2019-2020学年高中数学 章末测试题2 解三角形 北师大版必修5

1第二章章末测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在△ABC中，下列等式不成立的是()A．c＝a2＋b2－2abcosCB.asinA＝bsinBC．asinC＝csinAD．cosB＝a2＋c2－b22abc答案D解析很明显A，B，C成立；由余弦定理，得cosB＝a2＋c2－b22ac，所以D不成立．2．已知△ABC中，c＝6，a＝4，B＝120°，则b等于()A．76B．219C．27D．27答案B解析由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝76，所以b＝219.3．已知△ABC中，a＝4，b＝43，A＝30°，则B等于()A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°答案D解析由正弦定理，得asinA＝bsinB.所以sinB＝basinA＝434sin30°＝32.又ab，则AB，所以B＝60°或120°.4．已知三角形的三边长分别为a，b，a2＋ab＋b2，则三角形的最大内角是()A．135°B．120°C．60°D．90°答案B解析a2＋ab＋b2a，a2＋ab＋b2b，则长为a2＋ab＋b2的边所对的角最大．由余弦定理，得cosα＝a2＋b2－（a2＋b2＋ab）2ab＝－12，所以三角形的最大内角是120°.5．在△ABC中，周长为7.5cm，且sinA∶sinB∶sinC＝4∶5∶6，则下列结论：①a∶b∶c＝4∶5∶6；2②a∶b∶c＝2∶5∶6；③a＝2cm，b＝2.5cm，c＝3cm；④A∶B∶C＝4∶5∶6.其中正确的个数是()A．0个B．1个C．2个D．3个答案C6．某市在“旧城改造”中计划在一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮要()A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元答案C解析三角形空地的面积为12×20×30×sin150°＝150(平方米)，所以购买草皮要150a元．7．在△ABC中，C＝90°，0°A45°，则下列各式中正确的是()A．sinAcosAB．sinBcosAC．sinAcosBD．sinBcosB答案D解析因为A＋B＝90°，则sinA＝cosB，sinB＝cosA.又0°A45°，所以sinAcosA，45°B90°，sinBcosB.8．△ABC的三内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c设向量p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，若p∥q，则角C的大小为()A.π6B.π3C.π2D.2π33答案B解析由p∥q，得(a＋c)(c－a)＝b(b－a)，则b2＋a2－c2＝ab.由余弦定理，得cosC＝a2＋b2－c22ab＝12，所以C＝π3.9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2A2＝b＋c2c，则△ABC的形状为()A．直角三角形B．等腰直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形答案A解析由cos2A2＝1＋cosA2＝b＋c2c，得cosA＝bc，又cosA＝b2＋c2－a22bc，以上两式整理，得c2＝a2＋b2，∴C＝90°，故△ABC为直角三角形．10．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是()A．3B.932C.332D．33答案C解析利用所给条件以及余弦定理整体求解ab的值，再利用三角形面积公式求解．∵c2＝(a－b)2＋6，∴c2＝a2＋b2－2ab＋6.①∵C＝π3，∴c2＝a2＋b2－2abcosπ3＝a2＋b2－ab.②由①②得－ab＋6＝0，即ab＝6.∴S△ABC＝12absinC＝12×6×32＝332.11．在△ABC中，若ABC，b＝10，且a＋c＝2b，C＝2A，则a与c的值分别为()A．8，10B．10，10C．8，12D．12，8答案C解析∵C＝2A，∴sinC＝sin2A＝2sinA·cosA.由正弦定理，余弦定理可得c＝2a·100＋c2－a22×10c.将a＝20－c代入上式整理，得c2－22c＋120＝0，解得4c＝10(舍去)或c＝12，∴a＝8.12．已知平面上有四点O，A，B，C，满足OA→＋OB→＋OC→＝0，OA→·OB→＝OB→·OC→＝OC→·OA→＝－1，则△ABC的周长是()A．3B．6C．36D．96答案C解析由已知得O是△ABC的重心，由OA→·OB→＝OB→·OC→，得OB→·(OA→－OC→)＝0.∴OB→·CA→＝0.∴OB⊥CA.同理，OA⊥BC，OC⊥AB.∴△ABC为等边三角形．故∠AOB＝∠BOC＝∠COA＝2π3，|OA→|＝|OB→|＝|OC→|＝2.在△AOB中，由余弦定理得AB2＝OA2＋OB2－2OA·OBcos2π3＝6，∴AB＝6，故△ABC的周长是36.讲评本题是以向量的数量积给出条件，通过计算得出三角形中的一些量，再利用余弦定理可解．二、填空题(每小题5分，共20分)13．在△ABC中，A＝30°，C＝105°，b＝8，则a＝________．答案42解析B＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理，得a＝sinAsinBb＝sin30°sin45°×8＝42.14．在△ABC中，若∠A＝120°，AB＝5，BC＝7，则AC＝________．答案3解析在△ABC中，由余弦定理，得cosA＝cos120°＝AB2＋AC2－BC22×AB×AC，即25＋AC2－492×5×AC＝－12.解得AC＝－8(舍去)或AC＝3.15．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为5________．答案－24解析依题意得，△ABC的三边长分别为a，2a，2a(a0)，则最大边2a所对的角的余弦值为a2＋（2a）2－（2a）22a·2a＝－24.16．甲、乙两楼相距20m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲楼高为________m，乙楼高为________m.答案2034033解析如下图所示，甲楼高为AB，乙楼高为CD，AC＝20m.则在△ABC中，∠BAC＝90°，AC＝20(m)，所以AB＝ACtan60°＝203(m)，在△BCD中，BC＝40(m)，∠BCD＝90°－60°＝30°，∠CBD＝90°－30°－30°＝30°，则∠BDC＝180°－30°－30°＝120°.由正弦定理，得BCsin∠BDC＝CDsin∠CBD，所以CD＝sin∠CBDsin∠BDCBC＝4033.三、解答题(本大题共70分)17．(本小题满分10分)已知A，B，C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a，b，c，若cosBcosC－sinBsinC＝12.(1)求A；(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．思路分析(1)转化为求cosA；(2)求出bc的值即可．解析(1)∵cosBcosC－sinBsinC＝12，∴cos(B＋C)＝12.∵A＋B＋C＝π，∴cos(π－A)＝12.6∴cosA＝－12.又∵0Aπ，∴A＝2π3.(2)由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc·cosA.则(23)2＝(b＋c)2－2bc－2bc·cos2π3，∴12＝16－2bc－2bc·(－12)．∴bc＝4.∴S△ABC＝12bc·sinA＝12×4×32＝3.18．(本小题满分12分)如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝1，cosC＝34.(1)求AB的值；(2)求sin(2A＋C)的值．解析(1)由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝4＋1－2×2×1×34＝2.∴AB＝2.(2)由cosC＝34且0Cπ，得sinC＝1－cos2C＝74.由正弦定理，得ABsinC＝BCsinA.解得sinA＝BCsinCAB＝148.所以cosA＝528.由倍角公式，得sin2A＝2sinAcosA＝5716，且cos2A＝1－2sin2A＝916，故sin(2A＋C)＝sin2AcosC＋cos2AsinC＝378.19．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2C＝－14.7(1)求sinC的值；(2)当a＝2，2sinA＝sinC时，求b及c的长．解析(1)∵cos2C＝1－2sin2C＝－14，0Cπ，∴sinC＝104.(2)当a＝2，2sinA＝sinC时，由正弦定理asinA＝csinC，得c＝4.由cos2C＝2cos2C－1＝－14及0Cπ，得cosC＝±64.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得b2±6b－12＝0(b0)，解得b＝6或b＝26.故b＝6，c＝4或b＝26，c＝4.20．(本小题满分12分)(2013·新课标全国)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝12，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解析(1)由已知，得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理，得PA2＝3＋14－2×3×12cos30°＝74，故PA＝72.(2)设∠PBA＝α，由已知得3sin150°＝sinαsin（30°－α），化简得3cosα＝4sinα，所以tanα＝34，即tan∠PBA＝34.21．(本小题满分12分)如图，A，C两岛之间有一片暗礁，一艘小船于某日上午8时从A岛出发，以10海里/小时的速度，沿北偏东75°方向直线航行，下午1时到达B处．然后以同样的速度，沿北偏东15°方向直线航行，下午4时到达C岛．8(1)求A，C两岛之间的直线距离；(2)求∠BAC的正弦值．解析(1)在△ABC中，由已知，AB＝10×5＝50，BC＝10×3＝30，∠ABC＝180°－75°＋15°＝120°.根据余弦定理，得AC2＝502＋302－2×50×30cos120°＝4900，所以AC＝70.故A，C两岛之间的直线距离是70海里．(2)在△ABC中，由正弦定理，得BCsin∠BAC＝ACsin∠ABC.所以sin∠BAC＝BCsin∠ABCAC＝30sin120°70＝3314.故∠BAC的正弦值是3314.22．(本小题满分12分)设函数f(x)＝cos(2x＋π3)＋sin2x.(1)求函数f(x)的最大值和最小正周期；(2)设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB＝13，f(C2)＝－14，且C为锐角，求sinA.解析(1)f(x)＝cos2xcosπ3－sin2xsinπ3＋1－cos2x2＝12cos2x－32sin2x＋12－12cos2x＝12－32sin2x.所以当2x＝－π2＋2kπ，即x＝－π4＋kπ(k∈Z)时，f(x)取得最大值，f(x)最大值＝1＋32，f(x)的最小正周期T＝2π2＝π，9故函数f(x)的最大值为1＋32，最小正周期为π.(2)由f(C2)＝－14，即12－32sinC＝－14，解得sinC＝32.又C为锐角，所以C＝π3.由cosB＝13，求得sinB＝223.因此sinA＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝223×12＋13×32＝22＋36.