2019-2020学年高中数学 阶段评估（五） 北师大版必修3

1阶段评估(五)时间：45分钟满分：100分一、选择题(6×5＝30分)1．从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为()A.15B.25C.35D.45解析：选C从这5个点中任取2个，有10种取法，满足两点间的距离不小于正方形边长的取法有6种，∴所求概率为P＝610＝35.2.(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是()A.14B.π8C.12D.π4解析：选B设正方形的边长为2，则正方形的面积为4，正方形内切圆的面积为π，根据对称性可知，黑色部分的面积是正方形内切圆的面积的一半，所以黑色部分的面积为π2.根据几何概型的概率公式，得所求概率P＝π24＝π8.3．下列五种对某生活现象发生的表示：①“一定发生的”，②“很可能发生的”，③“可能发生的”，④“不可能发生的”，⑤“不太可能发生的”，其发生的概率由小到大的排列为()A．①②③④⑤B．④⑤③②①C．①③②⑤④D．②③④⑤①解析：选B“一定发生的”是必然事件，其概率为1，“不可能发生的”是不可能事2件，其概率为0，故选B.4．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A.23B.35C.25D.15解析：选B设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为610＝35.故选B.5．(2017·天津卷)有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A.45B.35C.25D.15解析：选C从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有10种不同取法：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．而取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，共4种，故所求概率P＝410＝25.6．已知某运动员每次投篮命中的概率为40%，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683431257393027556488730113537989据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为()A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15解析：选B在20组随机数中，恰好两次命中的包括191,271,932,812,393，共5组，3故所求的概率为P＝520＝0.25.二、填空题(3×5＝15分)7．在区间[－2,4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为56，则m＝________.解析：由题意得当x在[－2,4]上任取一个值，其概率为P＝56，∴m＝3.答案：38．以边长为2的正方形的四个顶点为圆心各作一个半径为1的四分之一圆周，如图所示，现向正方形内任投一质点，则质点落入图中阴影部分的概率为________．解析：阴影部分的面积为4—4×14π＝4－π，故质点落入题图中阴影部分的概率为1－π4.答案：1－π49．若以连续两次掷均匀的正方体骰子分别得到的点数m，n，作为P点的坐标，则点P在圆x2＋y2＝25外的概率为________．解析：连续掷两次均匀的正方体骰子，共有36种不同的情形，其中满足P点在圆x2＋y2＝25外的情形有(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共21种不同的情形，∴其概率P＝2136＝712.答案：712三、解答题(55分)10．(13分)袋中有大小相同的红、黄两种颜色的球各1个，从中任取1只，有放回地抽取3次．求：(1)3只全是红球的概率；(2)3只颜色全相同的概率；(3)3只颜色不全相同的概率．解：利用树状图我们可以列出有放回地抽取3次的所有可能结果：4由此可以看出，抽取的所有可能结果为8种，所以(1)3只全是红球的概率为P1＝18.(2)3只颜色全相同的概率为P2＝28＝14.(3)3只颜色不全相同的概率为P3＝1－P2＝1－14＝34.11．(13分)(1)若x、y分别表示将一枚质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次，第二次出现的点数，求满足2x－y＝1的概率；(2)若x，y连续在区间[1,6]上取值，求满足2x－y＞0的概率．解：(1)将一枚骰子抛掷两次共有36种不同的情形，其中满足2x－y＝1的情形有(1,1)，(2,3)，(3,5)共3种不同的情形，∴满足2x－y＝1的概率P＝336＝112.(2)满足{1≤x≤61≤y≤6的(x，y)是如图所示的正方形，其面积S矩＝52＝25，其中满足2x－y＞0是图中所示的阴影部分，由y＝2x，x＝1，得A(1,2)，由y＝6，y＝2x，得B(3,6)，∴S阴影＝S矩－S三角形＝25－12×(3－1)×(6－2)＝21，∴满足2x－y＞0的概率P＝S阴影S矩＝2125.12．(14分)(2019·天津卷)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．5(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．员工项目ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人、9人、10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{D，E}，{D，F}，{E，F}，共15种．②由表格知，符合题意的所有可能结果为{A，B}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{C，E}，{C，F}，{D，F}，{E，F}，共11种．所以，事件M发生的概率P(M)＝1115.13．(15分)某中学的高二(1)班有男同学45名，女同学15名，老师按照分层抽样的方法组建了一个4人的课外兴趣小组．(1)求某同学被抽到的概率及课外兴趣小组中男、女同学的人数；(2)经过一个月的学习、讨论，这个兴趣小组决定选出两名同学做某项实验，方法是先从小组里选出1名同学做实验，该同学作完后，再从小组内剩下的同学中选1名同学做实验，求选出的两名同学中恰有一名女同学的概率；(3)实验结束后，第一次做实验的同学得到的实验数据为68,70,71,72,74，第二次做实验的同学得到的实验数据为69,70,70,72,74，请问哪位同学的实验更稳定？并说明理由．解：(1)P＝445＋15＝115，∴该同学被抽到的概率为115，6设该课外兴趣小组中有x名男同学，则4560＝x4，∴x＝3，∴男、女同学的人数分别为3,1.(2)把3名男同学和1名女同学分别记为a1，a2，a3，b，则选取两名同学的基本事件有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b)，(a2，a3)，(a2，b)，(a3，b)，共6种情况，其中恰有一名女同学的有3种情况，∴选出的两名同学中恰有一名女同学的概率为P1＝36＝12.(3)∵x1＝68＋70＋71＋72＋745＝71，x2＝69＋70＋70＋72＋745＝71，s21＝68－712＋70－712＋71－712＋72－712＋74－7125＝4，s22＝69－712＋270－712＋72－712＋74－7125＝3.2，∴x1＝x2，s21s22，故第二名同学的实验更稳定．