2019-2020学年新教材高中数学 课后作业9 全称量词命题与存在量词命题的否定 新人教A版必修第

1课后作业(九)复习巩固一、选择题1．命题“∃x∈Z，使x2＋2x＋m≤0”的否定是()A．∃x∈Z，使x2＋2x＋m0B．不存在x∈Z，使x2＋2x＋m0C．∀x∈Z，使x2＋2x＋m≤0D．∀x∈Z，使x2＋2x＋m0[解析]存在量词命题的否定为全称量词命题，否定结论，故选D.[答案]D2．命题p：“有些三角形是等腰三角形”的否定是()A．有些三角形不是等腰三角形B．所有三角形是等边三角形C．所有三角形不是等腰三角形D．所有三角形是等腰三角形[解析]在写命题的否定时，一是更换量词，二是否定结论．更换量词：“有些”改为“所有”，否定结论：“是等腰三角形”改为“不是等腰三角形”，故綈p为“所有三角形不是等腰三角形”，故选C.[答案]C3．已知命题p：∀x0，x＋1x≥2，则它的否定为()A．∀x0，x＋1x2B．∀x≤0，x＋1x2C．∃x≤0，x＋1x2D．∃x0，x＋1x2[答案]D4．命题“∃m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根”的否定是()A．∃m∈R，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根B．不存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0无实数根C．∀m∈R，方程x2＋mx＋1＝0无实数根D．至多有一个实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根[解析]存在量词命题的否定是全称量词命题，一方面要改量词即“∃”改为“∀”；另一方面要否定结论即“有实数根”改为“无实数根”．故选C.2[答案]C5．下列四个命题中，真命题是()A．∀x∈R，x＋1x≥2B．∃x∈R，x2－x5C．∃x∈R，|x＋1|0D．∀x∈R，|x＋1|0[解析]选项A，当x0时，x＋1x≥2不成立，所以A错；选项C，绝对值恒大于等于0，故C错；选项D，当x＝－1时，|x＋1|＝0，所以D错，故选B.[答案]B二、填空题6．命题p：∃x∈R，x2＋3x＋20，则命题p的否定为________．[解析]命题p是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是∀x∈R，x2＋3x＋2≥0.[答案]∀x∈R，x2＋3x＋2≥07．命题“存在一个三角形没有外接圆”的否定是________________________．[解析]该命题是存在量词命题，根据存在量词命题的否定是改量词，否结论，则是“任意一个三角形都有外接圆”．[答案]任意一个三角形都有外接圆8．由命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．[解析]因为命题“∃x∈R,2x2＋3x＋a≤0”是假命题，所以其否定“∀x∈R,2x2＋3x＋a0”是真命题，等价于方程2x2＋3x＋a＝0无实根，所以Δ＝32－4×2×a0，解得a98.故实数a的取值范围是a98.[答案]aa98三、解答题9．写出下列命题的否定，并判断它们的真假：(1)关于x的方程ax＝b都有实数根；(2)有些正整数没有1和它本身以外的约数；(3)对任意实数x1，x2，若x1x2，则x21＋1x22＋1；(4)∃x1，使x2－2x－3＝0.[解](1)这个命题的否定为“有些关于x的方程ax＝b无实数根”，如0x＝1，所以这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．(2)这个命题的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”，如2只有1和它本3身这两个约数，所以这个命题为真命题，这个命题的否定为假命题．(3)这个命题的否定为“存在实数x1，x2，若x1x2，则x21＋1≥x22＋1”．这个命题中若x1＝－1，x2＝1，有x21＋1＝x22＋1，故这个命题为假命题，这个命题的否定为真命题．(4)这个命题的否定为“∀x1，x2－2x－3≠0”，因为当x＝3时，x2－2x－3＝0，所以这个命题是真命题，这个命题的否定为假命题．10．已知命题“∀x∈R，ax2＋2x＋1≠0”为假命题，求实数a的取值范围．[解]题中的命题为全称量词命题，因为其是假命题，所以其否定“∃x∈R，使ax2＋2x＋1＝0”为真命题，即关于x的方程ax2＋2x＋1＝0有实数根．所以a＝0，或a≠0，4－4a≥0，即a＝0，或a≤1且a≠0，所以a≤1.所以实数a的取值范围是{a|a≤1}．综合运用11．设命题p：∃n∈N，n22n，则p的否定为()A．∀n∈N，n22nB．∃n∈N，n2≤2nC．∀n∈N，n2≤2nD．∃n∈N，n2＝2n[解析]因为“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，綈p(x)”，所以命题“∃n∈N，n22n”的否定是“∀n∈N，n2≤2n”，故选C.[答案]C12．命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得nx2B．∀x∈R，∀n∈N*，使得nx2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得nx2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得nx2[解析]由于存在量词命题的否定形式是全称量词命题，全称量词命题的否定形式是存在量词命题，所以“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式为“∃x∈R，∀n∈N*，使得nx2”．[答案]D13．命题：存在一个实数对，使2x＋3y＋3＜0成立的否定是_______________________________________________________.[答案]对任意实数，2x＋3y＋3≥0恒成立14．给出下列命题：①∀x∈R，x20；②∃x∈R，x2＋x＋1≤0；③∀x3，函数y＝x2－3x－1有意义；4④∃a∈∁RQ，b∈∁RQ，使得a＋b∈Q.其中是真命题的个数为________．[解析]①当x＝0时，x2＝0，是假命题；②x2＋x＋1＝122＋34≥0，是假命题；③x＝0时函数没有意义，是假命题；④当a＝2－2，b＝3＋2时，a＋b＝5，是真命题．[答案]115．命题p：∃x∈R，1x＋10的否定为____________________．[答案]∀x∈R，1x＋1≤0或1x＋1无意义16．已知p：1－x－13≤2，q：{x|－m≤x－1≤m，(m＞0)}，且p的否定是q的否定的必要不充分条件，求实数m的取值范围．[解]由q得1－m≤x≤1＋m，∴q的否定为：A＝{x|x＞1＋m或x＜1－m，m＞0}．由1－x－13≤2，解得－2≤x≤10，∴p的否定为：B＝{x|x＞10或x＜－2}．∵p的否定是q的否定的必要不充分条件．∴AB，∴m＞0，1－m＜－2，1＋m≥10或m＞0，1－m≤－2，1＋m＞10，即m≥9或m＞9，∴实数m的取值范围是m≥9.