2019-2020学年新教材高中数学 课后作业11 基本不等式 新人教A版必修第一册

1课后作业(十一)复习巩固一、选择题1．不等式a2＋1≥2a中等号成立的条件是()A．a＝±1B．a＝1C．a＝－1D．a＝0[解析]a2＋1－2a＝(a－1)2≥0，∴a＝1时，等号成立．[答案]B2．对x∈R且x≠0都成立的不等式是()A．x＋1x≥2B．x＋1x≤－2C.|x|x2＋1≥12D.x＋1x≥2[解析]因为x∈R且x≠0，所以当x0时，x＋1x≥2；当x0时，－x0，所以x＋1x＝－－x＋1－x≤－2，所以A、B都错误；又因为x2＋1≥2|x|，所以|x|x2＋1≤12，所以C错误，故选D.[答案]D3．若0ab且a＋b＝1，则下列四个数中最大的是()A.12B．a2＋b2C．2abD．a[解析]a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·a＋b22＝12.∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab，∵0ab且a＋b＝1，∴a12，∴a2＋b2最大．[答案]B4．若a0，b0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件[解析]当a0，b0时，a＋b≥2ab，则当a＋b≤4时有2ab≤a＋b≤4，解得ab≤4，2充分性成立．当a＝1，b＝4时满足ab≤4，但此时a＋b＝54，必要性不成立，综上所述，“a＋b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件．[答案]A5．已知x0，y0，x≠y，则下列四个式子中值最小的是()A.1x＋yB.141x＋1yC.12x2＋y2D.12xy[解析]解法一：∵x＋y2xy，∴1x＋y12xy，排除D；∵141x＋1y＝x＋y4xy＝14xyx＋y1x＋y2x＋y＝1x＋y，∴排除B；∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy2(x2＋y2)，∴1x＋y12x2＋y2，排除A.解法二：取x＝1，y＝2.则1x＋y＝13；141x＋1y＝38；12x2＋y2＝110；12xy＝122＝18.其中110最小．[答案]C二、填空题6．已知abc，则a－bb－c与a－c2的大小关系是________.[解析]∵abc，∴a－b0，b－c0.∴a－c2＝a－b＋b－c2≥a－bb－c，当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时取等号．[答案]a－bb－c≤a－c27．若不等式x2＋2x2＋1≥2恒成立，则当且仅当x＝________时取“＝”号．[解析]x2＋2x2＋1＝x2＋1＋1x2＋1＝x2＋1＋1x2＋1≥2x2＋11x2＋1＝2，其中当且仅当x2＋1＝1x2＋1⇔x2＋1＝1⇔x2＝0⇔x＝0时成立．[答案]038．若a0，b0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________(填序号)．①ab≤1；②a＋b≤2；③a2＋b2≥2；④a3＋b3≥3；⑤1a＋1b≥2.[解析]令a＝b＝1，排除②④；由2＝a＋b≥2ab⇒ab≤1，①正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝4－2ab≥2，③正确；1a＋1b＝a＋bab＝2ab≥2，⑤正确．[答案]①③⑤三、解答题9．设a，b，c都是正数，求证：bca＋acb＋abc≥a＋b＋c.[证明]因为a，b，c都是正数，所以bca，acb，abc也都是正数．所以bca＋acb≥2c，acb＋abc≥2a，bca＋abc≥2b，三式相加得2bca＋acb＋abc≥2(a＋b＋c)，即bca＋acb＋abc≥a＋b＋c，当且仅当a＝b＝c时取等号．10．已知a0，b0，a＋b＝1，求证1＋1a1＋1b≥9.[证明]证法一：因为a0，b0，a＋b＝1，所以1＋1a＝1＋a＋ba＝2＋ba，同理1＋1b＝2＋ab，故1＋1a1＋1b＝2＋ba2＋ab＝5＋2ba＋ab≥5＋4＝9.所以1＋1a1＋1b≥9(当且仅当a＝b＝12时取等号)．证法二：因为a，b为正数，a＋b＝1.所以1＋1a1＋1b＝1＋1a＋1b＋1ab＝1＋a＋bab＋1ab＝1＋2ab，ab≤a＋b22＝14，于是1ab≥4，2ab≥8，因此1＋1a1＋1b≥1＋8＝94当且仅当a＝b＝12时等号成立.综合运用11．已知a0，b0，则a＋b2，ab，a2＋b22，2aba＋b中最小的是()A.a＋b2B.abC.a2＋b22D.2aba＋b[解析]因为a0，b0，所以2aba＋b≤2ab2ab＝ab，a＋b2≥ab，a2＋b22＝2a2＋b24≥a＋b24＝a＋b2(当且仅当a＝b0时，等号成立)．所以a＋b2，ab，a2＋b22，2aba＋b中最小的是2aba＋b，故选D.[答案]D12．已知a，b∈(0，＋∞)，且a＋b＝1，则下列各式恒成立的是()A.1ab≥8B.1a＋1b≥4C.ab≥12D.1a2＋b2≤12[解析]∵当a，b∈(0，＋∞)时，a＋b≥2ab，又a＋b＝1，∴2ab≤1，即ab≤12.∴ab≤14.∴1ab≥4.故选项A不正确，选项C也不正确．对于选项D，∵a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab，当a，b∈(0，＋∞)时，由ab≤14可得a2＋b2＝1－2ab≥12.所以1a2＋b2≤2，故选项D不正确．对于选项B，∵a0，b0，a＋b＝1，∴1a＋1b＝1a＋1b(a＋b)＝1＋ba＋ab＋1≥4，当且仅当a＝b时，等号成立．故选B.[答案]B13．已知不等式(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为()A．2B．4C．6D．85[解析](x＋y)1x＋ay＝1＋a＋axy＋yx≥1＋a＋2a＝(a＋1)2当且仅当yx＝a时取等号.∵(x＋y)1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，∴(a＋1)2≥9.∴a≥4.[答案]B14．给出下列结论：①若a0，则a2＋1a.①若a0，b0，则1a＋ab＋1b≥4.③若a0，b0，则(a＋b)1a＋1b≥4.④若a∈R且a≠0，则9a＋a≥6.其中恒成立的是________．[解析]因为(a2＋1)－a＝a－122＋340，所以a2＋1a，故①恒成立．因为a0，所以a＋1a≥2，因为b0，所以b＋1b≥2，所以当a0，b0时，a＋1ab＋1b≥4，故②恒成立．因为(a＋b)1a＋1b＝2＋ba＋ab，又因为a，b∈(0，＋∞)，所以ba＋ab≥2，所以(a＋b)1a＋1b≥4，故③恒成立．因为a∈R且a≠0，不符合基本不等式的条件，故9a＋a≥6是错误的．[答案]①②③15．设abc，且1a－b＋1b－c≥ma－c恒成立，求m的取值范围．[解]由abc，知a－b0，b－c0，a－c0.因此，原不等式等价于a－ca－b＋a－cb－c≥m.要使原不等式恒成立，只需a－ca－b＋a－cb－c的最小值不小于m即可．6因为a－ca－b＋a－cb－c＝a－b＋b－ca－b＋a－b＋b－cb－c＝2＋b－ca－b＋a－bb－c≥2＋2b－ca－b×a－bb－c＝4，当且仅当b－ca－b＝a－bb－c，即2b＝a＋c时，等号成立．所以m≤4，即m∈{m|m≤4}．