2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.2.1 指数函数及其图象性质学

1第1课时指数函数及其图象性质1．通过实例理解指数函数的概念，了解指数函数在生活中的应用．2．掌握指数函数图象和性质．3．会应用指数函数的性质求函数的定义域、值域．1．指数函数的定义一般地，函数y＝ax(a0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R.温馨提示：指数函数解析式的3个特征：(1)底数a为大于0且不等于1的常数．(2)自变量x的位置在指数上，且x的系数是1.(3)ax的系数是1.2．指数函数的图象和性质温馨提示：(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升”与“降”．当a1时，指数函数的图象是“上升”的；当0a1时，指数函数的图象是“下降”的．2(2)指数函数y＝ax(a0且a≠1)的图象恒过点(0,1)，(1，a)，－1，1a，只要确定了这三个点的坐标，即可快速地画出指数函数y＝ax(a0且a≠1)的大致图象．1．观察下列从数集A到数集B的对应：①A＝R，B＝R，f：x→y＝2x；②A＝R，B＝(0，＋∞)，f：x→y＝12x.(1)这两个对应能构成函数吗？(2)这两个函数有什么特点？[答案](1)能(2)底数为常数，指数为自变量2．函数y＝12x的图象与y＝2x的图象有何关系？[答案]关于y轴对称3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y＝x2是指数函数．()(2)指数函数的图象位于x轴的上方．()(3)函数y＝ax－1的图象过定点(0，－1)．()(4)函数y＝13x的值域是[0，＋∞)．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)×题型一指数函数的概念【典例1】(1)下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3.其中，指数函数的个数是()A．0B．1C．2D．3(2)函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则()A．a＝1或a＝3B．a＝1C．a＝3D．a0且a≠1[思路导引]形如“y＝ax(a0，且a≠1)”的函数为指数函数．[解析](1)形如“y＝ax(a0，且a≠1)”的函数为指数函数，只有③符合，选B.3(2)由指数函数的概念可知，a－22＝1，a0，a≠1，得a＝3.[答案](1)B(2)C判断一个函数是指数函数的方法(1)看形式：只需判断其解析式是否符合y＝ax(a0，且a≠1)这一结构特征．(2)明特征：看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．[针对训练]1．函数f(x)＝(m2－m＋1)ax(a0，且a≠1)是指数函数，则m＝________.[解析]∵函数f(x)＝(m2－m＋1)ax是指数函数，∴m2－m＋1＝1，解得m＝0或1.[答案]0或12．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(－2)＝________，f(1)＝________.[解析]设f(x)＝ax(a0，且a≠1)，∵f(2)＝9，∴a2＝9，a＝3，即f(x)＝3x.∴f(－2)＝3－2＝19，f(1)＝3.[答案]193题型二指数函数的图象【典例2】(1)函数f(x)＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a1，b0B．a1，b0C．0a1，b0D．0a1，b0(2)函数y＝ax－3＋3(a0，且a≠1)的图象过定点________．4[解析](1)从曲线的变化趋势，可以得到函数f(x)为减函数，从而有0a1；从曲线位置看，是由函数y＝ax(0a1)的图象向左平移|－b|个单位长度得到，所以－b0，即b0.(2)因为指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的图象过定点(0,1)，所以在函数y＝ax－3＋3中，令x－3＝0，得x＝3，此时y＝1＋3＝4，即函数y＝ax－3＋3的图象过定点(3,4)．[答案](1)D(2)(3,4)处理指数函数图象问题的3个策略(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点．(2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)．(3)利用函数的奇偶性与单调性：奇偶性确定函数图象的对称情况，单调性决定函数图象的走势．[针对训练]3．函数y＝2－|x|的大致图象是()[解析]y＝2－|x|＝2－x，x≥0.2x，x0，画出图象，可知选C.[答案]C4．函数y＝2ax＋3＋2(a0，且a≠1)的图象过定点________．[解析]令x＋3＝0得x＝－3，此时y＝2a0＋2＝2＋2＝4.即函数y＝2ax＋3＋2(a0，且a≠1)的图象过定点(－3,4)．[答案](－3,4)题型三指数函数的定义域与值域【典例3】求下列函数的定义域和值域：[思路导引]利用整体换元的方法求解．[解](1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，5故函数y＝1－3x的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以03x≤1，所以0≤1－3x1，所以1－3x∈[0,1)，即函数y＝1－3x的值域为[0,1)．6“y＝af(x)”型函数定义域、值域的求法(1)定义域是使f(x)有意义的x的取值范围，即函数y＝af(x)的定义域与y＝f(x)的定义域相同．(2)值域问题，应分以下两步求解：①由定义域求出u＝f(x)的值域；②利用指数函数y＝au的单调性求得此函数的值域．[针对训练]5．求下列函数的定义域、值域：(1)y＝35x－1；(2)y＝12x2－2x－3.[解](1)由5x－1≥0，得x≥15，所以所求函数的定义域为x|x≥15.由5x－1≥0，得y≥1，所以所求函数的值域为[1，＋∞)．(2)定义域为R.∵x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，7∴12x2－2x－3≤12－4＝16.又∵12x2－2x－30，∴函数y＝12x2－2x－3的值域为(0,16]．课堂归纳小结1．判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y＝ax(a0，且a≠1)这一结构形式，即ax的系数是1，指数是x且系数为1.2．指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的性质分底数a1,0a1两种情况，但不论哪种情况，指数函数都是单调的．3．由于指数函数y＝ax(a0，且a≠1)的定义域为R，即x∈R，所以函数y＝af(x)(a0，且a≠1)与函数f(x)的定义域相同．4．求函数y＝af(x)(a0，且a≠1)的值域的方法如下：(1)换元，令t＝f(x)，并求出函数t＝f(x)的定义域；(2)求t＝f(x)的值域t∈M；(3)利用y＝at的单调性求y＝at在t∈M上的值域.1．下列各函数中，是指数函数的是()A．y＝(－3)xB．y＝－3xC．y＝3x－1D．y＝13x[解析]由指数函数的定义知a0且a≠1，故选D.[答案]D2．y＝34x的图象可能是()8[解析]0341且过点(0,1)，故选C.[答案]C3．y＝2x，x∈[1，＋∞)的值域是()A．[1，＋∞)B．[2，＋∞)C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)[解析]y＝2x在R上是增函数，且21＝2，故选B.[答案]B4．指数函数f(x)＝ax的图象经过点(2,4)，则f(－3)的值是________．[解析]由题意知4＝a2，所以a＝2，因此f(x)＝2x，故f(－3)＝2－3＝18.[答案]185．函数y＝12x2－1的值域是________．[解析]∵x2－1≥－1，∴y＝12x2－1≤12－1＝2，又y0，∴函数值域为(0,2]．[答案](0,2]课后作业(二十七)复习巩固一、选择题1．下列函数中，指数函数的个数为()①y＝12x－1；②y＝ax(a0，且a≠1)；③y＝1x；④y＝122x－1.A．0个B．1个C．3个D．4个[解析]由指数函数的定义可判定，只有②正确．[答案]B2．函数y＝2x－1的定义域是()A．(－∞，0)B．(－∞，0]C．[0，＋∞)D．(0，＋∞)[解析]由2x－1≥0，得2x≥20，∴x≥0.[答案]C93．当a0，且a≠1时，函数f(x)＝ax＋1－1的图象一定过点()A．(0,1)B．(0，－1)C．(－1,0)D．(1,0)[解析]当x＝－1时，显然f(x)＝0，因此图象必过点(－1,0)．[答案]C4．函数f(x)＝ax与g(x)＝－x＋a的图象大致是()[解析]当a1时，函数f(x)＝ax单调递增，当x＝0时，g(0)＝a1，此时两函数的图象大致为选项A.[答案]A5．若函数y＝ax＋b－1(a0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有()A．0a1，且b0B．a1，且b0C．0a1，且b0D．a1，且b0[解析]函数y＝ax＋b－1(a0，且a≠1)的图象是由函数y＝ax的图象经过向上或向下平移而得到的，因其图象不经过第一象限，所以a∈(0,1)．若经过第二、三、四象限，则需将函数y＝ax(0a1)的图象向下平移至少大于1个单位长度，即b－1－1⇒b0.故选C.[答案]C二、填空题6．若函数f(x)＝(a2－2a＋2)(a＋1)x是指数函数，则a＝________.[解析]由指数函数的定义得a2－2a＋2＝1，a＋10，a＋1≠1，解得a＝1.[答案]17．已知函数f(x)＝ax＋b(a0，且a≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f(－2)的值为________．[解析]由已知得a－1＋b＝5，a0＋b＝4，解得a＝12，b＝3，所以f(x)＝12x＋3，所以f(－2)＝12－2＋3＝4＋3＝7.[答案]7108．若函数f(x)＝2x，x0，－2－x，x0，则函数f(x)的值域是________．[解析]由x0，得02x1；由x0，∴－x0,02－x1，∴－1－2－x0，∴函数f(x)的值域为(－1,0)∪(0,1)．[答案](－1,0)∪(0,1)三、解答题9．已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点2，12，其中a0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．[解](1)∵f(x)的图象过点2，12，∴a2－1＝12，则a＝12.(2)由(1)知，f(x)＝12x－1，x≥0.由x≥0，得x－1≥－1，于是012x－1≤12－1＝2，所以函数y＝f(x)(x≥0)的值域为(0,2]．(2)令u＝x2－2x＋2，则y＝12u，又u＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，∵0≤x≤3，11∴当x＝1时，umin＝1，当x＝3时，umax＝5.故1≤u≤5，∴125≤y≤121，故所求函数的值域为132，12.综合运用11．下列函数值域为(0，＋∞)的是()A．y＝412－xB．y＝1－2xC．y＝3x－1D．y＝131－x[解析]∵1－x∈R，∴131－x∈(0，＋∞)，故选D.[答案]D12．已知0mn1，则指数函数①y＝mx，②y＝nx的图象为()[解析]由于0mn1，所以y＝mx与y＝nx都是减函数，故排除A、B，作直线x＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y＝mx的图象，故选C.[答案]C13．若定义运算a⊙b＝a，ab，b，a≥b，则函数f(x)＝3x⊙3－x的值域是________．[解析]当x0时，3x3－x,f(x)＝3－x，f(x)∈(0,1)；当x＝0时，f(x)＝3x＝3－x＝1；当x0时，3x3－x，f(x)＝3x，f(x)∈(0,1)．综上，f(x)的值域是(0,1]．[答案]