2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.2.2 指数函数的性质及其应用

1第2课时指数函数的性质及其应用1．下列判断正确的是()A．2.52.52.53B．0.820.83C．π2π2D．0.90.30.90.5[解析]函数y＝0.9x在R上为减函数，所以0.90.30.90.5.[答案]D2．若122a＋1123－2a，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B.12，＋∞C．(－∞，1)D.－∞，12[解析]函数y＝12x在R上为减函数，∴2a＋13－2a，∴a12.[答案]B3．设1313b13a1，则()A．aaabbaB．aabaabC．abaabaD．abbaaa[解析]由已知条件得0ab1，∴abaa，aaba，∴abaaba.[答案]C4．函数y＝121－x的单调增区间为()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0,1)[解析]设t＝1－x，则y＝12t，则函数t＝1－x的递减区间为(－∞，＋∞)，即为y＝121－x的递增区间．[答案]A5．已知函数f(x)＝2－x2＋2x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)在[0,3]上的值域．2[解](1)函数y＝2－x2＋2x的定义域是R.令u＝－x2＋2x，则y＝2u.当x∈(－∞，1]时，函数u＝－x2＋2x为增函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在(－∞，1]上是增函数．当x∈[1，＋∞)时，函数u＝－x2＋2x为减函数，函数y＝2u是增函数，所以函数y＝2－x2＋2x在[1，＋∞)上是减函数．综上，函数y＝2－x2＋2x的单调减区间是[1，＋∞)，单调增区间是(－∞，1]．(2)由(1)知f(x)在[0,1]上单调递增，在[1,3]上单调递减，且f(0)＝1，f(1)＝2，f(3)＝18，所以f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(3)＝18，所以f(x)的值域为18，2.课内拓展课外探究指数函数与函数的单调性、奇偶性指数函数本身不具有奇偶性，但由指数函数复合而成的某些函数具有奇偶性，这类复合函数的单调性由指数函数的单调性决定．1．“y＝f(ax)”型函数的单调性【典例1】如果函数y＝a2x＋2ax－1(a0，且a≠1)在[－1，1]上有最大值14，试求a的值．[解]令t＝ax(t0)，则原函数可化为y＝(t＋1)2－2，其图象的对称轴为直线t＝－1.①若a1，因为x∈[－1,1]，所以t∈1a，a，则y＝(t＋1)2－2在1a，a上单调递增，所以ymax＝(a＋1)2－2＝14，解得a＝3或a＝－5(舍去)．②若0a1，因为x∈[－1,1]，所以t∈a，1a，则y＝(t＋1)2－2在a，1a上单调递增，所以ymax＝1a＋12－2＝14，解得a＝13或a＝－15(舍去)．综上可知，a的值为3或13.[点评]解决二次函数与指数函数的综合问题，本质上考查的还是闭区间上的二次函数的最值问题．在处理时可以利用换元法将指数函数换成t＝ax的形式，再利用定义域和函数y＝ax的单调性求出t的范围，此时纯粹就是闭区间上的二次函数的最值问题了．2．“y＝f(ax)”型函数的奇偶性【典例2】设函数f(x)＝12－12x＋1，(1)证明函数f(x)是奇函数；(2)证明函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；3(3)求函数f(x)在[1,2]上的值域．[解](1)证明：函数的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝12－112x＋1＝12－2x2x＋1＝1－2x22x＋1＝－12＋12x＋1＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(3)因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，所以函数f(x)在[1,2]上也是增函数，所以f(x)min＝f(1)＝16，f(x)max＝f(2)＝310.所以函数f(x)在[1,2]上的值域为16，310.[点评]指数函数是一类具有特殊性质和实际应用价值的初等函数，利用函数的图象和性质可以研究符合指数函数的图象与性质的综合问题．