2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.2.1 三角函数的概念学案 新人教A版必

15．2.1三角函数的概念1．能用三角函数的定义进行计算．2．熟记正弦、余弦、正切在各象限的符号，并能进行简单的应用．3．会利用诱导公式一进行有关计算．1．任意角的三角函数的定义前提如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y)定义正弦点P的纵坐标y叫做α的正弦，记作sinα，即y＝sinα余弦点P的横坐标x叫做α的余弦，记作cosα，即x＝cosα正切把点P的纵坐标与横坐标的比值yx叫做α的正切，记作tanα，即tanα＝yx(x≠0)三角函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，将正弦函数、余弦函数、正切函数统称为三角函数，记为正弦函数y＝sinx(x∈R)余弦函数y＝cosx(x∈R)正切函数y＝tanxx≠π2＋kπ，k∈Z温馨提示：(1)在任意角的三角函数的定义中，应该明确α是一个任意角．(2)三角函数值是比值，是一个实数，这个实数的大小和P(x，y)所在终边上的位置无2关，而由角α的终边位置决定．(3)要明确sinx是一个整体，不是sin与x的乘积，它是“正弦函数”的一个记号，就如f(x)表示自变量为x的函数一样，离开自变量的“sin”“cos”“tan”等是没有意义的．2．三角函数值的符号如图所示：正弦：一二象限正，三四象限负；余弦：一四象限正，二三象限负；正切：一三象限正，二四象限负．简记口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦．3．诱导公式一即终边相同的角的同一三角函数值相等．1．若角α与β的终边相同，根据三角函数的定义，你认为sinα与sinβ，cosα与cosβ，tanα与tanβ之间有什么关系？[答案]sinα＝sinβ，cosα＝cosβ，tanα＝tanβ2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若α＝β＋720°，则cosα＝cosβ.()(2)若sinα＝sinβ，则α＝β.()(3)已知α是三角形的内角，则必有sinα0.()(4)任意角α的正弦值sinα、余弦值cosα、正切值tanα都有意义．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)×3题型一任意角的三角函数的定义及其应用【典例1】(1)若角α的终边经过点P(5，－12)，则sinα＝________，cosα＝________，tanα＝________.(2)已知角α的终边落在直线3x＋y＝0上，求sinα，cosα，tanα的值．[思路导引]利用三角函数的定义求解．[解析](1)∵x＝5，y＝－12，∴r＝52＋－122＝13，则sinα＝yr＝－1213，cosα＝xr＝513，tanα＝yx＝－125.(2)直线3x＋y＝0，即y＝－3x，经过第二、四象限，在第二象限取直线上的点(－1，3)，则r＝－12＋32＝2，所以sinα＝32，cosα＝－12，tanα＝－3；在第四象限取直线上的点(1，－3)，则r＝12＋－32＝2，所以sinα＝－32，cosα＝12，tanα＝－3.[答案](1)－1213513－125(2)见解析求任意角的三角函数值的2种方法方法一：根据定义，寻求角的终边与单位圆的交点P的坐标，然后利用定义得出该角的正弦、余弦、正切值．方法二：第一步，取点：在角α的终边上任取一点P(x，y)，(P与原点不重合)；第二步，计算r：r＝|OP|＝x2＋y2；第三步，求值：由sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)求值．在运用上述方法解题时，要注意分类讨论思想的运用．[针对训练]1．已知角α的终边经过点P(1，－1)，则sinα的值为()A.12B.32C.22D．－22[解析]∵α的终边经过点P(1，－1)，4∴sinα＝－112＋－12＝－22.[答案]D2．已知角α的终边与单位圆的交点为－12，y(y0)，则sinαtanα＝________.[解析]∵α的终边与单位圆的交点为－12，y，∴－122＋y2＝1，即y2＝34.又∵y0，∴y＝－32.∴sinα＝－32，tanα＝3，sinαtanα＝－32×3＝－32.[答案]－32题型二三角函数在各象限的符号问题【典例2】判断下列各式的符号：(1)sin105°·cos230°；(2)cos3·tan－2π3.[思路导引]利用三角函数在各象限的符号判断．[解](1)因为105°，230°分别为第二、三象限角，所以sin105°0，cos230°0.于是sin105°·cos230°0.(2)因为π23π，所以3是第二象限角，所以cos30，又因为－2π3是第三象限角，所以tan－2π30，所以cos3·tan－2π30.判断三角函数值正负的2个步骤(1)定象限：确定角α所在的象限．(2)定符号：利用三角函数值的符号规律，即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”来判断．注意：若sinα0，则α的终边不一定落在第一象限或第二象限内，有可能终边落在y5轴的非负半轴上．[针对训练]3．设θ是第三象限角，且满足sinθ2＝－sinθ2，则角θ2为第________象限角．[解析]因为θ是第三象限角，所以π＋2kπθ32π＋2kπ，k∈Z，所以π2＋kπθ234π＋kπ，k∈Z，所以角θ2为第二、四象限角．又因为sinθ2＝－sinθ2，所以sinθ20，所以θ2为第四象限角．[答案]四题型三诱导公式一的应用【典例3】求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan－15π4；(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.[思路导引]利用诱导公式将角化到0°～360°范围内，再求解．[解](1)原式＝cos8π＋π3＋tan－4π＋π4＝cosπ3＋tanπ4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°)＝sin90°＋tan45°＋cos60°＝1＋1＋12＝52.(1)公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等．利用它可将大角转化为[0,2π)范围内的角，再借助特殊角的三角函数值达到化简求值的目的．(2)熟记一些特殊角的三角函数值．[针对训练]4．计算下列各式的值：(1)sin(－1395°)cos1110°＋cos(－1020°)sin750°；(2)sin－11π6＋cos12π5·tan4π.6[解](1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin45°cos30°＋cos60°sin30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64.(2)原式＝sin－2π＋π6＋cos2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sinπ6＋cos2π5×0＝12.课堂归纳小结1．正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或比值为函数值的函数．2．角α的三角函数值的符号只与角α所在象限有关，角α所在象限确定，则三角函数值的符号一定确定，规律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．3．公式一的理解(1)公式一的实质：是说终边相同的角的三角函数值相等，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现一次，体现了三角函数特有的“周而复始”的变化规律．(2)公式一的作用利用诱导公式一可把负角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，亦可把大于2π的角的三角函数化为0～2π间角的三角函数，即实现了“负化正，大化小”.1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cosα＝()A.45B.35C．－35D．－45[解析]∵x＝－4，y＝3，∴r＝－42＋32＝5，∴cosα＝xr＝－45＝－45，故选D.[答案]D2．sin－35π6的值等于()A.12B．－12C.32D．－327[解析]∵sin－35π6＝sin－6π＋π6＝sinπ6＝12，∴选A.[答案]A3．若sinα0且tanα0，则α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由于sinα0，则α的终边在第三或第四象限或y轴非正半轴上，又tanα0，则α的终边在第一或第三象限，所以α的终边在第三象限．[答案]C4．已知角α的终边经过点P(m，－6)，且cosα＝－45，则m＝________.[解析]∵cosα＝－450，∴α角应为第二或第三象限角，又∵y＝－60，∴α为第三象限角，∴m0又∵－45＝mm2＋－62，∴m＝－8.[答案]－85．求值：tan405°－sin450°＋cos750°.[解]tan405°－sin450°＋cos750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan45°－sin90°＋cos30°＝1－1＋32＝32课后作业(三十九)复习巩固一、选择题1．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点－35，45，则tanα的值为()A．－43B．－34C．－45D．－358[解析]由正切函数的定义可得，tanα＝45－35＝－43.[答案]A2．若－π2α0，则点Q(cosα，sinα)位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]因为－π2α0，所以cosα0，且sinα0，所以点Q(cosα，sinα)在第四象限，选D.[答案]D3．若角α的终边过点(2sin30°，－2cos30°)，则sinα的值等于()A.12B．－12C．－32D．－33[解析]∵x＝2sin30°＝1，y＝－2cos30°＝－3，∴r＝12＋－32＝2，∴sinα＝yr＝－32，选C.[答案]C4．若sinθcosθ，且sinθ·cosθ0，则角θ的终边位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]由条件可知cosθ0，sinθ0，则θ为第四象限角，故选D.[答案]D5．给出下列函数值：①sin(－1000°)；②cos－π4；③tan2，其中符号为负的个数为()A．0B．1C．2D．3[解析]①sin(－1000°)＝sin(－1080°＋80°)＝sin80°0②cos－π409③∵π22π，∴tan20，只有③符合，∴选B.[答案]B二、填空题6．tan－173π等于________．[解析]tan－173π＝tan－6π＋π3＝tanπ3＝3.[答案]37．设a0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，则sinα＋2cosα的值等于________．[解析]∵a0，角α的终边经过点P(－3a,4a)，∴点P与原点的距离r＝－5a，sinα＝－45，cosα＝35，∴sinα＋2cosα＝25.[答案]258．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝________.[解析]∵角α的终边在直线x＋y＝0上∴角α的终边落在二、四象限角平分线上，且|sinα|＝|cosα|若α在第二象限，sinα0，cosα0∴sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝sinα－cosα＋sinαcosα＝0若α在第四象限，sinα0，cosα0∴sinα|cosα|＋|sinα|cosα＝sinαcosα＋－sinαcosα＝0.[答案]0三、解答题9．化简下列各式：(1)sin72π＋cos52π＋cos(－5π)＋tanπ4；(2)a2sin810°－b2cos900°＋2abtan1125°.[解](1)原式＝sin32π＋cosπ2＋cosπ＋1＝－1＋0－1＋1＝－1.(2)原式＝a2sin90°－b2cos180°＋2abtan(3×360°＋45°)＝a2＋b2＋2abtan45°＝a