2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.1 圆的标准方程课时跟踪检测

12.3.1圆的标准方程课时跟踪检测[A组基础过关]1．已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝4，则点P(3,2)()A．是圆心B．在圆C外C．在圆C内D．在圆C上解析：由于(3－2)2＋(2－3)2＝24，则点P在圆C内．答案：C2．圆(x＋2)2＋y2＝5关于原点O(0,0)对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5答案：A3．圆x2＋y2＝1上的点到点M(3,4)的距离的最小值是()A．1B．4C．5D．6解析：圆的圆心为(0,0)，则M到圆心的距离为32＋42＝5，∴圆上的点到M的距离的最小值是4.故选B．答案：B4．圆(x＋2)2＋y2＝5关于直线y＝x对称的圆的方程为()A．(x－2)2＋y2＝5B．x2＋(y－2)2＝5C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝5D．x2＋(y＋2)2＝5解析：圆(x＋2)2＋y2＝5的圆心为(－2,0)，关于y＝x的对称点为(0，－2)，所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝5.故选D．答案：D5．方程|x|－1＝1－y－12所表示的图形是()A．一个半圆B．一个圆C．两个半圆D．两个圆解析：由|x|－1＝1－y－12得2(|x|－1)2＋(y－1)2＝1，且|x|≥1.当x≥1时，(x－1)2＋(y－1)2＝1；当x≤－1时，(x＋1)2＋(y－1)2＝1，∴方程表示两个半圆，故选C．答案：C6．已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是(5,6)，(3，－4)，则这个圆的方程是__________________．解析：由平面几何的知识可知，直径两个端点是(5,6)，(3，－4)，从而确定圆心和半径．答案：(x－4)2＋(y－1)2＝267．圆C的方程为(x－3)2＋(y－4)2＝25，则点A(4,5)与圆上任意一点的最大距离为________．解析：点A到圆心C(3,4)的距离为3－42＋4－52＝2，所以A到圆上任意一点的最大距离为2＋5.答案：2＋58．求过三点O(0,0)，M(1,1)，N(4,2)的圆的方程，并求出这个圆的半径长和圆心坐标．解：解法一：先求出OM中点E12，12，MN中点F52，32，再写出OM的垂直平分线PE的直线方程y－12＝－x－12.①MN的垂直平分线PF的直线方程y－32＝－3x－52.②联立①②，得x＋y＝1，3x＋y＝9.解得x＝4，y＝－3.则点P(4，－3)为PE，PF的交点，即为圆心，|OP|＝5即为圆的半径．∴所求圆的圆心坐标为(4，－3)，半径长为5，圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.解法二：设圆心坐标为P(x，y)，根据圆的定义，可得|OP|＝|PM|＝|PN|.即x2＋y2＝(x－1)2＋(y－1)2＝(x－4)2＋(y－2)2.解得P(4，－3)，|OP|＝5.∴所求圆的圆心坐标为(4，－3)，半径长为5，圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.解法三：设所求的圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r≠0)．∵O，M，N在圆上，所以它们的坐标是方程的解．把它们的坐标代入上面的方程，可以3得到关于a，b，r的三元二次方程组，即1－a2＋1－b2＝r2，a2＋b2＝r2，4－a2＋2－b2＝r2.解此方程组，可得a＝4，b＝－3，r＝5.∴所求圆的圆心坐标为(4，－3)，半径长为5.圆的方程为(x－4)2＋(y＋3)2＝25.[B组技能提升]1．若实数x，y满足(x＋5)2＋(y－12)2＝142，则x2＋y2的最小值为()A．2B．1C．3D．2解析：设P(x，y)，则点P在圆(x＋5)2＋(y－12)2＝142上．则圆心C(－5,12)，r＝14，x2＋y2＝[x－02＋y－02]2＝|OP|2.由于原点O在圆C内，则|OP|的最小值是r－|OC|＝14－13＝1，所以x2＋y2的最小值为1.答案：B2．已知△ABC的三个顶点分别为A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，则其外接圆的方程为()A．(x＋3)2＋(y－1)2＝25B．(x－3)2＋(y－1)2＝25C．(x－3)2＋(y＋1)2＝25D．(x＋3)2＋(y＋1)2＝25解析：把(0,5)代入C、D选项中，不符合方程，故排除C、D．把(－3，－4)代入B选项中，不符合方程，故排除B．故正确选项为A．答案：A3．若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴相切，则该圆的标准方程是________________．解析：设圆心坐标为(a,1)，且a＞0，则|4a－3|5＝1，∴a＝2或a＝－12(舍)．∴圆的标准方程是(x－2)2＋(y－1)2＝1.答案：(x－2)2＋(y－1)2＝144．圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线x＋y＝0对称的圆的标准方程为________________．解析：点(x，y)关于直线x＋y＝0的对称点为(－y，－x)，所以所求的圆的标准方程为(－y－3)2＋(－x＋4)2＝1，即(x－4)2＋(y＋3)2＝1.答案：(x－4)2＋(y＋3)2＝15．矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0)，AB边所在直线的方程为x－3y－6＝0，点T(－1,1)在AD边所在直线上．(1)求AD边所在直线的方程；(2)求矩形ABCD外接圆的方程．解：(1)∵AB所在直线的方程为x－3y－6＝0，且AD与AB垂直，∴直线AD的斜率为－3.又∵点T(－1,1)在直线AD上，∴AD边所在直线的方程为y－1＝－3(x＋1)，即3x＋y＋2＝0.(2)由x－3y－6＝0，3x＋y＋2＝0得x＝0，y＝－2，∴点A的坐标为(0，－2)，∵矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0)，∴M为矩形ABCD外接圆的圆心，又|AM|＝2－02＋0＋22＝22，∴矩形ABCD外接圆的方程为(x－2)2＋y2＝8.6.已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝1，点A(0，－1)，B(0,1)，设点P是圆C上的一个动点，令d＝|PA|2＋|PB|2，求d的最大值及最小值．解：设点P的坐标为(x0，y0)，∴d＝x20＋(y0＋1)2＋x20＋(y0－1)2＝2(x20＋y20)＋2＝2|PO|2＋2.问题转化为求点P到原点O距离的最值．∵点O在圆外，∴|PO|max＝|CO|＋1＝5＋1＝6，5|PO|min＝|CO|－1＝5－1＝4.∴dmax＝2×62＋2＝74，dmin＝2×42＋2＝34.