2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.5.3 函数模型的应用学案 新

14．5.3函数模型的应用1．能利用已知函数模型求解实际问题．2．了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性．1．常见的函数模型建立实际应用问题的函数模型除了前面见过的一次函数模型、反比例函数模型、二次函数模型、分段函数模型，还有常见的以下函数模型：指数函数模型：y＝b·ax＋c(a0且a≠1，b≠0)对数函数模型y＝mlogax＋n(a0且a≠1，m≠0)．2．常见的图象对应的数学模型(1)相邻两点之间的距离变化越来越大时，如图(1)，常选y＝bax＋c(b≠0，a0，a≠1)模型．(2)相邻两点之间的距离越来越近似相等，如图(2)，常选y＝blogax＋c(b≠0，a0，a≠1)模型．(3)点的变化趋势先升后降(或先降后升)，如图(3)，常选二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)模型．(4)相邻两点之间等距，如图(4)，常选一次函数y＝kx＋b(k≠0)模型．1．关于函数模型，我们该如何选择哪种类型的函数来描述？[答案]指数函数模型增长越来越快，呈爆炸性增长，而对数函数模型适合于描述增长速度平缓的变化规律．直线型的函数增长速度均匀不变22．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数刻画的方法可以用图象法，也可以用解析式法．()(2)在对数函数模型中，底数的范围影响其单调性．()(3)函数y＝12·3x＋1属于幂函数模型．()(4)某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，…，现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的关系可以表示为y＝2x＋1.()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√题型一利用已知函数模型解决实际问题【典例1】我们知道，人们对声音有着不同的感觉，这与它的强度有关系，声音的强度用I(W/m2)表示，但在实际测量时，常用声音的强度水平LI表示，它们满足以下公式：LI＝10·lgII0(单位为分贝，LI≥0，其中I0＝1×10－12，这是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端)．回答以下问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12W/m2，耳语的强度是1×10－10W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下．试求声音强度I的范围．[解](1)由题意可知树叶沙沙声的强度是I1＝1×10－12W/m2，则I1I0＝1，∴LI1＝10×lg1＝0，即树叶沙沙声的强度水平为0分贝；耳语的强度是I2＝1×10－10W/m2，则I2I0＝102；∴LI2＝10×lg102＝20，即耳语声的强度水平为20分贝；恬静的无线电广播的强度是I3＝1×10－8W/m2，则I3I0＝104，∴LI3＝10×lg104＝40，即恬静的无线电广播的强度水平为40分贝．(2)由题意知0≤LI50，即0≤10lgII050，∴1≤II0105，即10－12≤I10－7.故新建的安静小区的声音强度I大于或等于10－12W/m2，小于10－7W/m2.利用已知函数模型解决实际问题的解题要点3解决已给出函数模型的实际应用题，关键是考虑该题考查的是哪种函数，并要注意定义域，然后结合所给模型，列出函数关系式，最后结合其实际意义作出解答．[针对训练]1．灌满开水的热水瓶放在室内，如果瓶内开水原来的温度是θ1度，室内气温是θ0度，t分钟后，开水的温度可由公式θ＝θ0＋(θ1－θ0)e－kt求得，这里，k是一个与热水瓶类型有关的正的常量．现有一只某种类型的热水瓶，测得瓶内水温为100℃，过1小时后又测得瓶内水温变为98℃.已知某种奶粉必须用不低于85℃的开水冲调，现用这种类型的热水瓶在早上六点灌满100℃的开水，问：能否在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调上述奶粉？(假定该地白天室温为20℃)[解]根据题意，有98＝20＋(100－20)e－60k，整理得e－60k＝3940.利用计算器，解得k＝0.0004222.故θ＝20＋80e－0.0004222t.从早上六点至中午十二点共过去6小时，即360分钟．当t＝360时，θ＝20＋80e－0.0004222×360＝20＋80e－0.152，由计算器算得θ≈89℃85℃，即能够在这一天的中午十二点用这瓶开水来冲调奶粉.题型二自建函数模型解决实际问题【典例2】目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题：(1)写出y关于x的函数解析式；(2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；(3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)．[思路导引]已知条件中年平均增长率为1.2%，建立指数模型求解．[解](1)当x＝1时，y＝100＋100×1.2%＝100(1＋1.2%)；当x＝2时，y＝100(1＋1.2%)＋100(1＋1.2%)×1.2%＝100(1＋1.2%)2；当x＝3时，y＝100(1＋1.2%)2＋100(1＋1.2%)2×1.2%＝100·(1＋1.2%)3；…故y关于x的函数解析式为y＝100(1＋1.2%)x(x∈N*)．(2)当x＝10时，y＝100×(1＋1.2%)10＝100×1.01210≈112.7.故10年后该县约有112.7万人．(3)设x年后该县的人口总数为120万，即100×(1＋1.2%)x＝120，解得x＝log1.0121201004≈15.3.因为x为年份，根据实际意义知，大约16年后该县的人口总数将达到120万．可以用指数函数模型来解决的几类问题在实际问题中，有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型来解决．通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式．[针对训练]2．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且使森林面积每年比上一年减少p%,10年后森林面积变为a2.已知到今年为止，森林面积为22a.(1)求p%的值；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？[解](1)由题意得a(1－p%)10＝a2，即(1－p%)10＝题型三拟合数据构建函数模型解决实际问题【典例3】为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如表所示.年序最大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公顷)115.228.65210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图象．(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图象．(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25cm，则可以灌溉土地多少公顷？[思路导引]借助散点图，探求函数模型，根据拟合函数解决问题．[解](1)描点、作图，如图(甲)所示：(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型y＝a＋bx(a，b为常数且b≠0)．取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入y＝a＋bx，得21.1＝a＋10.4b，45.8＝a＋24.0b，用计算器可得a≈2.2，b≈1.8.这样，得到一个函数模型：y＝2.2＋1.8x，作出函数图象如图(乙)，可以发现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系．(3)由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x.则由y＝2.2＋1.8×25，求得y＝47.2，即当最大积雪深度为25cm时，可以灌溉土地约为47.2公顷．[变式]若本例(3)中估计若今年最大积雪深度改为30cm，问可以灌溉土地多少公顷？6[解]由(2)得到的函数模型为y＝2.2＋1.8x，则由y＝2.2＋1.8×30，求得y＝56.2，即当最大积雪深度为30cm时，可以灌溉土地约为56.2公顷．建立拟合函数的方法策略根据题中给出的数值，画出散点图，然后观察散点图，选择合适的函数模型，并求解新的问题．[针对训练]3．某汽车制造商在2019年初公告：公司计划2019年生产目标定为43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：年份201620172018产量8(万)18(万)30(万)如果我们分别将2016、2017、2018、2019定义为第一、二、三、四年．现在你有两个函数模型：二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系？[解]建立年销量y与年份x的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)．①构造二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，将点坐标代入，可得a＋b＋c＝8，4a＋2b＋c＝18，9a＋3b＋c＝30，解得a＝1，b＝7，c＝0，则f(x)＝x2＋7x，故f(4)＝44，与计划误差为1.②构造指数函数模型g(x)＝a·bx＋c(a≠0，b0，b≠1)，将点坐标代入，可得ab＋c＝8，ab2＋c＝18，ab3＋c＝30，解得a＝1253，b＝65，c＝－42，7则g(x)＝1253·65x－42，故g(4)＝1253·654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由①②可得，f(x)＝x2＋7x模型能更好地反映该公司年销量y与年份x的关系．1．某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加数y公顷关于年数x的函数关系较为近似的是()A．y＝0.2xB．y＝110(x2＋2x)C．y＝2x10D．y＝0.2＋log16x[解析]当x＝1时，否定B；当x＝2时，否定D；当x＝3时，否定A，故选C.[答案]C2．在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y＝f(x)的图象大致为()[解析]由题意可知函数模型为指数函数，故选D.[答案]D3．一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的关系用图象表示为图中的()8[答案]B4．一种产品原来的成本价为a元，计划每年降低p%，则成本y随年数x变化的函数关系式是________．[解析]当x＝1时，y＝a(1－p%)；当x＝2时，y＝a(1－p%)2；当x＝3时，y＝a(1－p%)3；….故成本y随年数x变化的函数关系式是y＝a(1－p%)x.[答案]y＝a(1－p%)x5.如图所示，由桶1向桶2倒水，开始时，桶1中有aL水，桶2中无水，t分钟后，桶1中剩余水为y1L，满足函数关系式y1＝ae－nt，假设经过5分钟，桶1和桶2中的水一样多，则再过________分钟，桶1中的水只有a8L.[解析]由题意，可得ae－5n＝a2，n＝15ln2，令ae－15tln2＝a8，得t＝15，从而再经过10分钟，桶1中的水只有a8L.[答案]10课后作业(三十六)复习巩固一、选择题1．一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么该模具厂这一年中产量的月平均增长率是()A.m11B.m12C.12m－1D.11m－1[解析]设每月的产量增长率为x,1月份产量为a，则a(1＋x)11＝ma，所以1＋x＝11m，即x＝11m－1.9[答案]D2．有一组实验数据如下表所示：t1.993.04.05.16.12u1.54.047.51218.01则能体现这些数据关系的函数模型是()A．u＝log2tB．u＝2t－2C．u＝t2－12D．u＝2t－2[解析]可以先画出散点图，并利用散点图直观地认识变量间的关系，选择合适的函数模型来刻画它．散点图如图所示．由散点图可知，图象不是直线，排除选项D；图象不符合对数函数的图象特征，排除选项A；当t＝3时，2t