2019-2020学年新教材高中数学 课后作业35 用二分法求方程的近似解 新人教A版必修第一册

1课后作业(三十五)复习巩固一、选择题1．下列函数不宜用二分法求零点的是()A．f(x)＝x3－1B．f(x)＝lnx＋3C．f(x)＝x2＋22x＋2D．f(x)＝－x2＋4x－1[解析]因为f(x)＝x2＋22x＋2＝(x＋2)2≥0，不存在小于0的函数值，所以不能用二分法求零点．[答案]C2．下列函数中表示的函数能用二分法求零点的是()[解析]由于只有图C满足图象连续，且f(a)·f(b)0，故只有C能用二分法求零点．[答案]C3．下面关于二分法的叙述中，正确的是()A．用二分法可求所有函数零点的近似值B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位C．二分法无规律可循，无法在计算机上完成D．只能用二分法求函数的零点[解析]用二分法求函数零点的近似值，需要有端点函数值符号相反的区间，故选项A错误；二分法是一种程序化的运算，故可以在计算机上完成，故选项C错误；求函数零点的方法还有方程法、函数图象法等，故D错误．故选B.[答案]B4．设函数y＝x2与y＝12x－2的图象的交点为(x0，y0)，则x0所在的区间是()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)[解析]令f(x)＝x2－12x－2，因f(1)＝1－121－2＝1－20，2f(2)＝22－120＝4－10，故x0∈(1,2)，故选B.[答案]B5．设f(x)＝lgx＋x－3，用二分法求方程lgx＋x－3＝0在(2,3)内近似解的过程中得f(2.25)0，f(2.75)0，f(2.5)0，f(3)0，则方程的解落在区间()A．(2,2.25)B．(2.25,2.5)C．(2.5,2.75)D．(2.75,3)[解析]因为f(2.5)0，f(2.75)0，由零点存在性定理知，方程的根在区间(2.5,2.75)，选C.[答案]C二、填空题6．用二分法求函数y＝f(x)在区间[2,4]上零点的近似值，经验证有f(2)·f(4)0.取区间的中点x1＝2＋42＝3，计算得f(2)·f(x1)0，则此时零点x0∈________(填区间)．[解析]因为f(2)·f(3)0，所以零点在区间(2,3)内．[答案](2,3)7．函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法求出，则a，b的关系是________．[解析]∵函数f(x)＝x2＋ax＋b有零点，但不能用二分法，∴函数f(x)＝x2＋ax＋b图象与x轴相切．∴Δ＝a2－4b＝0.∴a2＝4b.[答案]a2＝4b8．若函数f(x)＝x3＋x2－2x－2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如下表：f(1)≈－2f(1.5)≈0.625f(1.25)≈－0.984f(1.375)≈－0.260f(1.4375)≈0.162f(1.40625)≈－0.054那么方程x3＋x2－2x－2＝0的一个近似解(精确到0.1)为________．[解析]依据题意，∵f(1.4375)≈0.162，且f(1.375)≈－0.260，∴方程的一个近似解为1.4.[答案]1.4三、解答题9．画出函数f(x)＝x2－x－1的图象，并利用二分法说明方程x2－x－1＝0在[0,2]内的解的情况．3[解]图象如图所示，因为f(0)＝－10，f(2)＝10，所以方程x2－x－1＝0在(0,2)内有解x0；取(0,2)的中点1，因为f(1)＝－10，所以f(1)·f(2)0，解x0在区间(1,2)内；再取(1,2)的中点1.5，f(1.5)＝－0.250，所以f(1.5)·f(2)0，解x0在区间(1.5,2)内；取(1.5,2)的中点1.75，f(1.75)＝0.31250，所以f(1.5)·f(1.75)0，解x0在区间(1.5,1.75)内．这样继续下去，可以得到满足一定精确度的方程的近似解．10．证明函数f(x)＝2x＋3x－6在区间(1,2)内有唯一零点，并求出这个零点(精确度0.1)．[证明]由于f(1)＝－10，f(2)＝40，又函数f(x)是连续的增函数，所以函数在区间(1,2)内有唯一零点，不妨设为x0，则x0∈(1,2)．下面用二分法求解：区间中点的值中点函数近似值(1,2)1.51.328(1,1.5)1.250.128(1,1.25)1.125－0.444(1.125,1.25)1.1875－0.160因为f(1.1875)·f(1.25)0，且|1.1875－1.25|＝0.06250.1，所以函数f(x)＝2x＋3x－6精确度为0.1的零点可取为1.2.综合运用11．在用“二分法”求函数f(x)零点近似值时，第一次所取的区间是[－2,4]，则第三次所取的区间可能是()A．[1,4]B．[－2,1]C.－2，52D.－12，1[解析]由于第一次所取的区间为[－2,4]，∴第二次所取区间为[－2,1]或[1,4]，第三次所取区间为4－2，－12，－12，1，1，52或52，4.[答案]D12．用二分法求方程ln(2x＋6)＋2＝3x的根的近似值时，令f(x)＝ln(2x＋6)＋2－3x，并用计算器得到下表：x1.001.251.3751.50f(x)1.07940.1918－0.3604－0.9989则由表中的数据，可得方程ln(2x＋6)＋2＝3x的一个近似解(精确度为0.1)为()A．1.125B．1.3125C．1.4375D．1.46875[解析]因为f(1.25)·f(1.375)0，故根据二分法的思想，知函数f(x)的零点在区间(1.25,1.375)内，但区间(1.25,1.375)的长度为0.1250.1，因此需要取(1.25，1.375)的中点1.3125，两个区间(1.25,1.3125)和(1.3125，1.375)中必有一个满足区间端点的函数值符号相异，又区间的长度为0.06250.1，因此1.3125是一个近似解，故选B.[答案]B13．已知f(x)的一个零点x0∈(2,3)，用二分法求精确度为0.01的x0近似值时，判断各区间中点的函数值的符号最多需要的次数为()A．6B．7C．8D．9[解析]函数f(x)的零点所在区间的长度是1，用二分法经过7次分割后区间的长度变为1270.01.[答案]B14．在用二分法求方程f(x)＝0在[0,1]上的近似解时，经计算，f(0.625)0，f(0.75)0，f(0.6875)0，即得出方程的一个近似解为________．(精确度为0.1)[解析]∵f(0.625)0，f(0.75)0，f(0.6875)0，∴方程的解在(0.6875,0.75)上，而|0.75－0.6875|0.1.∴方程的一个近似解为0.6875.[答案]0.687515．某同学在借助计算器求“方程lgx＝2－x的近似解(精确度0.1)”时，设f(x)＝lgx＋x－2，算得f(1)0，f(2)0；在以下过程中，他用“二分法”又取了4个x的值，计算了其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解是x≈1.8.那么他再取的x的4个值依次是_____________．[解析]第一次用二分法计算得区间(1.5,2)，第二次得区间(1.75,2)，第三次得区间5(1.75,1.875)，第四次得区间(1.75,1.8125)．[答案]1.5,1.75,1.875,1.812516．用二分法求方程x2－5＝0的一个近似正实数解(精确度为0.1)．[解]令f(x)＝x2－5，因为f(2.2)＝－0.160，f(2.4)＝0.760，所以f(2.2)·f(2.4)0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0，取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，f(2.3)＝0.290，因为f(2.2)·f(2.3)0，所以x0∈(2.2,2.3)．再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，f(2.25)＝0.06250，因为f(2.2)·f(2.25)0，所以x0∈(2.2,2.25)．由于|2.25－2.2|＝0.050.1，所以原方程的近似正实数解可取为2.25.