2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.2.2.2 函数奇偶性的应用随堂

1第2课时函数奇偶性的应用1．函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x0时，f(x)＝－x＋1，则当x0时，f(x)的解析式为()A．f(x)＝－x＋1B．f(x)＝－x－1C．f(x)＝x＋1D．f(x)＝x－1[解析]设x0，则－x0.∴f(－x)＝x＋1，又函数f(x)是奇函数．∴f(－x)＝－f(x)＝x＋1，∴f(x)＝－x－1(x0)．[答案]B2．设f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上单凋递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小顺序是()A．f(－π)f(3)f(－2)B．f(－π)f(－2)f(3)C．f(3)f(－2)f(－π)D．f(3)f(－π)f(－2)[解析]∵f(x)是R上的偶函数，∴f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)，又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且23π，∴f(π)f(3)f(2)，即f(－π)f(3)f(－2)．[答案]A3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f(2x－1)f13的x的取值范围为()A.13，23B.13，23C.12，23D.12，23[解析]由于f(x)为偶函数，且在[0，＋∞)上单调递增，则不等式f(2x－1)f13，即－132x－113，解得13x23.2[答案]A4．若奇函数f(x)在区间[2,5]上的最小值是6，那么f(x)在区间[－5，－2]上有()A．最小值6B．最小值－6C．最大值－6D．最大值6[解析]因为奇函数f(x)在[2,5]上有最小值6，所以可设a∈[2,5]，有f(a)＝6.由奇函数的性质，f(x)在[－5，－2]上必有最大值，且最大值为f(－a)＝－f(a)＝－6.[答案]C5．函数f(x)＝x3＋3x＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)的值为________．[解析]∵f(a)＝2，∴a3＋3a＋1＝2，a3＋3a＝1.∴f(－a)＝(－a)3＋3－a＋1＝－(a3＋3a)＋1＝－1＋1＝0.[答案]0课内拓展课外探究一、抽象函数的奇偶性与对称性我们知道研究函数的奇偶性的实质是研究函数图象的对称性，只不过它是一种特殊的对称性，是关于原点或y轴对称的问题．那么，我们能否把这种对称性进行推广呢？1．函数图象关于直线x＝a对称的问题【典例1】当函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称时，会满足怎样的条件呢？[解]如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值相等，即f(a－x)＝f(a＋x)；反之，若对定义域内任一值x都有f(a－x)＝f(a＋x)，则可证明其图象关于直线x＝a对称．证明：设函数y＝f(x)的图象上任一点为P(x，y)，则它关于直线x＝a的对称点为P′(2a－x，y)．因为f(a－x)＝f(a＋x)，所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝f[a－(a－x)]＝f(x)．3这说明点P′(2a－x，y)也在函数y＝f(x)的图象上，则函数图象关于直线x＝a对称，由此得出：函数y＝f(x)对定义域内任一值x都有f(a－x)＝f(a＋x)⇔y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．若改变在直线x＝a两边取值的情况会得到如下结论：f(x)在定义域内恒满足的条件y＝f(x)的图象的对称轴f(a＋x)＝f(a－x)直线x＝af(x)＝f(a－x)直线x＝a2f(a＋x)＝f(b－x)直线x＝a＋b22.函数图象关于点(a,0)对称的问题【典例2】当函数y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称时，又会满足怎样的条件呢？[解]如图所示，在直线x＝a两边取对称的两个自变量的值，如a－x，a＋x，由对称性知它们的函数值互为相反数，即f(a－x)＝－f(a＋x)；反之，若对定义域内任一值x都有f(a－x)＝－f(a＋x)，则可证明其图象关于点(a,0)对称．证明：设函数y＝f(x)图象上任一点为P(x，y)，则它关于点(a,0)的对称点为P′(2a－x，－y)．因为f(a－x)＝－f(a＋x)，所以f(2a－x)＝f[a＋(a－x)]＝－f[a－(a－x)]＝－f(x)＝－y.这说明点P′(2a－x，－y)也在函数y＝f(x)的图象上，则函数图象关于点(a,0)对称．由此得出：函数y＝f(x)对定义域内任一值x都有f(a－x)＝－f(a＋x)⇔y＝f(x)的图象关于点(a,0)对称．若改变在直线x＝a两边取值的情况会得到如下结论：f(x)在定义域内恒满足的条件y＝f(x)的图象的对称中心4f(a－x)＝－f(a＋x)点(a,0)f(x)＝－f(a－x)点a2，0f(a＋x)＝－f(b－x)点a＋b2，0二、抽象函数的奇偶性与单调性抽象函数涉及的问题有如下几类：一是单调性，由于没有具体的函数解析式，研究抽象函数的单调性就得靠题中给出的抽象函数所满足的关系，通过赋特殊值、转化等手段，归结到函数单调性的定义上去解决．二是奇偶性，这类题的入手点是函数奇偶性的定义，解题时抓住定义，实现问题的转化．三是不等式，一般要先研究函数的性质，再转化为一般的不等式进行解答．【典例3】已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)满足：①对任意x，y∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，f(x·y)＝f(x)＋f(y)；②当x1时，f(x)0，且f(2)＝1.(1)试判断函数f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)在(0，＋∞)上的单调性；(3)求函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值；(4)求不等式f(3x－2)≥4的解集．[解](1)令x＝y＝1，则f(1×1)＝f(1)＋f(1)，得f(1)＝0；再令x＝y＝－1，则f[(－1)·(－1)]＝f(－1)＋f(－1)，得f(－1)＝0.对于条件f(x·y)＝f(x)＋f(y)，令y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋f(－1)，∴f(－x)＝f(x)．又∵函数f(x)的定义域关于原点对称，∴函数f(x)为偶函数．(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1x2，则有x2x11.又∵当x1时，f(x)0，∴fx2x10.而f(x2)＝fx1·x2x1＝f(x1)＋fx2x1f(x1)，∴函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数．(3)∵f(4)＝f(2×2)＝f(2)＋f(2)，又f(2)＝1，∴f(4)＝2.又由(1)(2)知函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上是偶函数，且在(0,4]上是增函数，∴函数f(x)在区间[－4,0)∪(0,4]上的最大值为f(4)＝f(－4)＝2.(4)∵4＝2＋2＝f(4)＋f(4)＝f(16)，∴原不等式转化为f(3x－2)≥f(16)．又∵函数f(x)为偶函数，且函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，∴原不等式又转化为|3x－2|≥16，即3x－2≥16或3x－2≤－16，∴不等式f(3x－2)≥4的解集为{xx≤－143或x≥6.[点评]对于抽象函数奇偶性、单调性的判断，定义法是一种常用手段．具体的解题策略是：首先通过赋值得到f(1)，f(0)，f(－1)之类的特殊自变量的函数值，然后再通过赋5值构造f(x)与f(－x)或f(x2)与f(x1)之间的关系式进行函数奇偶性或单调性的判断．