2020年高中数学 第二章 平面解析几何初步 2.3 圆的方程 2.3.3 直线与圆的位置关系课时跟

12.3.3直线与圆的位置关系课时跟踪检测[A组基础过关]1．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0解析：圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，∴圆心C为(2,0)，半径为2，将(1，3)代入圆的方程(1－2)2＋(3)2＝4，∴点P在圆上，∴kCP＝3－1＝－3，∴切线的斜率为33，切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0，故选D．答案：D2．直线l：2x－y＋3＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定解析：圆心C(0,1)，半径为5，则圆心到直线2x－y＋3＝0的距离d＝|－1＋3|22＋1＝255，∴直线与圆相交，故选A．答案：A3．过点P(－3，－1)的直线l与圆x2＋y2＝1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是()A．0，π6B．0，π3C．0，π6D．0，π3解析：解法一：设直线l的倾斜角为θ，数形结合可知：θmin＝0，θmax＝2×π6＝π3.2解法二：因为直线l与x2＋y2＝1有公共点，所以设l：y＋1＝k(x＋3)，即l：kx－y＋3k－1＝0，则圆心(0,0)到直线l的距离|3k－1|1＋k2≤1，得k2－3k≤0，即0≤k≤3，故直线l的倾斜角的取值范围是0，π3.答案：D4．直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A，B两点，则|AB|为()A．23B．3C．2D．22解析：圆心(0,0)到直线x－2y＋5＝0的距离d＝512＋－22＝5，∴|AB|＝2r2－d2＝28－52＝23.答案：A5．圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的点到直线x－y＝2的距离的最大值是()A．1＋2B．2＋22C．1＋22D．2解析：圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0可化为(x－1)2＋(y－1)2＝1.∴圆心(1,1)到直线x－y－2＝0的距离d＝|1－1－2|2＝2.故所求最大值为2＋1.答案：A6．已知P(3,0)是圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0内一点，则过P点的最短弦所在直线的方程是________________．解析：圆x2＋y2－8x－2y＋12＝0，即(x－4)2＋(y－1)2＝5.所以圆心为C(4,1)．∵kCP＝14－3＝1，∴所求直线的斜率为－1.∴所求直线的方程为y＝－(x－3)，即x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝07．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，5)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为455，则圆C的方程为________________．3解析：设圆心为(a,0)，a0，∴|2a－0|5＝455，∴a＝2，a＝－2(舍)，又r2＝22＋5＝9，∴圆的方程为(x－2)2＋y2＝9.答案：(x－2)2＋y2＝98．已知直线l：y＝mx＋4，圆C：x2＋y2＝4.(1)若直线l与圆C相切，求实数m的值和直线l的方程；(2)若直线l与圆C相离，求实数m的取值范围．解：解法一：直线l的方程为mx－y＋4＝0，圆心C(0,0)到直线l的距离d＝|4|m2＋1.又圆C的半径r＝2.(1)若直线l与圆C相切，则d＝r，即|4|m2＋1＝2.解得m2＝3，所以m＝±3.所以直线l方程为3x－y＋4＝0或3x＋y－4＝0.(2)若直线l与圆C相离，则d＞r，即|4|m2＋1＞2.解得m2＜3，所以－3＜m＜3，即m的取值范围是(－3，3)．解法二：把直线l：y＝mx＋4方程代入圆C：x2＋y2＝4，得(m2＋1)x2＋8mx＋12＝0，其判别式Δ＝(8m)2－4×12×(m2＋1)．(1)若直线l与圆C相切，则Δ＝0，解得m2＝3，所以m＝±3.所以直线l的方程为3x－y＋4＝0或3x＋y－4＝0.(2)若直线l与圆C相离，则Δ＜0，解得m2＜3，所以－3＜m＜3，即m的取值范围是(－3，3)．[B组技能提升]1．过圆x2＋y2－4x＝0外一点p(m，n)作圆的两条切线，当这两条切线互相垂直时，m，n应满足的关系式为()A．(m－2)2＋n2＝4B．(m＋2)2＋n2＝4C．(m－2)2＋n2＝8D．(m＋2)2＋n2＝8解析：圆的方程可化为(x－2)2＋y2＝4，若过P作圆的两条切线互相垂直，则P到圆心的距离为2r＝22，即(m－2)2＋n2＝8，故选C．答案：C2．若直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－7m－4＝0，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25交于A，B4两点，则弦长|AB|的最小值为()A．85B．45C．25D．5解析：l的方程可化为(2x＋y－7)m＋x＋y－4＝0，由2x＋y－7＝0，x＋y－4＝0，得x＝3，y＝1，∴l过定点M(3,1)，圆心C(1,2)，半径为5，当AB⊥MC时，|AB|最小，∴|MC|＝3－12＋1－22＝5，∴|AB|＝252－|MC|2＝45，故选B．答案：B3．若圆(x＋23)2＋(y－27)2＝r2与x轴相切，则这个圆截y轴所得的弦长是________．解析：∵圆与x轴相切，∴半径r＝27.在圆的方程中，令x＝0，得(y－27)2＝28－12＝16.∴y1＝27＋4，y2＝27－4.∴y1－y2＝8.答案：84．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是________．解析：圆的方程可化为(x－2)2＋(y－2)2＝18，∴圆心为(2,2)，半径r＝32，圆心到直线x＋y－14＝0的距离为d，d＝52r，则圆上的点到直线的距离的最大值与最小值的差为(d＋r)－(d－r)＝2r＝62.答案：625．已知点A(－1,2)，B(0,1)，动点P满足|PA|＝2|PB|.(1)若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程；(2)若点Q在直线l1：3x－4y＋12＝0上，直线l2经过点Q且与曲线C有且只有一个公共点M，求|QM|的最小值．解：(1)设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|得：[x－－1]2＋y－22＝2·x－02＋y－12，两边平方得x2＋2x＋1＋y2－4y＋4＝2(x2＋y2－2y＋1)，整理得x2＋y2－2x－3＝0，5即(x－1)2＋y2＝4.(2)当QC与l1垂直时，|QC|最小．|QC|min＝d＝|3×1－4×0＋12|32＋42＝3，又|QM|＝|QC|2－|MC|2＝|QC|2－r2，∴|QM|min＝32－22＝5.6．已知圆C：x2＋(y－2)2＝5，直线l：mx－y＋1＝0.(1)求证：对m∈R，直线l与圆C总有两个不同交点；(2)若圆C与直线l相交于A，B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程．解：(1)证明：证法一：直线mx－y＋1＝0恒过定点(0,1)，且点(0,1)在圆C：x2＋(y－2)2＝5的内部，所以直线l与圆C总有两个不同交点．证法二：联立方程x2＋y－22＝5，mx－y＋1＝0，消去y并整理，得(m2＋1)x2－2mx－4＝0.因为Δ＝4m2＋16(m2＋1)0，所以直线l与圆C总有两个不同交点．证法三：圆心C(0,2)到直线mx－y＋1＝0的距离d＝|0－2＋1|m2＋1＝1m2＋1≤15，所以直线l与圆C总有两个不同交点．(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x，y)，联立直线与圆的方程得(m2＋1)x2－2mx－4＝0，由根与系数的关系，得x＝x1＋x22＝mm2＋1，由点M(x，y)在直线mx－y＋1＝0上，当x≠0时，得m＝y－1x，代入x＝mm2＋1，得xy－1x2＋1＝y－1x，化简得(y－1)2＋x2＝y－1，即x2＋y－322＝14(x≠0)．当x＝0，y＝1时，满足上式，故M的轨迹方程为x2＋y－322＝14(y≠2)．