2019-2020学年新教材高中数学 课后作业16 函数概念的应用 新人教A版必修第一册

1课后作业(十六)复习巩固一、选择题1．已知函数f(x)＝x＋1x，则f(2)＋f(－2)的值是()A．－1B．0C．1D．2[解析]f(2)＋f(－2)＝2＋12－2－12＝0.[答案]B2．下列函数，值域为[0，＋∞)的是()A．y＝x＋1(x－1)B．y＝x2C．y＝1x(x0)D．y＝1x＋1[解析]y＝x＋1(x－1)的值域为(0，＋∞)；y＝x2的值域为[0，＋∞)；y＝1x(x0)的值域为(0，＋∞)；y＝1x＋1的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故选B.[答案]B3．下列函数与函数y＝x是同一函数的是()A．y＝|x|B．y＝3t3C．y＝x2D．y＝v2v[解析]选项A和选项C中，函数的值域都是[0，＋∞)；选项D中，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)；选项B中函数的定义域和值域都和函数y＝x相同，对应关系也等价，因此选B.[答案]B4．已知函数f(x)的定义域为[－1,2)，则函数f(x－1)的定义域为()A．[－1,2)B．[0,2)C．[0,3)D．[－2,1)[解析]∵f(x)的定义域为[－1,2)，∴－1≤x－12，得0≤x3，∴f(x－1)的定义域为[0,3)．[答案]C25．函数y＝5x＋4x－1的值域是()A．(－∞，5)B．(5，＋∞)C．(－∞，5)∪(5，＋∞)D．(－∞，1)∪(1，＋∞)[解析]∵y＝5x＋4x－1＝5x－1＋9x－1＝5＋9x－1，且9x－1≠0，∴y≠5，即函数的值域为(－∞，5)∪(5，＋∞)．[答案]C二、填空题6．设函数f(x)＝x2－2x－1，若f(a)＝2，则实数a＝________.[解析]由f(a)＝2，得a2－2a－1＝2，解得a＝－1或a＝3.[答案]－1或37．函数y＝1x－2的定义域是A，函数y＝x2＋2x－3的值域是B，则A∩B＝__________________(用区间表示)．[解析]要使函数式y＝1x－2有意义，只需x≠2，即A＝{x|x≠2}；函数y＝x2＋2x－3＝x＋12－4≥0，即B＝{y|y≥0}，则A∩B＝{x|0≤x2或x2}．[答案][0,2)∪(2，＋∞)8．已知函数f(x)的定义域为(－1,1)，则函数g(x)＝fx2＋f(2x－1)的定义域是________．[解析]由题意知－1x21，－12x－11，即－2x2，0x1.∴0x1.[答案](0,1)三、解答题9．已知函数f(x)＝x2＋x－1.(1)求f(2)，f1x，f(a＋1)；(2)若f(x)＝5，求x.[解](1)f(2)＝22＋2－1＝5，f1x＝1x2＋1x－1＝1＋x－x2x2，f(a＋1)＝(a＋1)2＋(a＋1)－1＝a2＋3a＋1.3(2)∵f(x)＝x2＋x－1＝5，∴x2＋x－6＝0，解得x＝2或x＝－3.10．求下列函数的值域：(1)y＝2x＋1，x∈{1,2,3,4,5}；(2)y＝x2－4x＋6，x∈[1,5)；(3)y＝3－5xx－2；(4)y＝x－x＋1.[解](1)∵x∈{1,2,3,4,5}，∴(2x＋1)∈{3,5,7,9,11}，即所求函数的值域为{3,5,7,9,11}．(2)y＝x2－4x＋6＝(x－2)2＋2.∵x∈[1,5)，∴其图象如图所示，当x＝2时，y＝2；当x＝5时，y＝11.∴所求函数的值域为[2,11)．(3)函数的定义域为{x|x≠1}，y＝3－5xx－2＝－5x－2＋7x－2＝－5－7x－2，所以函数的值域为{y|y≠－5}．(4)要使函数式有意义，需x＋1≥0，即x≥－1，故函数的定义域为{x|x≥－1}．设t＝x＋1，则x＝t2－1(t≥0)，于是y＝t2－1－t＝t－122－54，又t≥0，故y≥－54，所以函数的值域为{y|y≥－54}．综合运用11．函数f(x)＝1x2＋1(x∈R)的值域是()A．(0,1)B．(0,1]C．[0,1)D．[0,1][解析]由于x∈R，所以x2＋1≥1,01x2＋1≤1，即0y≤1.[答案]B12．下列函数中，对于定义域内的任意x，f(x＋1)＝f(x)＋1恒成立的为()A．f(x)＝x＋1B．f(x)＝－x24C．f(x)＝1xD．y＝|x|[解析]对于A选项，f(x＋1)＝(x＋1)＋1＝f(x)＋1，成立．对于B选项，f(x＋1)＝－(x＋1)2≠f(x)＋1，不成立．对于C选项，f(x＋1)＝1x＋1，f(x)＋1＝1x＋1，不成立．对于D选项，f(x＋1)＝|x＋1|，f(x)＋1＝|x|＋1，不成立．[答案]A13．若函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，则函数f(1－3x)的定义域为________．[解]解法一(过渡搭桥)：因为f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x1，所以－1≤2x－11.所以f(x)的定义域为[－1,1)．所以－1≤1－3x1，解得0x≤23.所以f(1－3x)的定义域为0，23.解法二(整体求解)：由于函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，即0≤x1，故－1≤2x－11.由于函数f(2x－1)与f(1－3x)中，2x－1与1－3x整体范围一致，故－1≤1－3x1，解得0x≤23.所以函数f(1－3x)的定义域为0，23.[答案]0，2314．若函数y＝ax2＋2ax＋3的值域为[0，＋∞)，则a的取值范围是________．[解析]函数y＝ax2＋2ax＋3的值域为[0，＋∞)，则函数f(x)＝ax2＋2ax＋3的值域要包括0，即最小值要小于等于0.则{a04a2－12a≥0，解得a≥3.所以a的取值范围是[3，＋∞)．[答案][3，＋∞)15．已知函数f(x)＝x21＋x2.(1)求f(2)＋f12，f(3)＋f13的值．(2)求证：f(x)＋f1x是定值．(3)求f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2019)＋f12019的值．[解](1)因为f(x)＝x21＋x2，所以f(2)＋f12＝221＋22＋1221＋122＝1，5f(3)＋f13＝321＋32＋1321＋132＝1.(2)证明：f(x)＋f1x＝x21＋x2＋1x21＋1x2＝x21＋x2＋1x2＋1＝x2＋1x2＋1＝1.(3)由(2)知f(x)＋f1x＝1，所以f(2)＋f12＝1，f(3)＋f13＝1，f(4)＋f14＝1，…，f(2019)＋f12019＝1.所以f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2019)＋f12019＝2018.