江苏省苏州市2020届高三数学上学期期初调研考试试题（含解析）

1江苏省苏州市2020届高三数学上学期期初调研考试试题（含解析）第I卷（必做题，共160分）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）1．已知集合A＝{1，3}，B＝{3，9}，则AB＝．答案：{1，3，9}考点：集合的运算解析：∵A＝{1，3}，B＝{3，9}，∴AB＝{1，3，9}2．如果复数23bii(bR)的实部与虚部互为相反数，则b等于．答案：1考点：复数解析：263231010bibbii，由实部与虚部互为相反数得：6321010bb，解得b＝1．3．下表是某同学五次数学附加题测试的得分情况，则这五次测试得分的方差为．次数12345得分3330272931答案：4考点：平均数与方差解析：∵3330272931305x∴2222221[(3330)(3030)(2730)(2930)(3130)]45S．4．已知4瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料，从这4瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为．答案：56考点：古典概型解析：4瓶饮料中随机取2瓶共有6种取法，所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料共有5种取法，所以求得概率为56．5．根据如图所示的伪代码，当输入的a，b分别为2，3时，最后输出的b的值为．答案：2考点：算法语言，伪代码解析：求得a＝5，b＝2，所以最后输出的b的值为2．26．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线22221xyab(a＞0，b＞0)的两条渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的离心率为．答案：5考点：双曲线的性质解析：由渐近线方程可得2ba，所以b2＝4a2，即c2﹣a2＝4a2，所以225ca，e＝5（负值已舍去）．7．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，若四边形AA1C1C是边长为4的正方形，且AB＝3，BC＝5，M是AA1的中点，则三棱锥A1—MBC1的体积为．答案：4考点：棱锥的体积解析：根据A1C1＝4，A1B1＝AB＝3，B1C1＝BC＝5，可得∠C1A1B1＝90°，又∠C1A1A＝90°，可得C1A1⊥平面ABB1A1，所以111111234432AMBCCMBAVV——．8．已知等差数列na的前n项和为nS，若1530S，71a，则10S的值为．答案：﹣5考点：等差数列前n项和解析：由1530S可得82a，又71a，可得60a，51a，所以110105610()5()52aaSaa．9．若()yfx是定义在R上的偶函数，当x[0，)时，sin[0,1)()(1)[1,)xxfxfxx，，，则(5)6f＝．答案：12考点：函数的奇偶性、周期性3解析：1(5)(5)()sin66662fff．10．已知在△ABC中，AC＝1，BC＝3，若O是该三角形内的一点，满足(OAOB)(CACB)＝0，则COAB＝．答案：4考点：平面向量的数量积解析：设AB的中点为D，由(OAOB)(CACB)＝0，得DOAB0所以1COAB(CDDO)ABCDAB(CACB)(CACB)2221(CACB)42．11．已知sin222cos2，则2sinsin2＝．答案：1或85考点：同角三角函数关系式，倍角公式解析：∵sin222cos2∴2sin222(2cos1)化简得cos(sin2cos)0所以cos0或tan2当cos0，求得2sinsin2＝1当tan2，222222sin2sincostan2tan8sinsin2sincostan15．12．已知点A、B是圆O：224xy上任意两点，且满足AB＝23．点P是圆C：(x＋4)2＋(y＋3)2＝4上任意一点，则PAPB的取值范围是．答案：[4，16]考点：圆的方程解析：取AB中点C，可得OC＝1，所以动点C在以O为圆心，1为半径的圆上PAPB2PC2PC，而PCmax＝5＋1＋2＝8，PCmin＝5﹣1﹣2＝2，PAPB的最大值为16，最小值为4，取值范围为4≤PAPB≤16．13．设实数a≥1，若不等式2xxaa，对任意的实数x[1，3]恒成立，则满足条件的实数a的取值范围是．4答案：[1，2][72，)考点：函数性质综合解析：①当1≤a≤2时，显然符合题意②当a＞2时，2xxaa，2axax∴2axax或2axax化简得221xax或221xax恒成立求得221xyx在[1，3]的最小值为32，即a≤32与a＞2矛盾，舍求得221xyx在[1，3]的最大值为72，即a≥72符合题意综上所述，a的取值范围为1≤a≤2或a≥72．14．在△ABC中，若tanAtanAtanBtanC＝3，则sinA的最大值为．答案：215考点：基本不等式，正余弦定理解析：222222222222tanAtanAsinAcosBsinAcosC22tanBtanCsinBcosAsincosA22acbabcaaacabbcabcaCbcbcbc＝222223abca所以2223()5abccosA＝222222()2522555bcbcabcbcbccb当且仅当b＝c时取“＝”所以A是锐角，且cosA的最小值为25，此时sinA有最大值为215．二、解答题（本大题共6小题，共计90分，请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BC，点P是棱AC的中点．5（1）求证：AB1∥平面PBC1；（2）求证：平面PBC1⊥平面AA1C1C．16．（本小题满分14分）已知函数7()sin()sin()412fxxx．（1）求函数()yfx的最小正周期和单调递增区间；（2）当x[0，π]时，试求函数()yfx的最大值，并写出取得最大值时自变量x的值．617．（本小题满分14分）已知椭圆C：22221xyab(a＞b＞0)的四个顶点恰好是一边长为2，一内角为60°的菱形的四个顶点．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线y＝kx交椭圆C于A、B两点，在直线l：x＋y﹣3＝0上存在点P，使得△PAB为等边三角形，求实数k的值．718．（本小题满分16分）某地举行水上运动会，如图，岸边有A，B两点，∠BAC＝30°．小船从A点以v千米/小时的速度沿AC方向匀速直线行驶，同一时刻运动员出发，经过t小时与小船相遇．（水流速度忽略不计）（1）若v＝4，AB＝2km，运动员从B处出发游泳匀速直线追赶，为保证在1小时内（含1小时）能与小船相遇，试求运动员游泳速度的最小值；（2）若运动员先从A处沿射线AB方向在岸边跑步匀速行进m（0＜m＜t）小时后，再游泳匀速直线追赶小船，已知运动员在岸边跑步的速度为4千米/小时，在水中游泳的速度为2千米小时，试求小船在能与运动员相遇的条件下v的最大值．819．（本小题满分16分）已知函数()xfxe，()lngxx．（1）设2()()hxgxx，求函数()hx的单调增区间；（2）设01x，求证：存在唯一的0x，使得函数()ygx的图像在点A(0x，0()gx)处的切线l与函数()yfx的图像也相切；（3）求证：对任意给定的正数a，总存在正数x，使得不等式()11fxax成立．920．（本小题满分16分）等差数列na的前n项和为nS，数列nb满足：1155ba，529ab，当n≥3时，1nS＞nb，且nS，1nnSb，2nS成等比数列，nN．10（1）求数列na，nb的通项公式；（2）求证：数列nb中的项都在数列na中；（3）将数列na、11nnbb的项按照：当n为奇数时，na放在前面；当n为偶数时，11nnbb放在前面进行“交叉排列”，得到一个新的数列：1a，121bb，231bb，2a，3a，341bb，451bb，…这个新数列的前n和为nT，试求nT的表达式．第II卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A，B，C三小题，请选定其中两题作答，每小题10分共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．A．选修4—2：矩阵与变换设变换T是按逆时针旋转2的旋转变换，对应的变换矩阵是M．（1）求点P(1，1)在T作用下的点P′的坐标；（2）求曲线C：y＝x2在变换T的作用下所得到的曲线C′的方程．11B．选修4—4：坐标系与参数方程己知直线的参数方程为11xtyt（t为参数），圆C的参数方程为cossinxaya（a＞0，为参数），点P是圆C上的任意点，若点P到直线的距离的最大值为21，求实数a的值．解：由直线的参数方程为11xtyt（t为参数）可得2yx由圆C的参数方程为cossinxaya可得圆的标准方程为222xya求得圆心O到直线的距离为2，所以a＋2＝21，求得a的值为1．C．选修4—5：不等式选讲已知x、y、z均为正数，求证：111xyzyzzxxyxyz．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）12袋中装有大小相同的黑球和白球共9个，从中任取2个都是白球的概率为512．现甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，每次摸取1个球，取出的球不放回，直到其中有人取到白球时终止．用随机变量X表示取球终止时取球的总次数．（1）求袋中原有白球的个数；（2）求随机变量X的概率分布及数学期望E(X)．23．（本小题满分10分）设集合M＝{﹣1，0，1}，集合An＝123(,,,,),1,2,,nixxxxxMin，集合An中满足条件“1≤12nxxx≤m”的元素个数记为nmS．（1）求22S和42S的值；（2）当m＜n时，求证：11322nnmnmS．13