2019-2020学年新教材高中数学 第三章 函数的概念与性质 3.1.2.2 分段函数学案 新人教

1第2课时分段函数1．会用解析法及图象法表示分段函数．2．给出分段函数，能研究有关性质．3．对生活中的一些实例，会用分段函数表示．1．分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数．2．分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集．温馨提示：(1)分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数．(2)分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝1，－2≤x≤0，x，0x≤3，其“段”是不等长的．(3)分段函数的图象要分段来画．1．某市空调公共汽车的标价按下列规则判定：①5千米以内，票价2元；②5千米以上，每增加5千米，票价增加1元(不足5千米的按5千米计算)．已知两个相邻的公共汽车站间相距1千米，沿途(包括起点站和终点站)有11个汽车站．(1)从起点站出发，公共汽车的行程x(千米)与票价y(元)有函数关系吗？(2)函数的表达式是什么？(3)x与y之间有何特点？[答案](1)有函数关系(2)y＝2，0x≤5，3，5x≤10(3)x在不同区间内取值时，与y所对应的关系不同2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)2(1)分段函数由几个函数构成．()(2)函数f(x)＝x＋1，x≤1，－x＋3，x2，是分段函数．()(3)分段函数的图象不一定是连续的．()(4)y＝|x－1|与y＝x－1，x≥1，1－x，x1，是同一函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√题型一分段函数求值【典例1】已知函数f(x)＝1＋1x，x1，x2＋1，－1≤x≤1，2x＋3，x－1.(1)求f(f(f(－2)))的值；(2)若f(a)＝32，求a.[思路导引]根据自变量取值范围代入对应解析式求值．[解](1)∵－2－1，∴f(－2)＝2×(－2)＋3＝－1，∴f[f(－2)]＝f(－1)＝2，∴f(f(f(－2)))＝f(2)＝1＋12＝32.(2)当a1时，f(a)＝1＋1a＝32，∴a＝21；当－1≤a≤1时，f(a)＝a2＋1＝32，∴a＝±22∈[－1,1]；当a－1时，f(a)＝2a＋3＝32，∴a＝－34－1(舍去)．综上，a＝2或a＝±22.3(1)分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理．(2)已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解．[针对训练]1．设函数f(x)＝x2＋1，x≤1，2x，x1，则f[f(3)]＝()A.15B．3C.23D.139[解析]∵f(3)＝231，∴f[f(3)]＝232＋1＝139.[答案]D2．已知函数f(x)＝x＋1，x≤1，1－x2，x1，若f(x)＝－3，则x＝________.[解析]若x≤1，由x＋1＝－3得x＝－4.若x1，由1－x2＝－3得x2＝4，解得x＝2或x＝－2(舍去)．综上可得，所求x的值为－4或2.[答案]－4或2题型二分段函数的图象【典例2】(1)作出下列分段函数的图象：①y＝1x，0x1，x，x≥1；②y＝|x＋1|.(2)如图所示，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着折线BCDA由B(起点)向点A(终点)运动．设点P运动路程为x，△ABP的面积为y，求：①y与x之间的函数关系式；②画出y＝f(x)的图象．4[思路导引](1)利用描点法分段作图；(2)先依据x的变化范围求出关系式．[解](1)①函数图象如图1所示．②y＝|x＋1|＝－x－1，x－1，x＋1，x≥－1，其图象如图2所示．(2)①y＝2x，0≤x≤4，8，4x≤8，24－2x，8x≤12.②分段函数图象的画法(1)作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可．(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段函数，然后分段作出函数图象．[针对训练]3.已知函数f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式并写出f(x)的值域．5[解]由于f(x)的图象由两条线段组成，因此可设f(x)＝ax＋b，－1≤x0，cx，0≤x≤1.将点(－1,0)，(0,1)代入f(x)＝ax＋b，点(1，－1)代入f(x)＝cx可得f(x)＝x＋1，－1≤x0，－x，0≤x≤1.由图象可得f(x)的值域为(－1,1).题型三分段函数的综合问题【典例3】已知函数f(x)＝|x－3|－|x＋1|.(1)求f(x)的值域；(2)解不等式：f(x)0；(3)若直线y＝a与f(x)的图象无交点，求实数a的取值范围．[思路导引]去掉绝对值符号，化简f(x)，再分段求解．[解]若x≤－1，则x－30，x＋1≤0，f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；若－1x≤3，则x－3≤0，x＋10，f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；若x3，则x－30，x＋10，f(x)＝(x－3)－(x＋1)＝－4.∴f(x)＝4，x≤－1，－2x＋2，－1x≤3，－4，x3.(1)－1x≤3时，－4≤－2x＋24.∴f(x)的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．6(2)f(x)0，即x≤－1，40，①或－1x≤3，－2x＋20，②或x3，－40，③解①得x≤－1，解②得－1x1，解③得x∈∅.所以f(x)0的解集为(－∞，－1]∪(－1,1)∪∅＝(－∞，1)．(3)f(x)的图象如图：由图可知，当a∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y＝a与f(x)的图象无交点．[变式]若a∈R，试探究方程f(x)＝a解的个数．[解]由例3(3)知y＝f(x)的图象，作出直线y＝a，可以看出：当a＝±4时，y＝a与y＝f(x)有无数个交点；当－4a4时，y＝a与y＝f(x)有且仅有一个交点；当a－4或a4时，y＝a与y＝f(x)没有交点．综上可知：当a＝±4时，方程f(x)＝a有无数个解．当－4a4时，方程f(x)＝a有一个解．当a－4或a4时，方程f(x)＝a无解．研究分段函数要牢牢抓住的2个要点(1)分段研究．在每一段上研究函数．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体．[针对训练]4．已知f(x)＝x2，－1≤x≤1，1，x1或x－1.7(1)画出f(x)的图象；(2)若f(x)≥14，求x的取值范围；(3)求f(x)的值域．[解](1)利用描点法，作出f(x)的图象，如图所示．(2)由于f±12＝14，结合此函数图象可知，使f(x)≥14的x的取值范围是－∞，－12∪12，＋∞.(3)由图象知，当－1≤x≤1时，f(x)＝x2的值域为[0,1]，当x1或x－1时，f(x)＝1.所以f(x)的值域为[0,1].题型四分段函数在实际问题中的应用【典例4】某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培一种适宜生长温度为15～20℃的新品种，如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚里温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中AB段是恒温阶段，BC段是双曲线y＝kx的一部分，请根据图中信息解答下列问题：(1)求y与x的函数关系式；(2)大棚内的温度为18℃时是否适宜该品种蔬菜的生长？(3)恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有多少小时？[思路导引]利用待定系数法求出x在每一段上的解析式，再分段研究．[解](1)设线段AD的解析式为y＝mx＋n(m≠0)，将点A(2,20)，D(0,10)代入，8得2m＋n＝20n＝10，解得m＝5n＝10，∴线段AD的解析式为y＝5x＋10(0≤x≤2)．∵双曲线y＝kx经过B(12,20)，∴20＝k12，解得k＝240，∴BC段的解析式为y＝240x(12≤x≤24)．综上所述，y与x的函数解析式为：y＝5x＋100≤x≤2202x12240x12≤x≤24.(2)当x＝18时，y＝24018＝403，由于40315，∴大棚内的温度为18℃时不适宜该品种蔬菜的生长．(3)令y＝15，当0≤x≤2时，解5x＋10＝15，得x＝1，当12≤x≤24时，解240x＝15，得x＝16.由于16－1＝15(小时)，∴恒温系统在一天内保持大棚里的适宜新品种蔬菜的生长温度有15小时．对于应用题，要在分析题意基础上，弄清变量之间的关系，然后选择适当形式加以表示；若根据图象求解析式，则要分段用待定系数法求出，最后用分段函数表示，分段函数要特别地把握准定义域的各个“分点”．[针对训练]5．A，B两地相距150公里，某汽车以每小时50公里的速度从A地到B地，在B地停留2小时之后，又以每小时60公里的速度返回A地．写出该车离A地的距离s(公里)关于时间t(小时)的函数关系，并画出函数图象．[解](1)汽车从A地到B地，速度为50公里/小时，则有s＝50t，到达B地所需时间9为15050＝3(小时)．(2)汽车在B地停留2小时，则有s＝150.(3)汽车从B地返回A地，速度为60公里/小时，则有s＝150－60(t－5)＝450－60t，从B地到A地用时15060＝2.5(小时)．综上可得，该汽车离A地的距离s关于时间t的函数关系式为s＝50t，0≤t≤3，150，3t≤5，－60t＋450，5t≤7.5，函数图象如图所示．课堂归纳小结1．分段函数(1)分段是针对定义域而言的，将定义域分成几段，各段的对应关系不一样．(2)一般而言，分段函数的定义域部分是各不相交的，这是由函数定义中的唯一性决定的．(3)研究分段函数时，应根据“先分后合”的原则，尤其是作分段函数的图象时，可先将各段的图象分别画出来，从而得到整个函数的图象．2．与分段函数有关的实际问题要理解题意，合理引进变量，确定自变量分段的“段点”，注意在自变量分段的端点处要不重不漏.1．已知f(x)＝10，x0，10x，x≥0，则f[f(－7)]的值为()A．100B．10C．－10D．－100[解析]∵f(－7)＝10，∴f[f(－7)]＝f(10)＝10×10＝100.[答案]A102．下列图形是函数y＝x|x|的图象的是()[解析]∵f(x)＝x2，x≥0，－x2，x0，分别画出y＝x2(取x≥0部分)及y＝－x2(取x0部分)即可．[答案]D3．函数f(x)＝2x，0≤x≤1，2，1x2，3，x≥2的值域是()A．RB．[0,2]∪{3}C．[0，＋∞)D．[0,3][解析]当0≤x≤1时，0≤f(x)≤2，当1x2时，f(x)＝2，当x≥2时，f(x)＝3.故0≤f(x)≤2或f(x)＝3，故选B.[答案]B4．下图中的图象所表示的函数的解析式为()A．y＝32|x－1|(0≤x≤2)B．y＝32－32|x－1|(0≤x≤2)C．y＝32－|x－1|(0≤x≤2)D．y＝1－|x－1|(0≤x≤2)[解析]可将原点代入，排除选项A，C；再将点1，32代入，排除D项．[答案]B115．设函数f(x)＝x2＋2x＋2，x≤0，－x2，x0.若f[f(a)]＝2，则a＝________.[解析]当a≤0时，f(a)＝a2＋2a＋20，f[f(a)]0，显然不成立；当a0时，f(a)＝－a2，f[f(a)]＝a4－2a2＋2＝2，则a＝±2或a＝0，故a＝2.[答案]2课后作业(十八)复习巩固一、选择题1．已知f(x)＝－x，x≤0，x2，x0.则f(－2)＝()A．2B．4C．－2D．2或4[解析]