2019-2020学年新教材高中数学 课后作业14 一元二次不等式的应用 新人教A版必修第一册

1课后作业(十四)复习巩固一、选择题1．不等式4x＋23x－10的解集是()A.x|x13或x－12B.x|－12x13C.x|x13D.x|x－12[解析]4x＋23x－10⇔(4x＋2)(3x－1)0⇔x13或x－12，此不等式的解集为x|x13或x－12.[答案]A2．不等式2－xx＋11的解集是()A．{x|x1}B．{x|－1x2}C.x|x－1或x12D.x|－1x12[解析]原不等式等价于2－xx＋1－10⇔1－2xx＋10⇔(x＋1)·(1－2x)0⇔(2x－1)(x＋1)0，解得x－1或x12.[答案]C3．不等式x＋5x－12≥2的解集是()A.x－3≤x≤12B.x－12≤x≤32C.x12≤x1或1x≤3D.x－12≤x≤3且x≠1[解析]∵原不等式等价于x＋5≥2x－12，x≠1，∴2x2－5x－3≤0，x≠1，∴－12≤x≤3，x≠1，即x－12≤x≤3且x≠1.[答案]D4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．15≤x≤30B．12≤x≤25C．10≤x≤30D．20≤x≤30[解析]设矩形的另一边长为ym，则由三角形相似知，x40＝40－y40，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.[答案]C5．设集合P＝{m|－4m0}，Q＝{m|mx2－mx－10，x∈R}，则下列关系式成立的是()A．PQB．QPC．P＝QD．P∩Q＝Q[解析]对Q：若mx2－mx－10对x∈R恒成立，则：①当m＝0时，－10恒成立．②当m≠0时，m0，Δ＝m2＋4m0，解得－4m0.由①②得Q＝{m|－4m≤0}，故PQ.[答案]A3二、填空题6．不等式x＋1x≤3的解集为________．[解析]x＋1x≤3⇔x＋1x－3≤0⇔2x－1x≥0⇒x(2x－1)≥0且x≠0，解得x0或x≥12.[答案]x|x0或x≥127．若不等式x2－4x＋3m0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．[解析]由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥43.[答案]m≥438．若关于x的不等式x2－ax－a0的解集为R，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．[解析]由Δ10即a2－4(－a)0得－4a0；由Δ2≥0即a2－4(3－a)≥0得a≤－6或a≥2.[答案]－4a0a≤－6或a≥2三、解答题9．解下列分式不等式：(1)x＋12x－3≤1；(2)2x＋11－x0.[解](1)∵x＋12x－3≤1，∴x＋12x－3－1≤0，∴－x＋42x－3≤0，即x－4x－32≥0.此不等式等价于(x－4)x－32≥0且x－32≠0，解得x32或x≥4.∴原不等式的解集为xx32或x≥4.(2)由2x＋11－x0得x＋12x－10，4此不等式等价于x＋12(x－1)0，解得x－12或x1，∴原不等式的解集为xx－12或x1.10．若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－40的解集为R，求实数a的取值范围．[解]当a－2＝0，即a＝2时，原不等式为－40，所以a＝2时成立．当a－2≠0时，由题意得a－20，Δ0.即a2，4a－22－4a－2－40.解得－2a2.综上所述可知：－2a≤2.综合运用11．在R上定义运算⊗：x⊗y＝x(1－y)．若不等式(x－a)⊗(x＋a)1对任意的实数x都成立，则a的取值范围是________.[解析]根据定义得(x－a)⊗(x＋a)＝(x－a)[1－(x＋a)]＝－x2＋x＋a2－a，又(x－a)⊗(x＋a)1对任意的实数x都成立，所以x2－x＋a＋1－a20对任意的实数x都成立，所以Δ0，即1－4(a＋1－a2)0，解得－12a32.[答案]－12a3212．若集合A＝{x|ax2－ax＋10}＝∅，则实数a的值的集合为________．[解析]①当a＝0时，满足题意；②当a≠0时，应满足a0，Δ≤0，解得0a≤4.综上可知，a值的集合为{a|0≤a≤4}．[答案]{a|0≤a≤4}13．已知关于x的不等式ax－1x＋10的解集是x|x－1或x－12，则a＝________.[解析]ax－1x＋10⇔(ax－1)(x＋1)0，根据解集的结构可知，a0且1a＝－12，∴a＝－52.[答案]－214．已知2≤x≤3时，不等式2x2－9x＋a0恒成立，则a的取值范围为________．[解析]∵当2≤x≤3时，2x2－9x＋a0恒成立，∴当2≤x≤3时，a－2x2＋9x恒成立．令y＝－2x2＋9x.∵2≤x≤3，且对称轴方程为x＝94，∴ymin＝9，∴a9.∴a的取值范围为a9.[答案]a915．某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电量为akW·h，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k)．该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．[解](1)设下调后的电价为x元/kW·h，依题意知，用电量增至kx－0.4＋a，电力部门的收益为y＝kx－0.4＋a(x－0.3)(0.55≤x≤0.75)．(2)依题意，有0.2ax－0.4＋ax－0.3≥[a×0.8－0.3]1＋20%，0.55≤x≤0.75.整理，得x2－1.1x＋0.3≥0，0.55≤x≤0.75.解此不等式，得0.60≤x≤0.75.∴当电价最低定为0.60元/kW·h时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.6