2019-2020学年新教材高中数学 课后作业51 二倍角的正弦、余弦、正切公式 新人教A版必修第一

1课后作业(五十一)复习巩固一、选择题1．已知α是第三象限角，cosα＝－513，则sin2α等于()A．－1213B.1213C．－120169D.120169[解析]∵cosα＝－513，α是第三象限角，∴sinα＝－1－cos2α＝－1213(舍正)因此，sin2α＝2sinαcosα＝2×－1213×－513＝120169.故选D.[答案]D2．cos275°＋cos215°＋cos75°cos15°的值等于()A.62B.32C.54D．1＋34[解析]原式＝sin215°＋cos215°＋sin15°cos15°＝1＋12sin30°＝1＋14＝54.[答案]C3．已知α∈0，π2，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝()A.15B.55C.33D.255[解析]∵2sin2α＝cos2α＋1，∴4sinα·cosα＝2cos2α.∵α∈0，π2，∴cosα0，sinα0，∴2sinα＝cosα，又sin2α＋cos2α＝1，∴5sin2α＝1，sin2α＝15，又sinα0，∴sinα＝55，故选B.[答案]B4.1＋cos100°－1－cos100°＝()A．－2cos5°B．2cos5°2C．－2sin5°D．2sin5°[解析]原式＝2cos250°－2sin250°＝2(cos50°－sin50°)＝222cos50°－22sin50°＝2sin(45°－50°)＝－2sin5°.[答案]C5．若cosπ4－α＝35，则sin2α等于()A.725B.15C．－15D．－725[解析]因为sin2α＝cosπ2－2α＝2cos2π4－α－1，又cosπ4－α＝35，所以sin2α＝2×925－1＝－725，故选D.[答案]D二、填空题6．若sinα－cosα＝13，则sin2α＝________.[解析](sinα－cosα)2＝sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝1－sin2α＝132⇒sin2α＝1－132＝89.[答案]897．化简：sin235°－12sin10°cos10°＝________.[解析]原式＝2sin235°－12sin10°cos10°＝－cos70°sin20°＝－cos70°sin90°－70°＝－1.[答案]－18．sin6°sin42°sin66°sin78°＝________.[解析]原式＝sin6°cos12°cos24°cos48°＝sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°cos6°3＝12sin12°cos12°cos24°cos48°cos6°＝14sin24°cos24°cos48°cos6°＝18sin48°cos48°cos6°＝116sin96°cos6°＝116cos6°cos6°＝116[答案]116三、解答题9．已知角α在第一象限且cosα＝35，求1＋2cos2α－π4sinα＋π2的值．[解]∵cosα＝35且α在第一象限，∴sinα＝45.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝－725，sin2α＝2sinαcosα＝2425，∴原式＝1＋2cos2αcosπ4＋sin2αsinπ4cosα＝1＋cos2α＋sin2αcosα＝145.10．已知sinx2－2cosx2＝0.(1)求tanx的值；(2)求cos2xcos5π4＋xsinπ＋x的值．[解](1)由sinx2－2cosx2＝0，知cosx2≠0，∴tanx2＝2，∴tanx＝2tanx21－tan2x2＝2×21－22＝－43.4(2)由(1)，知tanx＝－43，∴cos2xcos5π4＋xsinπ＋x＝cos2x－cosπ4＋x－sinx＝cos2x－sin2x22cosx－22sinxsinx＝cosx－sinxcosx＋sinx22cosx－sinxsinx＝2×cosx＋sinxsinx＝2×1＋tanxtanx＝24.综合运用11.sin65°cos25°＋cos65°sin25°－tan222.5°2tan22.5°＝()A.12B．1C.3D．2[解析]原式＝sin90°－tan222.5°2tan22.5°＝1－tan222.5°2tan22.5°＝1tan45°＝1.[答案]B12．若tanα＋1tanα＝103，α∈π4，π2，则sin2α＋π4＋2cosπ4cos2α＝________.[解析]由tanα＋1tanα＝103，得tanα＝13或tanα＝3.又∵α∈π4，π2，∴tanα＝3.∴sinα＝310，cosα＝110.∴sin2α＋π4＋2cosπ4cos2α＝sin2αcosπ4＋cos2αsinπ4＋2cosπ4cos2α＝22×2sinαcosα＋22(2cos2α－1)＋2cos2α＝2sinαcosα＋22cos2α－225＝2×310×110＋22×1102－22＝5210－22＝0.[答案]013．等腰三角形一个底角的余弦为23，那么这个三角形顶角的正弦值为________．[解析]设A是等腰△ABC的顶角，则cosB＝23，sinB＝1－cos2B＝1－232＝53.所以sinA＝sin(180°－2B)＝sin2B＝2sinBcosB＝2×53×23＝459.[答案]45914．已知θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，则cos(2θ－15°)＝________.[解析]∵θ为锐角，cos(θ＋15°)＝35，∴sin(θ＋15°)＝45，∴sin(2θ＋30°)＝2sin(θ＋15°)cos(θ＋15°)＝2425，cos(2θ＋30°)＝2cos2(θ＋15°)－1＝2×925－1＝－725.∴cos(2θ－15°)＝cos(2θ＋30°－45°)＝cos(2θ＋30°)cos45°＋sin(2θ＋30°)sin45°＝－725×22＋2425×22＝17250.[答案]1725015．已知0xπ2，sin2x2＋3sinx2cosπ＋x2＝－110，求tan2x＋π3的值．[解]∵sin2x2＋3sinx2cosπ＋x2＝1－cosx2－3sinx2cosx26＝12－32sinx＋12cosx＝12－sinx＋π6，∴由已知得12－sinx＋π6＝－110，∴sinx＋π6＝35.∵0xπ2，结合sinx＋π6＝3532，易知π6x＋π6π2.∴cosx＋π6＝45，∴tanx＋π6＝34.∴tan2x＋π3＝2tanx＋π61－tan2x＋π6＝2×341－916＝247.