2019-2020学年新教材高中数学 课后作业42 诱导公式五、六 新人教A版必修第一册

1课后作业(四十二)复习巩固一、选择题1．下列各式中，不正确的是()A．sin(180°－α)＝sinαB．cos180°＋α2＝sinα2C．cos3π2－α＝－sinαD．tan(－α)＝－tanα[解析]由诱导公式知A、D正确．cos32π－α＝cosπ＋π2－α＝－cosπ2－α＝－sinα，故C正确．cos180°＋α2＝cos90°＋α2＝－sinα2，故B不正确．[答案]B2．若sinπ2＋θ0，且cosπ2－θ0，则θ是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[解析]由于sinπ2＋θ＝cosθ0，cosπ2－θ＝sinθ0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.[答案]B3．若sin(3π＋α)＝－12，则cos7π2－α等于()A．－12B.12C.32D．－322[解析]因为sin(3π＋α)＝－sinα＝－12，所以sinα＝12，所以cos7π2－α＝cos3π2－α＝－cosπ2－α＝－sinα＝－12.[答案]A4．已知cos31°＝m，则sin239°tan149°的值是()A.1－m2mB.1－m2C．－1－m2mD．－1－m2[解析]sin239°tan149°＝sin(180°＋59°)·tan(180°－31°)＝－sin59°(－tan31°)＝－sin(90°－31°)·(－tan31°)＝－cos31°·(－tan31°)＝sin31°＝1－cos231°＝1－m2.[答案]B5.sin2π－α·cosπ3＋2αcosπ－αtanα－3πsinπ2＋αsin7π6－2α等于()A．－cosαB．cosαC．sinαD．－sinα[解析]原式＝sin－α·cosπ3＋2α·－cosαtanα·cosα·sin32π－π3＋2α＝sinαcosα·cosπ3＋2αtanαcosα－cosπ3＋2α＝－cosα.故选A.[答案]A二、填空题6．化简sin400°sin－230°cos850°tan－50°的结果为________．[解析]sin400°sin－230°cos850°tan－50°＝sin360°＋40°[－sin180°＋50°]cos720°＋90°＋40°－tan50°＝sin40°sin50°sin40°tan50°3＝sin50°sin50°cos50°＝cos50°.[答案]cos50°7．已知cosα＝13，则sinα－π2·cos3π2＋αtan(π－α)＝________.[解析]sinα－π2cos3π2＋αtan(π－α)＝－cosαsinα(－tanα)＝sin2α＝1－cos2α＝1－132＝89.[答案]898．若sinα＋π12＝13，则cosα＋7π12＝________.[解析]cosα＋7π12＝cosπ2＋π12＋α＝－sinπ12＋α＝－13.[答案]－13三、解答题9．求证：cosπ－θcosθsin3π2－θ－1＋cos2π－θcosπ＋θsinπ2＋θ－sin3π2＋θ＝2sin2θ.[证明]左边＝－cosθcosθ－cosθ－1＋cosθ－cosθcosθ＋cosθ＝11＋cosθ＋11－cosθ＝1－cosθ＋1＋cosθ1＋cosθ1－cosθ＝21－cos2θ＝2sin2θ＝右边．∴原式成立．10．已知sinα是方程5x2－7x－6＝0的根，且α是第三象限角，求sin－α－3π2cos3π2－αcosπ2－αsinπ2＋α·tan2(π－α)的值．4[解]原式＝－sinπ＋π2＋αcosπ＋π2－αsinαcosα·tan2α＝－sinπ2＋αcosπ2－αsinαcosα·tan2α＝－cosαsinαsinαcosα·tan2α＝－tan2α.方程5x2－7x－6＝0的两根为x1＝－35，x2＝2，又α是第三象限角，∴sinα＝－35，cosα＝－45，∴tanα＝34，故原式＝－tan2α＝－916.综合运用11．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝()A．89B．90C.892D．45[解析]∵sin21°＋sin289°＝sin21°＋cos21°＝1，sin22°＋sin288°＝sin22°＋cos22°＝1，…∴sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin244°＋sin245°＋cos244°＋cos243°＋…＋cos23°＋cos22°＋cos21°＝44＋12＝892.[答案]C12．在△ABC中，3sinπ2－A＝3sin(π－A)，且cosA＝－3cos(π－B)，则C＝________.[解析]由题意得3cosA＝3sinA，①cosA＝3cosB，②由①得tanA＝33，故A＝π6.由②得cosB＝cosπ63＝12，故B＝π3.故C＝π2.[答案]π213．已知f(α)＝cosπ2＋αsin3π2－αcos－π－αtanπ－α，则f－253π的值为________．5[解析]∵f(α)＝－sinα－cosα－cosα－tanα＝cosα，∴f－253π＝cos－253π＝cos253π＝cos8π＋π3＝cosπ3＝12.[答案]1214．若f(cosx)＝cos2x，则f(sin15°)＝________.[解析]f(sin15°)＝f(cos75°)＝cos150°＝－cos30°＝－32.[答案]－3215．已知cos(15°＋α)＝35，α为锐角，求tan435°－α＋sinα－165°cos195°＋α·sin105°＋α的值．[解]原式＝tan360°＋75°－α－sinα＋15°cos180°＋15°＋α·sin[180°＋α－75°]＝tan75°－α－sinα＋15°－cos15°＋α·[－sinα－75°]＝－1cos15°＋α·sin15°＋α＋sinα＋15°cos15°＋α·cos15°＋α.因为α为锐角，所以0°α90°，所以15°α＋15°105°.又cos(15°＋α)＝35，所以sin(15°＋α)＝45，故原式＝－135×45＋4535×35＝536.