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1第2课时利用基本不等式求最值1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.2.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.基本不等式与最值已知x,y都是正数,(1)如果积xy等于定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2P;(2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时,积xy有最大值14S2.温馨提示:从上面可以看出,利用基本不等式求最值时,必须有:(1)x、y0,(2)和(积)为定值,(3)存在取等号的条件.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若a0,b0,且a+b=16,则ab≤64.()(2)若ab=2,则a+b的最小值为22.()(3)当x1时,函数y=x+1x-1≥2xx-1,所以函数y的最小值是2xx-1.()(4)若x∈R,则x2+2+1x2+2≥2.()[答案](1)√(2)×(3)×(4)×题型一利用基本不等式求最值【典例1】(1)若x0,求y=4x+9x的最小值;(2)设0x32,求函数y=4x(3-2x)的最大值;(3)已知x2,求x+4x-2的最小值;2(4)已知x0,y0,且1x+9y=1,求x+y的最小值.[思路导引]利用基本不等式求最值,当积或和不是定值时,通过变形使其和或积为定值,再利用基本不等式求解.[解](1)∵x0,∴由基本不等式得y=4x+9x≥24x·9x=236=12,当且仅当4x=9x,即x=32时,y=4x+9x取最小值12.(2)∵0x32,∴3-2x0,∴y=4x(3-2x)=2[2x(3-2x)]≤22x+3-2x22=92.当且仅当2x=3-2x,即x=34时取“=”.∴y的最大值为92.(3)∵x2,∴x-20,∴x+4x-2=(x-2)+4x-2+2≥2x-2·4x-2+2=6.当且仅当x-2=4x-2,即x=4时,x+4x-2取最小值6.(4)∵x0,y0,1x+9y=1,∴x+y=(x+y)1x+9y=10+yx+9xy≥10+29=16.当且仅当yx=9xy且1x+9y=1时等号成立,即x=4,y=12时等号成立.∴当x=4,y=12时,x+y有最小值16.3[变式](1)本例(3)中,把“x2”改为“x2”,则x+4x-2的最值又如何?(2)本例(3)中,条件不变,改为求x2-2x+4x-2的最小值.[解](1)∵x2,∴2-x0,∴x+4x-2=x-2+4x-2+2=-2-x+42-x+2≤-22-x·42-x+2=-2.当且仅当2-x=42-x,即x=0时,x+4x-2取最大值-2.(2)x2-2x+4x-2=x-22+2x-2+4x-2=x-2+4x-2+2≥2x-2·4x-2+2=6当且仅当x-2=4x-2,即x=4时,原式有最小值6.(1)若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式.(2)若多次使用基本不等式,等号成立的条件应相同.[针对训练]1.已知x,y0,且满足x3+y4=1,则xy的最大值为________.[解析]∵x,y0,∴x3+y4=1≥2xy12,得xy≤3,当且仅当x3=y4即x=32,y=2时,取“=”号,∴xy的最大值为3.[答案]32.已知x,y0,且x+y=4,则1x+3y的最小值为________.[解析]∵x,y0,∴(x+y)1x+3y=4+yx+3xy≥4+23,4当且仅当yx=3xy,即x=2(3-1),y=2(3-3)时取“=”号,又x+y=4,∴1x+3y≥1+32,故1x+3y的最小值为1+32.[答案]1+323.若x3,则实数f(x)=4x-3+x的最大值为________.[解析]∵x3,∴x-30,∴f(x)=4x-3+x=4x-3+(x-3)+3=-43-x+3-x+3≤-243-x·3-x+3=-1,当且仅当43-x=3-x,即x=1时取“=”号.∴f(x)的最大值为-1.[答案]-1题型二利用基本不等式解决实际问题【典例2】如图,动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间,一面可利用原有的墙,其他各面用钢筋网围成.(1)现有可围36m长网的材料,每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使每间虎笼面积最大?(2)若使每间虎笼面积为24m2,则每间虎笼的长、宽各设计为多少时,可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小?[思路导引]设每间虎笼长xm,宽ym,则问题是在4x+6y=36的前提下求xy的最大值.[解](1)设每间虎笼长xm,宽为ym,则由条件知4x+6y=36,即2x+3y=18.5设每间虎笼面积为S,则S=xy.解法一:由于2x+3y≥22x·3y=26xy,∴26xy≤18,得xy≤272,即S≤272,当且仅当2x=3y时,等号成立.由2x+3y=18,2x=3y,解得x=4.5,y=3.故每间虎笼长为4.5m,宽为3m时,可使面积最大.解法二:∵2x+3y=18,∴S=xy=16·(2x)·(3y)≤16·2x+3y22=816=272.(以下同解法一)(2)由条件知S=xy=24.设钢筋网总长为l,则l=4x+6y.∵2x+3y≥22x·3y=26xy=24,∴l=4x+6y=2(2x+3y)≥48,当且仅当2x=3y时,等号成立.由2x=3y,xy=24,解得x=6,y=4.故每间虎笼长6m,宽4m时,可使钢筋网总长最小.解决实际问题时,先弄清题意(审题),建立数学模型(列式),再用所掌握的数学知识解决问题(求解),最后要回应题意下结论(作答).[针对训练]4.某单位用2160万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少10层,每层2000m2的楼房.经测算,如果将楼房建为x(x≥10)层,则每平方米的平均建筑费用为560+48x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?(注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积)[解]设将楼房建为x层,则每平方米的平均购地费用为2160×1042000x=10800x.于是每平方米的平均综合费用y=560+48x+10800x=560+48x+225x(x≥10),当x+225x取最小时,y有最小值.6∵x0,∴x+225x≥2x·225x=30,当且仅当x=225x,即x=15时,上式等号成立.∴当x=15时,y有最小值2000元.因此该楼房建为15层时,每平方米的平均综合费用最小.课堂归纳小结1.利用基本不等式求最大值或最小值时应注意:(1)x,y一定要都是正数;(2)求积xy最大值时,应看和x+y是否为定值;求和x+y最小值时,应看积xy是否为定值;(3)等号是否能够成立.以上三点可简记为“一正、二定、三相等”.2.利用基本不等式求最值的关键是获得定值条件,解题时应对照已知和欲求的式子运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创建应用.3.求解应用题的方法与步骤(1)审题;(2)建模(列式);(3)解模;(4)作答.1.已知y=x+1x-2(x0),则y有()A.最大值为0B.最小值为0C.最小值为-2D.最小值为2[答案]B2.已知0x1,则当x(1-x)取最大值时,x的值为()A.13B.12C.14D.23[解析]∵0x1,∴1-x0.∴x(1-x)≤x+1-x22=14,当且仅当x=1-x,即x=12时,等号成立.[答案]B3.已知p,q∈R,pq=100,则p2+q2的最小值是________.[答案]20074.已知函数f(x)=4x+ax(x0,a0)在x=3时取得最小值,则a=________.[解析]由基本不等式,得4x+ax≥24x·ax=4a,当且仅当4x=ax,即x=a2时,等号成立,即a2=3,a=36.[答案]365.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=12x2-200x+80000,该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?[解]由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为yx=12x+80000x-200≥212x·80000x-200=200,当且仅当12x=80000x,即x=400时等号成立,故该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低成本为200元.课后作业(十二)复习巩固一、选择题1.当x0时,y=12x+4x的最小值为()A.4B.8C.83D.16[解析]∵x0,∴12x0,4x0.∴y=12x+4x≥212x·4x=83.当且仅当12x=4x,即x=3时取最小值83,∴当x0时,y的最小值为83.[答案]C2.设x,y为正数,则(x+y)1x+4y的最小值为()A.6B.9C.12D.15[解析](x+y)1x+4y=x·1x+4xy+yx+y·4y=1+4+4xy+yx≥5+24xy·yx=9.8[答案]B3.若x0,y0,且2x+8y=1,则xy有()A.最大值64B.最小值164C.最小值12D.最小值64[解析]由题意xy=2x+8yxy=2y+8x≥22y·8x=8xy,∴xy≥8,即xy有最小值64,等号成立的条件是x=4,y=16.[答案]D4.已知p0,q0,p+q=1,且x=p+1p,y=q+1q,则x+y的最小值为()A.6B.5C.4D.3[解析]由p+q=1,∴x+y=p+1p+q+1q=1+1p+1q=1+1p+1q(p+q)=1+2+qp+pq≥3+2qp·pq=5,当且仅当qp=pq即p=q=12时取等号,所以B选项是正确的.[答案]B5.若a1,则a+1a-1有最________(填“大”或“小”)值,为________.[解析]∵a1,∴a-10,∴-a-1+1a-1=(1-a)+11-a≥2,∴a-1+1a-1≤-2,∴a+1a-1≤-1.当且仅当a=0时取等号.[答案]大-1二、填空题96.已知0x1,则x(3-3x)取得最大值时x的值为________.[解析]由x(3-3x)=13×3x(3-3x)≤13×3x+3-3x22=34,当且仅当3x=3-3x,即x=12时等号成立.[答案]127.已知正数x,y满足x+2y=1,则1x+1y的最小值为________.[解析]∵x,y为正数,且x+2y=1,∴1x+1y=(x+2y)1x+1y=3+2yx+xy≥3+22,当且仅当2yx=xy,即当x=2-1,y=1-22时等号成立.∴1x+1y的最小值为3+22.[答案]3+228.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元/次,一年的总存储费用为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x=________吨.[解析]每年购买次数为400x次.∴总费用=400x·4+4x≥26400=160,当且仅当1600x=4x,即x=20时等号成立.[答案]20三、解答题9.已知a,b,x,y0,x,y为变量,a,b为常数,且a+b=10,ax+by=1,x+y的最小值为18,求a,b.[解]x+y=(x+y)ax+by=a+b+bxy+ayx≥a+b+2ab=(a+b)2,当且仅当bxy=ayx时取等号.故(x+y)min=(a+b)2=18,即a+b+2ab=18,①又a+b=10,②10由①②可得{a=2,b=8或{a=8,b=2.10.(1)已知x3,求f(x)=4x-3+x的最大值;(2)设x0,y0,且2x+8y=xy,求x+y的最小值.[解](1)∵x3,∴x-30.∴f(x)=4x-3+x=4x-3
本文标题:2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2.2 利用基本不等式
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