2019-2020学年新教材高中数学 第四章 指数函数与对数函数 4.3.2 对数的运算学案 新人教

14．3.2对数的运算1．掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件．2．掌握换底公式及其推论．3．能熟练运用对数的运算性质进行化简求值．1．对数运算性质如果a0，且a≠1，M0，N0，那么：(1)loga(M·N)＝logaM＋logaN；(2)logaMN＝logaM－logaN；(3)logaMn＝nlogaM(n∈R)．温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立．例如，log2[(－3)·(－5)]＝log2(－3)＋log2(－5)是错误的．2．对数换底公式若c0，且c≠1，则logab＝logcblogca(a0，且a≠1，b0)．3．由换底公式推导的重要结论(1)loganbn＝logab.(2)loganbm＝mnlogab.(3)logab·logba＝1.(4)logab·logbc·logcd＝logad.1．我们知道am＋n＝am·an，那么loga(M·N)＝logaM·logaN正确吗？举例说明．[答案]不正确，例如log24＝log2(2×2)＝log22·log22＝1×1＝1，而log24＝22．你能推出loga(MN)(M0，N0)的表达式吗？[答案]能．令am＝M，an＝N，∴MN＝am＋n，由对数定义知，logaM＝m，2logaN＝n，loga(MN)＝m＋n，∴loga(MN)＝logaM＋logaN3．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差．()(2)loga(xy)＝logax·logay.()(3)log2(－5)2＝2log2(－5)．()(4)由换底公式可得logab＝log－2blog－2a.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×题型一对数运算性质的应用【典例1】求下列各式的值：(1)log345－log35；(2)log24·log28；(3)lg14－2lg73＋lg7－lg18；(4)lg52＋23lg8＋lg5·lg20＋(lg2)2.[思路导引]解题关键是弄清各式与对数运算积、商、幂中的哪种形式对应．[解](1)log345－log35＝log3455＝log39＝log332＝2.(2)log24·log28＝log222·log223＝2×3＝6.(3)原式＝lg2＋lg7－2(lg7－lg3)＋lg7－(lg2＋lg9)＝lg2＋lg7－2lg7＋2lg3＋lg7－lg2－2lg3＝0.(4)原式＝2lg5＋23lg23＋lg5·lg(22×5)＋(lg2)2＝2lg5＋2lg2＋lg5·(2lg2＋lg5)＋(lg2)2＝2(lg5＋lg2)＋2lg5·lg2＋(lg5)2＋(lg2)2＝2lg10＋(lg5)2＋2lg5·lg2＋(lg2)2＝2＋(lg5＋lg2)2＝2＋(lg10)2＝2＋1＝3.3对数式化简与求值的基本原则和方法(1)基本原则对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行．(2)两种常用的方法①“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数；②“拆”，将积(商)的对数拆成同底的两对数的和(差)．[针对训练]1．计算：(1)log535－2log573＋log57－log51.8；(2)log2748＋log212－12log242－1；(3)12lg3249－43lg8＋lg245.[解](1)原式＝log5(5×7)－2(log57－log53)＋log57－log595＝log55＋log57－2log57＋2log53＋log57－2log53＋log55＝2.(2)原式＝log2748＋log212－log242－log22＝log27×1248×42×2＝log2122(3)解法一：原式＝12(5lg2－2lg7)－43×32lg2＋12(2lg7＋lg5)＝52lg2－lg7－2lg2＋lg7＋12lg5＝12lg2＋12lg5＝12(lg2＋lg5)＝12lg10＝12.解法二：原式＝lg427－lg4＋lg75＝lg42×757×44＝lg(2×5)＝lg10＝12.题型二对数换底公式的应用【典例2】(1)计算：①log29·log34；②log52×log79log513×log734.(2)证明：①logab·logba＝1(a0，且a≠1；b0，且b≠1)；②loganbn＝logab(a0，且a≠1，n≠0)．[思路导引]利用换底公式计算、证明．[解](1)①原式＝lg9lg2·lg4lg3＝lg32·lg22lg2·lg3＝2lg3·2lg2lg2·lg3＝4.②原式＝log52log513·log79log734＝log132·log349＝lg2lg13·lg9lg34＝12lg2·2lg3－lg3·23lg2＝－32.(2)证明：①logab·logba＝lgblga·lgalgb＝1.②loganbn＝lgbnlgan＝nlgbnlga＝lgblga＝logab.[变式](1)若本例(2)①改为“logab·logbc·logcd＝logad”如何证明？(2)若本例(2)②改为“loganbm＝mnlogab”如何证明？[证明](1)logab·logbc·logcd＝lgblga·lgclgb·lgdlgc＝lgdlga＝logad.(2)loganbm＝lgbmlgan＝mlgbnlga＝mnlogab.5应用换底公式应注意的2个方面(1)化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用．(2)题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式．[针对训练]2.·()log227等于()A.23B.32C．6D．－6[解析][答案]D3．log2125·log318·log519＝________.[解析]原式＝lg125lg2·lg18lg3·lg19lg5＝－2lg5·－3lg2·－2lg3lg2lg3lg5＝－12.[答案]－12题型三对数的综合应用【典例3】(1)一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13(结果保留1位有效数字)？(lg2≈0.3010，lg3≈0.4771)(2)已知log189＝a,18b＝5，用a、b表示log3645.[思路导引]应用换底公式化简求值．[解](1)设最初的质量是1，经过x年，剩余量是y，则：经过1年，剩余量是y＝0.75；经过2年，剩余量是y＝0.752；6…经过x年，剩余量是y＝0.75x；由题意得0.75x＝13，∴x＝log0.7513＝lg13lg34＝－lg3lg3－lg4≈4.∴估计经过4年，该物质的剩余量是原来的13.(2)解法一：由18b＝5，得log185＝b，又log189＝a，所以log3645＝log1845log1836＝log189×5log1818×2×99＝log189＋log185log18182－log189＝a＋b2－a.解法二：设log3645＝x，则36x＝45，即62x＝5×9，从而有182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以18为底的对数，得2x＝log185＋(x＋1)log189，又18b＝5，所以b＝log185.所以2x＝b＋(x＋1)a，解得x＝a＋b2－a，即log3645＝a＋b2－a.解对数综合应用问题的3条策略(1)统一化：所求为对数式，条件转为对数式．(2)选底数：针对具体问题，选择恰当的底数．(3)会结合：学会换底公式与对数运算法则结合使用．[针对训练]4．若lg2＝a，lg3＝b，则log512等于________．[解析]log512＝lg12lg5＝lg3＋2lg21－lg2＝b＋2a1－a.7[答案]b＋2a1－a5．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝1＋Mm2000(e为自然对数的底)．当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s)．(ln3≈1.099)[解]由ev＝1＋Mm2000及M＝2m，得ev＝32000，两边取以e为底的对数，v＝ln32000＝2000ln3≈2000×1.099＝2198(m/s)．∴火箭的最大速度为2198m/s.1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)()A．logax·logay＝loga(x＋y)B．(logax)n＝nlogaxC.logaxn＝loganxD.logaxlogay＝logax－logay[解析]根据对数的运算性质知，C正确．[答案]C2．化简12log612－2log62的结果为()A．62B．122C．log63D.12[解析]12log612－2log62＝log623－log62＝8log6232＝log63.故选C.[答案]C3．已知ln2＝a，ln3＝b，那么log32用含a，b的代数式可表示为()A．a－bB.abC．abD．a＋b[解析]log32＝ln2ln3＝ab.[答案]B4．计算log916·log881的值为________．[解析]log916·log881＝lg24lg32·lg34lg23＝4lg22lg3·4lg33lg2＝83.[答案]835．已知2x＝3y＝6z≠1，求证：1x＋1y＝1z.[证明]设2x＝3y＝6z＝k(k≠1)，∴x＝log2k，y＝log3k，z＝log6k，∴1x＝logk2，1y＝logk3，1z＝logk6＝logk2＋logk3，∴1z＝1x＋1y.课后作业(三十)复习巩固一、选择题1.log29log23＝()A.12B．2C.32D.92[解析]原式＝log29log23＝log232log23＝2.[答案]B2．2log510＋log50.25＝()A．0B．1C．2D．49[解析]原式＝log5102＋log50.25＝log5(102×0.25)＝log525＝2.[答案]C3．若a0，且a≠1，则下列说法正确的是()A．若M＝N，则logaM＝logaNB．若logaM＝logaN，则M＝NC．若logaM2＝logaN2，则M＝ND．若M＝N，则logaM2＝logaN2[解析]在A中，当M＝N≤0时，logaM与logaN均无意义，因此logaM＝logaN不成立，故A错误；在B中，当logaM＝logaN时，必有M0，N0，且M＝N，因此M＝N成立，故B正确；在C中，当logaM2＝logaN2时，有M≠0，N≠0，且M2＝N2，即|M|＝|N|，但未必有M＝N，例如M＝2，N＝－2时，也有logaM2＝logaN2，但M≠N，故C错误；在D中，若M＝N＝0，则logaM2与logaN2均无意义，因此logaM2＝logaN2不成立，故D错误．[答案]B4．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是()A．a－2B．3a－(1＋a)2C．5a－2D．－a2＋3a－1[解析]∵a＝log32，∴log38－2log36＝3log32－2(log32＋1)＝3a－2(a＋1)＝a－2.[答案]A5．计算log225·log322·log59的结果为()A．3B．4C．5D．6[解析]原式＝lg25lg2·lg22lg3·lg9lg5＝2lg5lg2·32lg2lg3·2lg3lg5＝6.[答案]D二、填空题6．lg5＋lg20的值是________．[解析]lg5＋lg20＝lg100＝lg10＝1.[答案]17．若logab·log3a＝4，则b的值为________．[解析]logab·log3a＝lgblga·lgalg3＝lgblg3＝4，所以lgb＝4lg3＝lg34，所以b＝34＝81.[答案]818．四