2019-2020学年新教材高中数学 课后作业50 两角和与差的正切公式 新人教A版必修第一册

1课后作业(五十)复习巩固一、选择题1．设sinα＝35π2απ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A．－27B．－25C．－211D．－112[解析]∵sinα＝35π2απ，∴tanα＝－34.∵tan(π－β)＝12，∴tanβ＝－12.∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－211.[答案]C2.tan10°＋tan50°＋tan120°tan10°tan50°的值等于()A．－1B．1C.3D．－3[解析]因为tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，所以tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°.所以原式＝tan60°－tan60°tan10°tan50°＋tan120°tan10°tan50°＝－3.[答案]D3．已知tan(α＋β)＝35，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()A.1318B.1323C.723D.16[解析]tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝35－141＋35×14＝723.[答案]C24．若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值为()A.12B．1C.32D．2[解析]∵tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝tan3π4(1－tanαtanβ)＝tanαtanβ－1，∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1＋tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝2.[答案]D5．已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且－π2απ2，－π2βπ2，则α＋β的值为()A.π3B．－2π3C.π3或－2π3D．－π3或2π3[解析]由一元二次方程根与系数的关系得tanα＋tanβ＝－33，tanα·tanβ＝4，∴tanα0，tanβ0.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3.又∵－π2απ2，－π2βπ2，且tanα0，tanβ0，∴－πα＋β0，∴α＋β＝－2π3.[答案]B二、填空题6.1＋tan12°tan72°tan12°－tan72°＝________.[解析]1＋tan12°tan72°tan12°－tan72°＝－1tan72°－12°＝－33.[答案]－337．tan70°＋tan50°－3tan50°tan70°＝__________.[解析]∵tan70°＋tan50°＝tan120°(1－tan50°·tan70°)＝－3＋3tan50°·tan70°，∴原式＝－3＋3tan50°·tan70°－3tan50°·tan70°＝－3.[答案]－338.如下图，在△ABC中，AD⊥BC，D为垂足，AD在△ABC的外部，且BD∶CD∶AD＝2∶3∶6，则tan∠BAC＝________.[解析]不妨设BD＝2，CD＝3，AD＝6，则tan∠ABD＝3，tan∠ACD＝2，又∵∠BAC＝∠ABD－∠ACD，∴tan∠BAC＝tan∠ABD－tan∠ACD1＋tan∠ABD·tan∠ACD＝3－21＋3×2＝17.[答案]17三、解答题9．已知tanπ12＋α＝2，tanβ－π3＝22，求：(1)tanα＋β－π4的值；(2)tan(α＋β)的值．[解](1)tanα＋β－π4＝tanα＋π12＋β－π3＝tanα＋π12＋tanβ－π31－tanα＋π12tanβ－π3＝2＋221－2×22＝－2.(2)tan(α＋β)＝tanα＋β－π4＋π4＝tanα＋β－π4＋tanπ41－tanα＋β－π4tanπ4＝－2＋11＋2×1＝22－3.10．已知tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，α，β∈(0，π)，求2α－β的值．[解]tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝13，4又α∈(0，π)，所以α∈0，π4.tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝13＋121－13×12＝1，而tanβ＝－17，β∈(0，π)，所以β∈π2，π，所以2α－β∈(－π，0)，2α－β＝－3π4.综合运用11．已知tanα和tanπ4－α是方程ax2＋bx＋c＝0的两根，则a，b，c的关系是()A．b＝a＋cB．2b＝a＋cC．c＝a＋bD．c＝ab[解析]由根与系数的关系得：tanα＋tanπ4－α＝－ba，tanαtanπ4－α＝ca.tanα＋π4－α＝tanα＋tanπ4－α1－tanαtanπ4－α＝－ba1－ca＝1，得c＝a＋b.[答案]C12．(1＋tan1°)(1＋tan2°)·…·(1＋tan44°)(1＋tan45°)的值为()A．222B．223C．224D．225[解析]∵(1＋tan1°)(1＋tan44°)＝1＋tan1°＋tan44°＋tan1°tan44°＝1＋tan(1°＋44°)(1－tan1°tan44°)＋tan1°·tan44°＝1＋1－tan1°tan44°＋tan1°tan44°＝2，同理(1＋tan2°)(1＋tan43°)＝(1＋tan3°)(1＋tan42°)＝…＝(1＋tan22°)(1＋tan23°)＝2又1＋tan45°＝2∴原式＝223.故选B.[答案]B513．已知α为锐角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，则α等于________．[解析]因为tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tanα＋β＋tanα－β1－tanα＋βtanα－β＝3＋21－3×2＝－1.又因为α为锐角，2α∈(0，π)．所以2α＝34π，α＝38π.[答案]38π14．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0的两根，则sinα＋βcosα－β＝________.[解析]sinα＋βcosα－β＝sinαcosβ＋cosαsinβcosαcosβ＋sinαsinβ＝tanα＋tanβ1＋tanαtanβ＝31＋－3＝－32.[答案]－3215.如下图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A，B两点，已知A，B的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[解]由条件得cosα＝210，cosβ＝255.∵α，β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210，sinβ＝1－cos2β＝55.6因此tanα＝sinαcosα＝7，tanβ＝sinβcosβ＝12.(1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3.(2)∵tan2β＝tan(β＋β)＝2tanβ1－tan2β＝2×121－122＝43，∴tan(α＋2β)＝tanα＋tan2β1－tanαtan2β＝7＋431－7×43＝－1，又∵α，β为锐角，∴0α＋2β3π2，∴α＋2β＝3π4.