（全国通用）2020版高考数学二轮复习 第二层提升篇 专题一 三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的

1第1讲三角函数的图象与性质[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019三角函数的诱导公式及三角函数的性质·T15三角函数的图象与性质，函数的极值点·T8三角函数的零点·T52018三角恒等变换及三角函数的周期与最值·T8三角函数单调性的应用·T10正切函数的周期·T62017三角函数的周期·T3三角函数的最值·T6三角函数的最值·T13(1)高考对此部分内容的命题主要集中于三角函数的定义、图象与性质，主要考查图象的变换，函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性及最值，并常与三角恒等变换交汇命题.(2)主要以选择题、填空题的形式考查，难度为中等偏下，大多出现在第3～11或14～15题位置上.考点一三角函数的定义、诱导公式及基本关系[例1](1)(2019·安徽省考试试题)角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边经过点P(4，y)，且sinθ＝－35，则tanθ＝()A.－43B.43C.－34D.34(2)设函数f(x)(x∈R)满足f(x＋π)＝f(x)＋sinx.当0≤x＜π时，f(x)＝0，则f23π6＝()A.12B.32C.0D.－12[解析](1)因为角θ的终边经过点P(4，y)，sinθ＝－35＜0，所以角θ为第四象限2角，所以cosθ＝1－sin2θ＝45，所以tanθ＝sinθcosθ＝－34，故选C.(2)由已知，得f23π6＝f17π6＋sin17π6＝f11π6＋sin11π6＋sin17π6＝f5π6＋sin5π6＋sin11π6＋sin17π6＝f5π6＋sinπ6＋sin－π6＋sinπ6＝0＋12＋－12＋12＝12.[答案](1)C(2)A[解题方略]1.同角三角函数基本关系式的应用技巧知弦求弦利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解知弦求切常通过平方关系、对称式sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα建立联系，注意tanα＝sinαcosα的灵活应用知切求弦通常先利用商数关系转化为sinα＝tanα·cosα的形式，然后用平方关系求解和积转换法如利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的关系进行变形、转化巧用“1”的变换1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝sin2θ1＋1tan2θ2.利用诱导公式进行化简求值的步骤利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐.特别注意函数名称和符号的确定.[注意]“奇变偶不变，符号看象限”.[跟踪训练]1.(2019·福建适应性练习)已知α∈(0，π)，sinπ2－α＝－13，则tan(α＋π)＝()3A.24B.－24C.22D.－22解析：选D由sinπ2－α＝－13，得cosα＝－13，又由α∈(0，π)，得sinα＝223，tanα＝－22，所以tan(α＋π)＝tanα＝－22.故选D.2.已知直线2x－y－1＝0的倾斜角为α，则sin2α－2cos2α＝()A.25B.－65C.－45D.－125解析：选A法一：(直接法)由已知得tanα＝2，即sinα＝2cosα.又sin2α＋cos2α＝1，所以sin2α＝45，cos2α＝15.而sin2α－2cos2α＝2sinαcosα－2cos2α＝2×2cosαcosα－2cos2α＝2cos2α＝25.故选A.法二：(转化法)由已知得tanα＝2，所以sin2α－2cos2α＝2sinαcosα－2cos2αsin2α＋cos2α＝2tanα－2tan2α＋1＝2×2－222＋1＝25.考点二三角函数的图象与解析式题型一由“图”定“式”[例2](1)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为()A.f(x)＝2sin12x＋π4B.f(x)＝2sin12x＋3π4C.f(x)＝2sin14x＋3π4D.f(x)＝2sin2x＋π4(2)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)的图象与x轴的一个交点－π12，0到其相邻的一条对称轴的距离为π4，若fπ12＝32，则函数f(x)在0，π2上的最小值为()4A.12B.－3C.－32D.－12[解析](1)由题图可知，函数图象上两个相邻的最值点分别为最高点－π2，2，最低点3π2，－2，所以函数的最大值为2，即A＝2.由图象可得，x＝－π2，x＝3π2为相邻的两条对称轴，所以函数的周期T＝2×3π2－－π2＝4π，故2πω＝4π，解得ω＝12.所以f(x)＝2sin12x＋φ.把点－π2，2代入可得2sin12×－π2＋φ＝2，即sinφ－π4＝1，所以φ－π4＝2kπ＋π2(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋3π4(k∈Z).又0φπ，所以φ＝3π4.所以f(x)＝2sin12x＋3π4，故选B.(2)由题意得，函数f(x)的最小正周期T＝4×π4＝π＝2πω，解得ω＝2.因为点－π12，0在函数f(x)的图象上，所以Asin2×－π12＋φ＝0，解得φ＝kπ＋π6，k∈Z，由0φπ，可得φ＝π6.因为fπ12＝32，所以Asin2×π12＋π6＝32，5解得A＝3，所以f(x)＝3sin2x＋π6.当x∈0，π2时，2x＋π6∈π6，7π6，∴sin2x＋π6∈－12，1，∴f(x)的最小值为－32.[答案](1)B(2)C[解题方略]由“图”定“式”找“对应”的方法由三角函数的图象求解析式y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)中参数的值，关键是把握函数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图.(1)最值定A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为M，最小值为m，则M＝A＋B，m＝－A＋B，解得B＝M＋m2，A＝M－m2.(2)T定ω：由周期的求解公式T＝2πω，可得ω＝2πT.(3)点坐标定φ：一般运用代入法求解φ值，注意在确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口，即“峰点”“谷点”与三个“中心点”.题型二三角函数的图象变换[例3](1)(2019·福建省质量检查)将函数y＝sin2x＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象的一个对称中心为()A.π12，0B.π4，0C.π3，0D.π2，0(2)(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0，|φ|π)是奇函数，且f(x)的最小正周期为π，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若gπ4＝2，则f3π8＝()A.－2B.－2C.2D.2[解析](1)将函数y＝sin2x＋π6的图象向右平移π6个单位长度后，所得图象对应的6函数解析式为y＝sin2x－π6＋π6＝sin2x－π6，令2x－π6＝kπ，k∈Z，得x＝kπ2＋π12，k∈Z，当k＝0时，x＝π12，故所得图象的一个对称中心为π12，0，选A.(2)∵函数f(x)为奇函数，且|φ|＜π，∴φ＝0.又f(x)的最小正周期为π，∴2πω＝π，解得ω＝2.∴f(x)＝Asin2x.由题意可得g(x)＝Asinx，gπ4＝2，即Asinπ4＝2，解得A＝2.故f(x)＝2sin2x.∴f3π8＝2sin3π4＝2.故选C.[答案](1)A(2)C[解题方略]关于三角函数的图象变换的方法沿x轴沿y轴平移变换由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ0，左移；φ0，右移由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k0，上移；k0，下移伸缩变换由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的1|ω|倍由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍[跟踪训练]1.(2019·广州市调研测试)将函数y＝f(x)的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin3x－16π的图象，则f(x)＝()A.sin32x＋16πB.sin6x－16πC.sin32x＋13πD.sin6x＋13π7解析：选B法一：由题设知，f12x＋π3＝sin3x－16π.设12x＋π3＝t，则x＝2t－2π3，所以f(t)＝sin32t－2π3－16π＝sin6t－16π.故f(x)＝sin6x－16π.故选B.法二：由题设知，先将函数y＝sin3x－16π的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，再将所得图象向右平移π3个单位长度即得函数f(x)的图象，故f(x)＝sin3×2x－π3－16π＝sin6x－16π.故选B.2.(2019·湖南省五市十校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(2019)的值为________.解析：由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝4×52－1＝6，所以ω＝2πT＝π3，所以f(x)＝Asinπ3x＋φ，将(0，1)代入，可得Asinφ＝1，所以f(2019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asinπ3×3＋φ＝－Asinφ＝－1.答案：－13.(2019·西安师大附中模拟改编)将函数y＝sin2x＋π6的图象向右平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)的图象.若g(x1)g(x2)＝4，且x1，x2∈[－2π，2π]，则g(x)＝____________，x1－2x2的最大值为________.解析：将函数y＝sin2x＋π6的图象向右平移π3个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到g(x)＝sin2x－2π3＋π6＋1＝－cos2x＋1的图象，故g(x)的最大值为2，最小值为0.若g(x1)g(x2)＝4，则g(x1)＝g(x2)＝2，即cos2x1＝cos2x2＝－1.又x1，x2∈[－2π，2π]，∴2x1，2x2∈[－4π，4π]，要使x1－2x2取得最大值，则应有2x1＝3π，2x2＝－3π，此时x1－2x2的最大值为3π2＋3π＝9π2.答案：－cos2x＋19π28考点三三角函数的性质[例4](1)(2019·全国卷Ⅱ)若x1＝π4，x2＝3π4是函数f(x)＝sinωx(ω0)两个相邻的极值点，则ω＝()A.2B.32C.1D.12(2)(2019·全国卷Ⅱ)下列函数中，以π2为周期且在区间π4，π2单调递增的是()A.f(x)＝|cos2x|B.f(x)＝|sin2x|C.f(x)＝cos|x|D.f(x)＝sin|x|(3)(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[0，a]是减函数，则a的最大值是()A.π4B.π2C.3π4D.π[解析](1)由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，12T＝3π4－π4，∴T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.故选A.(2)作出函数f(x)＝|cos2x|的图象，如图.由图象可知f(x)＝|cos2x|的周期为π2，在区间π4，π2上单调递增.