D．(2,3)[解析]由f(x)＝12x－x＋2，得f(2)＝122－2＋20，f(3)＝123－3＋20，∴f(2)·f(3)0，∴函数的零点在(2,3)内．[答案]D4．若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是()A．若f(a)·f(b)0，则不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0B．若f(a)·f(b)0，则只存在一个实数c∈(a，b)使得f(c)＝0C．若f(a)·f(b)0，则有可能存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝02D．若f(a)·f(b)0，则有可能不存在实数c∈(a，b)使得f(c)＝0[解析]当零点在区间(a，b)内时，f(a)·f(b)0也可能成立，因此A不正确，C正确；若y＝f(x)满足零点存在性定理的两个条件，则在该区间内必存在零点，但个数不能确定，故B，D都不正确．[答案]C5．方程log3x＋x＝3的解所在的区间为()A．(0,2)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析]令f(x)＝log3x＋x－3，则f(2)＝log32＋2－3＝log3230，f(3)＝log33＋3－3＝10，所以方程log3x＋x＝3的解所在的区间为(2,3)．[答案]C二、填空题6．函数y＝x2－4的零点是________．[解析]令x2－4＝0，解得x＝±2，所以函数y＝x2－4的零点是±2.[答案]±27．若f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，则b的取值范围为________．[解析]解法一：∵f(x)＝x＋b是增函数，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内，∴f00，f10.∴b0，1＋b0.∴－1b0.解法二：由x＋b＝0得x＝－b，又f(x)＝x＋b的零点在区间(0,1)内．∴0－b1，∴－1b0.[答案](－1,0)8．函数f(x)＝log2x＋2x－7的零点个数为________，它的一个大致区间是________．[解析]设y1＝log2x，y2＝－2x＋7，可将y1，y2的图象作出，由图可知y1与y2只有一个交点，则log2x＋2x－7＝0只有一个实数根，∴函数f(x)只有一个零点．∵f(2)＝log22＋22－7＝－20，f(3)＝log23＋23－7＝log23＋10，3∴f(2)·f(3)0，∴零点的一个大致区间为(2,3)．[答案]1(2,3)三、解答题9．判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝x＋3x；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝1－log3x；(4)f(x)＝(2x－3)(x2－4)．[解](1)令x＋3x＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝x＋3x存在零点，且零点为x＝－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－120，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x存在零点，且零点为x＝3.(4)令(2x－3)(x2－4)＝0，得2x＝3或x2＝4，所以x＝log23或x＝±2，所以函数f(x)＝(2x－3)(x2－4)存在零点，且零点为log23,2与－2.10．求函数f(x)＝lnx－|x－2|的零点个数．[解]令f(x)＝0，得lnx－|x－2|＝0，即lnx＝|x－2|，令y1＝lnx，y2＝|x－2|.在同一坐标系中作出函数y1＝lnx和y2＝|x－2|的图象，如图所示．由两图象有2个交点，可知函数f(x)＝lnx－|x－2|有2个零点．综合运用11．若x0是方程12x＝的解，则x0属于区间()A.23，1B.12，234C.13，12D.0，13所以f13·f120，故函数f(x)的零点所在的区间为13，12，即方程12x＝的解x0属于区间13，12.[答案]C12．函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A．(1,3)B．(1,2)C．(0,3)D．(0,2)[解析]根据指数函数和反比例函数的性质可知函数f(x)＝2x－2x－a在区间(1,2)内是增函数，又函数f(x)＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，所以f(1)0，且f(2)0，求解可得0a3.[答案]C13．若abc，则函数f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间()A．(a，b)和(b，c)内B．(－∞，a)和(a，b)内5C．(b，c)和(c，＋∞)内D．(－∞，a)和(c，＋∞)内[解析]∵f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)，∴f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)(c－b)，∵abc，∴f(a)0，f(b)0，f(c)0，∴f(x)的两个零点分别位于区间(a，b)和(b，c)内．[答案]A14．已知函数f(x)＝mx2＋2x－1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________________．[解析]当m＝0时，零点为x＝12，满足题意．当m≠0时，Δ＝4＋4m≥0，解得m≥－1且m≠0，设x1，x2是函数的两个零点，则x1＋x2＝－2m，x1x2＝－1m.若m＝－1，函数只有一个零点1，满足题意；若－1m0，则x1，x2均为正数，不符合题意，舍去；若m0，则x1，x2一正一负，满足题意．综上，实数m的取值范围是{－1}∪[0，＋∞)．[答案]{－1}∪[0，＋∞)15．若函数f(x)＝|x2－2x|－a有4个零点，求实数a的取值范围．[解]函数f(x)＝|x2－2x|－a的零点就是方程|x2－2x|－a＝0的解．由|x2－2x|－a＝0，得|x2－2x|＝a.在平面直角坐标系中，画出函数y＝|x2－2x|的图象，再作出直线y＝a，使它们有4个交点，如图，6则实数a的取值范围是(0,1).