2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1.3 两角和与差的正切公式学案 新

1第3课时两角和与差的正切公式1．能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式．2．能灵活运用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明等，掌握公式的正向、逆向及变形应用．两角和与差的正切公式公式简记符号使用条件tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβT(α＋β)α，β，α＋β≠kπ＋π2(k∈Z)tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβT(α－β)α，β，α－β≠kπ＋π2(k∈Z)温馨提示：在应用两角和与差的正切公式时，只要tanα，tanβ，tan(α＋β)(或tan(α－β))中任一个的值不存在，就不能使用两角和(或差)的正切公式解决问题，应改用诱导公式或其他方法解题．如化简tanπ2－β，因为tanπ2的值不存在，所以不能利用公式T(α－β)进行化简，应改用诱导公式来化简，即tanπ2－β＝sinπ2－βcosπ2－β＝cosβsinβ.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)tanα·tanβ，tanα＋tanβ，tan(α＋β)三者知二可表示或求出第三个．()(2)tanπ2＋π3能根据公式tan(α＋β)直接展开．()(3)存在α，β∈R，使tan(α＋β)＝tanα＋tanβ成立．()2[答案](1)√(2)×(3)√题型一正切公式的正用【典例1】(1)求值：tan(－75°)；(2)已知cosα＝45，α∈(0，π)，tan(α－β)＝12，求tanβ.[思路导引](1)75°＝45°＋30°，利用两角和的正切公式求解；(2)由已知可求得sinα的值，则可求得tanα，因为β＝α－(α－β)，所以tanβ＝tan[α－(α－β)]，再利用两角差的正切公式求解．[解](1)tan75°＝tan(45°＋30°)＝tan45°＋tan30°1－tan45°tan30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝12＋636＝2＋3，tan(－75°)＝－tan75°＝－2－3.(2)∵cosα＝450，α∈(0，π)，∴sinα0.∴sinα＝1－cos2α＝1－452＝35，∴tanα＝sinαcosα＝3545＝34.∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝tanα－tanα－β1＋tanα·tanα－β＝34－121＋34×12＝211.[变式]本例(2)中，其他条件不变，求tan(2α－β)．[解]tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanα·tanα－β＝34＋121－34×12＝2.3(1)利用公式T(α＋β)求角的步骤：①计算待求角的正切值．②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．③根据角的范围及三角函数值确定角．(2)注意用已知角来表示未知角．[针对训练]1．已知tanα＝2，tanβ＝－13，其中0απ2，π2βπ.求：(1)tan(α－β)；(2)α＋β的值．[解](1)因为tanα＝2，tanβ＝－13，所以tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝2＋131－23＝7.(2)因为tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝2－131＋23＝1，又因为0απ2，π2βπ，所以π2α＋β3π2，所以α＋β＝5π4.题型二正切公式的逆用【典例2】求值：(1)tan74°＋tan76°1－tan74°tan76°；(2)3－tan15°1＋3tan15°.[思路导引](1)逆用两角和的正切公式；(2)将3换成tan60°，再逆用两角差的正切公式．4[解](1)原式＝tan(74°＋76°)＝tan150°＝－33.(2)原式＝tan60°－tan15°1＋tan60°tan15°＝tan(60°－15°)＝tan45°＝1.化简求值中要注意“特殊值”的代换和应用当所要化简(求值)的式子中出现特殊的数值“1”、“3”时，要考虑用这些特殊值所对应的特殊角的正切值去代换，如“1＝tanπ4”，“3＝tanπ3”，这样可以构造出公式的形式，从而可以进行化简和求值．[针对训练]2．求值：(1)cos75°－sin75°cos75°＋sin75°；(2)1－tan27°tan33°tan27°＋tan33°.[解](1)原式＝1－tan75°1＋tan75°＝tan45°－tan75°1＋tan45°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－33.(2)原式＝1tan27°＋33°＝1tan60°＝33.题型三正切公式的变形应用【典例3】(1)化简：tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°；(2)若锐角α，β满足(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝4，求α＋β的值．[思路导引](1)利用23°＋37°＝60°及两角和的正切公式将tan(23°＋37°)展开变形即可求解；(2)将所给关系式的左边展开，逆用两角和的正切公式求出tan(α＋β)．5[解](1)解法一：tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋3tan23°tan37°＝tan60°(1－tan23°tan37°)＋3tan23°tan37°＝3.解法二：∵tan(23°＋37°)＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，∴3＝tan23°＋tan37°1－tan23°tan37°，∴3－3tan23°tan37°＝tan23°＋tan37°，∴tan23°＋tan37°＋3tan23°tan37°＝3.(2)∵(1＋3tanα)(1＋3tanβ)＝1＋3(tanα＋tanβ)＋3tanαtanβ＝4，∴tanα＋tanβ＝3(1－tanαtanβ)，∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝3.又∵α，β均为锐角，∴0°α＋β180°，∴α＋β＝60°.T(α±β)可变形为如下形式：①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)或②1∓tanαtanβ＝tanα±tanβtanα±β.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形①，遇到1与切的乘积的和(或差)时常用变形②.[针对训练]3．在△ABC中，tanA＋tanB＋3＝3tanAtanB，则C等于()A.π3B.2π3C.π6D.π4[解析]因为tan(A＋B)＝tanA＋tanB1－tanAtanB，故tan(A＋B)＋3＝tanA＋tanB1－tanAtanB＋3＝tanA＋tanB＋3－3tanAtanB1－tanAtanB；6根据题意可知，tanA＋tanB＋3－3tanAtanB＝0，故tan(A＋B)＋3＝0，因为C＝π－A－B，故tan(A＋B)＝－tanC，所以tanC＝3，因为在三角形中0Cπ，故C＝π3.故选A.[答案]A课堂归纳小结1.公式T(α±β)的适用范围由正切函数的定义可知α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋π2(k∈Z)．2．公式T(α±β)的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换．如tanπ4＝1，tanπ6＝33，tanπ3＝3等.要特别注意tanπ4＋α＝1＋tanα1－tanα，tanπ4－α＝1－tanα1＋tanα.3．公式T(α±β)的变形应用只要见到tanα±tanβ，tanαtanβ时，要有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路.1．若tanα＝3，tanβ＝43，则tan(α－β)等于()A.13B．－13C．3D．－3[解析]tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝13.[答案]A2．已知α∈π2，π，sinα＝35，则tanα＋π4＝()A.17B．7C．－17D．－7[解析]sinα＝35⇒cosα＝－45⇒tanα＝－34.7∴tanα＋π4＝tanα＋tanπ41－tanαtanπ4＝－34＋11－－34×1＝17.[答案]A3.1＋tan15°1－tan15°＝________.[解析]1＋tan15°1－tan15°＝tan45°＋tan15°1－tan45°·tan15°＝tan60°＝3.[答案]34．tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝________.[解析]tan45°＝tan(19°＋26°)＝tan19°＋tan26°1－tan19°tan26°＝1.所以tan19°＋tan26°＝1－tan19°tan26°，则tan19°＋tan26°＋tan19°tan26°＝1－tan19°tan26°＋tan19°tan26°＝1.[答案]15．若sinα＋cosαsinα－cosα＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.[解析]∵sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝3，∴tanα＝2.又tan(α－β)＝2，∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝－tan[(α－β)＋α]＝－tanα－β＋tanα1－tanα－β·tanα＝43.[答案]43课后作业(五十)复习巩固一、选择题1．设sinα＝35π2απ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为()A．－27B．－25C．－211D．－1128[解析]∵sinα＝35π2απ，∴tanα＝－34.∵tan(π－β)＝12，∴tanβ＝－12.∴tan(α－β)＝tanα－tanβ1＋tanαtanβ＝－211.[答案]C2.tan10°＋tan50°＋tan120°tan10°tan50°的值等于()A．－1B．1C.3D．－3[解析]因为tan60°＝tan(10°＋50°)＝tan10°＋tan50°1－tan10°tan50°，所以tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°.所以原式＝tan60°－tan60°tan10°tan50°＋tan120°tan10°tan50°＝－3.[答案]D3．已知tan(α＋β)＝35，tanβ－π4＝14，那么tanα＋π4等于()A.1318B.1323C.723D.16[解析]tanα＋π4＝tanα＋β－β－π4＝35－141＋35×14＝723.[答案]C4．若α＋β＝3π4，则(1－tanα)(1－tanβ)的值为()A.12B．1C.32D．2[解析]∵tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)＝tan3π4(1－tanαtanβ)＝tanαtanβ－1，∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1＋tanαtanβ－(tanα＋tanβ)＝2.[答案]D95．已知tanα，tanβ是方程x2＋33x＋4＝0的两根，且－π2απ2，－π2βπ2，则α＋β的值为()A.π3B．－2π3C.π3或－2π3D．－π3或2π3[解析]由一元二次方程根与系数的关系得tanα＋tanβ＝－33，tanα·tanβ＝4，∴tanα0，tanβ0.∴tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝－331－4＝3.又∵－π2απ2，－π2βπ2，且tanα0，tanβ0，∴－πα＋β0，∴α＋β＝－2π3.[答案]B二、填空题6.1＋tan12°tan72°tan12°－tan72°＝________.[解析]1＋tan12°tan72°tan12°－tan72°＝－1tan72°－12°＝－33.[答案]－337．tan70°＋tan50°－3tan50°tan70°＝__________.[解析]∵tan70°＋tan50°＝tan120°(1－tan50°·tan70°)＝－3＋3tan50°·tan70°，