浙江省浙南名校联盟2020届高三数学上学期第一次联考试题（含解析）

-1-浙江省浙南名校联盟2020届高三数学上学期第一次联考试题（含解析）1.已知集合21Axx，lg1Bxx，则AB（）A.0,1B.0,1C.0,1D.1,10【答案】B【解析】【分析】先分别计算集合A和B，再计算AB【详解】21=-11Axxxxlg1010Bxxxx01ABxx故答案选B【点睛】本题考查了集合的运算，属于简单题型.2.已知双曲线C：222210,0xyabab的离心率为2，其右焦点为223,0F，则双曲线C的方程为（）A.22139xyB.22193xyC.221412xyD.221124xy【答案】A【解析】【分析】直接利用离心率和焦点公式计算得到答案.【详解】双曲线C：222210,0xyabab的离心率为2，其右焦点为223,0F-2-则223cac得到3,3ab双曲线方程为：22139xy故答案选A【点睛】本题考查了双曲线方程，属于基础题型.3.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A.4B.233C.83D.43【答案】D【解析】【分析】根据三视图还原立体图形，再计算体积.【详解】如图所示：底面为直角边长为2的等腰直角三角形，高2DE故114222323V-3-【点睛】本题考查了三视图和体积的计算，通过三视图还原立体图是解题的关键.4.已知实数,xy满足1,20,1,xyxyy则yx的最小值为（）A.3B.3C.13D.13【答案】C【解析】【分析】画出可行域，将yx看作点到原点的斜率，计算得到答案.【详解】如图所示：画出可行域00yykxx，看作点到原点的斜率根据图像知，当31,22xy时，有最小值为13-4-【点睛】本题考查了线性规划，将yx看作点到原点的斜率是解题的关键.5.设,xyR，则“01xy”是“1xy”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】分别判断充分性和必要性，得到答案.【详解】当01xy时，得到01(0,0)xyxy两边同时除以y得到1xy，充分性当1xy时，取11,2xy，则12xy，不满足01xy，不必要“01xy”是“1xy”的充分不必要条件故答案选A【点睛】本题考查了充分必要条件，通过举反例判断不必要可以简化运算，是解题的关键.-5-6.函数3lnxfxx的部分图象是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据奇偶性排除B，当1x时，3ln0xfxx，排除CD，得到答案.【详解】33lnln,xxfxfxfxxx，fx为奇函数，排除B当1x时，3ln0xfxx恒成立，排除CD故答案选A【点睛】本题考查了函数图像的判断，通过奇偶性，特殊值法排除选项是解题的关键.7.设102x，随机变量的分布列如下：012P0.50.5xx-6-则当x在10,2内增大时（）A.E减小，D减小B.E增大，D增大C.E增大，D减小D.E减小，D增大【答案】B【解析】【分析】分别计算E和D的表达式，再判断单调性.【详解】00.51(0.5)20.5Exxx,当x在10,2内增大时,E增大222210.5(0.50)(0.5)(0.51)(0.52)24Dxxxxxxx25(1)4Dx，当x在10,2内增大时,D增大故答案选B【点睛】本题考查了E和D的计算，函数的单调性，属于综合题型.8.设点M是长方体1111ABCDABCD的棱AD的中点，14AAAD，5AB，点P在面11BCCB上，若平面1DPM分别与平面ABCD和平面11BCCB所成的锐二面角相等，则P点的轨迹为（）A.椭圆的一部分B.抛物线的一部分C.一条线段D.一段圆弧【答案】C-7-【解析】【分析】根据公式'cosSS得到11MDPCPMSS，计算得到P到直线11CM的距离为定值，得到答案.【详解】设P在平面ABCD的投影为1P，平面1DPM与平面ABCD所成的锐二面角为则11cosMDPDPMSSM在平面11BCCB的投影为BC中点1M，平面1DPM与面11BCCB所成的锐二面角为则11cosCPMDPMSS故1111MDPCPMDPMDPMSSSS即11MDPCPMSS得到111125,522CMhh即P到直线11CM的距离为定值，故P在与11CM平行的直线上又点P在面11BCCB上，故轨迹为一条线段.故答案选C【点睛】本题考查了立体几何二面角，轨迹方程，通过'cosSS可以简化运算，是解题的关键.9.已知正三角形ABC的边长为2，D是边BC的中点，动点P满足1PDuuur，且APxAByAC，其中1xy，则2xy的最大值为（）A.1B.23C.2D.52【答案】D【解析】【分析】可建立如图所示的平面直角坐标系，根据题设条件可得动点P在图中的圆上（实线部分）运动，设点cos,sin2P,，则可用的三角函数表示2xy，从而可求其最大值.-8-也可以把APxAByAC表示为1222APxAByACxAByAC，故2222APxyABACASxyxyxy（如图），利用向量共线的几何意义可得APAS的最大值就是2xy的最大值，利用三角形相似得当PN与半圆相切时APAS最大.【详解】如图所示，由于动点P满足1PDuuur，且APxAByAC，因为1xy，所以点P在以点D为圆心，1为半径的半圆（图中实线）上运动，0,3A，1,0B，1,0C，cos,sin2P,，cossin3AP,，1,3AB，1,3AC，所以111sincoscos23sin333111sincos23xxyxyy，33132sincossin22226xy，因为,2x，所以713,666x，1sin1,62x.所以521,2xy，故选D．-9-方法二：等和线法由于动点P满足1PDuuur，且APxAByAC，其中1xy，所以点P在以点D为圆心，1为半径的半圆（图中实线）上运动且0,0xy.设AB的中点为B，AP与CB交于点S，1222APxAByACxAByACxAByAC，所以2222APxyABACASxyxyxy，所以2APxyAS，过点DP，分别作直线平行CB交AB于MN，，则2=APAANxyNABSA，当PN与半圆相切时，AN最大且为35122AMMN.故选D.【点睛】在平面向量基本定理的应用中，我们常常需要考虑基底向量的系数和的最值，此类问题的处理，首先考虑能否建立平面直角坐标系，条件是题设中的图形是较为规则的图形，其次考虑改换基底向量，把系数和转化为线段长的比值，再利用几何意义求最值.10.已知数列na满足*11112nnnnaanaaN，则（）A.当*01nanN时，则1nnaaB.当*1nanN时，则1nnaa-10-C.当112a时，则11124nnanaD.当12a时，则111320nnana【答案】C【解析】【分析】依次判断每个选项的正误，得到答案.【详解】111111112nnnnnnnnnaaaaaaaaa即111()(1)nnnnnaaaaa当01na时，1110nnaa，故1nnaa，A错误当1na时，1110nnaa，故1nnaa，B错误对于D选项，当1n时，12a，21211192232aaaa，D错误用数学归纳法证明选项C易知0na恒成立当1n时，212111236aaaa，成立假设当nk时成立，11124kkaka，即2121122kkaka当1nk时：222222111122211111112443426kkkkkkkkkaaaaakaaaa即22126kkaka成立-11-故11124nnana恒成立，得证故答案选C【点睛】本题考查了数列的单调性，数学归纳法，综合性强，技巧高，意在考查学生对于数学知识，方法，性质的灵活运用.11.瑞士数学家欧拉于1777年在《微分公式》一书中，第一次用i来表示-1的平方根，首创了用符号i作为虚数的单位．若复数51izi（i为虚数单位），则复数z的虚部为________；z_____．【答案】(1).3(2).13【解析】【分析】利用复数的除法可计算z，从而可求其虚部和模.【详解】51546231112iiiiziiii，故z的虚部为3，模为4913，故分别填3,13.【点睛】本题考查复数的概念、复数的除法，属于基础题.12.已知321xax展开式中所有项的系数之和为-4，则a________；2x项的系数为_________．【答案】(1).2(2).10【解析】【分析】令1x后可求得2a，利用二项展开式可求2x的系数.【详解】令1x，3231114142aaa，3232221612821xxxxxxx，故展开式2x项的系数为624810．-12-【点睛】本题考查二项展开式中系数和的计算以及指定项系数的计算，属于基础题.13.在ABC△中，角,,ABC所对应的边分别为,,abc，已知1b，2c且2coscoscosAbCcBa，则A__________；若M为边BC的中点，则AM__________．【答案】(1).3(2).72【解析】【分析】利用正弦定理得到1cos,23AA，再利用1()2AMABAC，平方得到答案.【详解】2coscoscosAbCcBa利用正弦定理得到：2cossincossincossinABCCBA即1cos,23AAM为边BC的中点，1()2AMABAC则222211117(2)(14212)44424AMABACABACABACuuuuruuuruuuruuuruuuruuuruuur72AM故答案为3，72【点睛】本题考查了正弦定理，向量的运算，其中表示1()2AMABAC是解题的关键，可以简化运算.14.3名男同学、3名女学生和2位老师站成一排拍照合影，要求2位老师必须站正中间，队伍左右两端不能同时是一男学生与一女学生，则总共有__________种排法．【答案】576【解析】-13-【分析】将队伍两端分为都是男生和都是女生两种情况，相加得到答案.【详解】当两端都是男生时：242342288AAA当两端都是女生时：242342288AAA共有576种排法故答案为576【点睛】本题考查了排列，将情况分为两种情况可以简化运算，是解题的关键.15.已知点P在圆22680xyy上，点Q在椭圆22211xyaa上，且PQ的最