2019-2020学年新教材高中数学 第五章 三角函数 5.5.1.1 两角差的余弦公式学案 新人教

1第1课时两角差的余弦公式1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．熟记两角差的余弦公式，并能灵活运用．两角差的余弦公式公式cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ简记符号C(α－β)使用条件α，β为任意角温馨提示：右边是两项的和，第一项是cosα与cosβ的积，第二项是sinα与sinβ的积，口诀为“余余正正号相反”．1．平面上，已知点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，那么两点间距离如何计算？[答案]利用公式|P1P2|＝x1－x22＋y1－y222．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)cos(60°－30°)＝cos60°－cos30°.()(2)对于任意实数α，β，cos(α－β)＝cosα－cosβ都不成立．()(3)对任意α，β∈R，cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ都成立．()(4)求cosα时，有时把角α看成角α＋β与角β的差．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)√题型一给角求值【典例1】计算：(1)cos(－15°)；(2)cos15°cos105°＋sin15°sin105°.[思路导引](1)将－15°用两特殊角之差表示，再正用公式求值；(2)逆用公式．[解](1)解法一：原式＝cos(30°－45°)＝cos30°cos45°＋sin30°sin45°＝32×22＋12×22＝6＋24.2解法二：原式＝cos15°＝cos(45°－30°)＝cos45°cos30°＋sin45°sin30°＝22×32＋22×12＝6＋24.(2)原式＝cos(15°－105°)＝cos(－90°)＝cos90°＝0.利用公式C(α－β)求值的思路方法(1)求非特殊角的余弦值时可将角转化为特殊角的差，正用公式直接求值．(2)如果函数名称不满足公式特点，可利用诱导公式调整角和函数名称，构造公式的结构形式然后逆用公式求值．[针对训练]1．cos15°cos45°＋cos75°sin45°的值为()A.12B.32C．－12D．－32[解析]原式＝cos15°cos45°＋sin15°sin45°＝cos(15°－45°)＝cos30°＝32，故选B.[答案]B2．化简cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝________.[解析]cos(α＋45°)cosα＋sin(α＋45°)sinα＝cos(α＋45°－α)＝22.[答案]22题型二给值求值【典例2】已知α，β均为锐角，sinα＝817，cos(α－β)＝2129，求cosβ的值．[思路导引]考虑到β＝[α－(α－β)]这一关系，所以先求α角的余弦和α－β角的正弦，然后代入两角差的余弦公式．[解]∵α∈0，π2，sinα＝81712，∴0απ6，又∵α－β∈－π2，π6，cos(α－β)＝212932，3∴－π2α－β－π6，∴cosα＝1－sin2α＝1－8172＝1517，sin(α－β)＝－1－cos2α－β＝－1－21292＝－2029，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝1517×2129＋817×－2029＝155493.给值求值问题的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值时，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角．(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角．常见角的变换有：①α＝(α－β)＋β；②α＝α＋β2＋α－β2；③2α＝(α＋β)＋(α－β)；④2β＝(α＋β)－(α－β)．[针对训练]3．已知锐角α，β满足cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，则cos(2π－β)的值为()A.3365B．－3365C.5465D．－5465[解析]因为α，β为锐角，cosα＝35，cos(α＋β)＝－513，所以sinα＝45，sin(α＋β)＝1213，所以cos(2π－β)＝cosβ＝cos[(α＋β)－α]4＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－513×35＋1213×45＝3365.故选A.[答案]A4．已知sinπ3＋α＝1213，α∈π6，2π3，则cosα的值为________．[解析]因为sinπ3＋α＝1213，α∈π6，2π3，所以π3＋α∈π2，π，cosπ3＋α＝－513.所以cosα＝cosπ3＋α－π3＝cosπ3＋αcosπ3＋sinπ3＋αsinπ3＝－513×12＋1213×32＝123－526.[答案]123－526题型三给值求角【典例3】已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，α，β∈0，π2，则β＝________.[思路导引]将β用(α＋β)－α表示，先求β的余弦值，再求角β.[解析]∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)．∵cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，∴sinα＝437，sin(α＋β)＝5314，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－1114×17＋5314×437＝12.∵0βπ2，∴β＝π3.5[答案]π3[变式]若本例变为：已知cosα＝17，cos(α－β)＝1314，且0βαπ2，求β的值．[解]由cosα＝17，0απ2，得sinα＝1－cos2α＝1－172＝437.由0βαπ2，得0α－βπ2.又因为cos(α－β)＝1314，所以sin(α－β)＝1－cos2α－β＝1－13142＝3314.由β＝α－(α－β)得cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12，因为0βπ2，所以β＝π3.解给值求角问题的一般步骤(1)求角的某一个三角函数值．(2)确定角的范围．(3)根据角的范围写出所求的角．[针对训练]5．已知0απ2，－π2β0，且α，β满足sinα＝55，cosβ＝31010，求α－β.[解]因为0απ2，－π2β0，且sinα＝55，cosβ＝31010，故cosα＝1－sin2α＝1－15＝255，6sinβ＝－1－cos2β＝－1－910＝－1010，故cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝255×31010＋55×－1010＝22.由0απ2，－π2β0得，0α－βπ，又cos(α－β)0，所以α－β为锐角，所以α－β＝π4.课堂归纳小结1．“给式求值”或“给值求值”问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：(1)求角的某一三角函数值；(2)确定角所在的范围(找区间)；(3)确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定.1．cos165°等于()A.12B.32C．－6＋24D．－6－24[解析]cos165°＝cos(180°－15°)＝－cos15°＝－cos(45°－30°)＝－(cos45°cos30°＋sin45°sin30°)＝－22·32＋22·12＝－6＋24.[答案]C2．cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6的值是()A．0B.12C.22D.327[解析]cos5π12cosπ6＋cosπ12sinπ6＝cos5π12cosπ6＋sin5π12sinπ6＝cos5π12－π6＝cosπ4＝22.[答案]C3．cos(45°－α)cos(α＋15°)－sin(45°－α)sin(α＋15°)等于()A.12B．－12C.32D．－32[解析]原式＝cos(45°－α＋α＋15°)＝cos60°＝12.故选A.[答案]A4．若cos(α－β)＝55，cos2α＝1010，并且α，β均为锐角，且αβ，则α＋β的值为()A.π6B.π4C.3π4D.5π6[解析]∵0αβπ2，∴－π2α－β0,02απ.由cos(α－β)＝55，得sin(α－β)＝－255.由cos2α＝1010，得sin2α＝31010.∴cos(α＋β)＝cos[2α－(α－β)]＝cos2αcos(α－β)＋sin2αsin(α－β)＝1010×55＋31010×－255＝－22.又∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝3π4.[答案]C5．已知cosα＝45，α∈3π2，2π，则cosα－π4＝________.[解析]由cosα＝45，α∈3π2，2π，得8sinα＝－1－cos2α＝－1－452＝－35.∴cosα－π4＝cosαcosπ4＋sinαsinπ4＝45×22＋－35×22＝210.[答案]210课后作业(四十八)复习巩固一、选择题1．sin11°cos19°＋cos11°cos71°的值为()A.32B.12C.1＋32D.3－12[解析]sin11°cos19°＋cos11°cos71°＝cos11°cos71°＋sin11°sin71°＝cos(11°－71°)＝cos(－60°)＝12.故选B.[答案]B2．已知点P(1，2)是角α终边上一点，则cos(30°－α)＝()A.3＋66B.3－66C．－3＋66D.6－36[解析]因为点P(1，2)是角α终边上一点，所以cosα＝13＝33，sinα＝23＝63，所以cos(30°－α)＝cos30°cosα＋sin30°sinα＝32×33＋12×63＝3＋66.[答案]A3．已知α为锐角，β为第三象限角，且cosα＝1213，sinβ＝－35，则cos(α－β)的值为()9A．－6365B．－3365C.6365D.3365[解析]∵α为锐角，且cosα＝1213，∴sinα＝1－cos2α＝513，∵β为第三象限角，且sinβ＝－35，∴cosβ＝－1－sin2β＝－45，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝1213×－45＋513×－35＝－6365.故选A.[答案]A4．已知sinπ6＋α＝35，π3α5π6，则cosα的值是()A.3－4310B.4－3310C.23－35D.3－235[解析]∵π3α5π6，∴π2π6＋απ.∴cosπ6＋α＝－1－sin2π6＋α＝－45.∴cosα＝cosπ6＋α－π6＝cosπ6＋αcosπ6＋sinπ6＋α·sinπ6＝－45×32＋35×12＝3－4310.[答案]A5．若cos(α＋β)＝35，sinβ－π4＝513，α，β∈0，π2，那么cosα＋π4的值为()A.22B.32C.5665D.3665[解析]∵α，β∈0，π2，∴α＋β∈(0，π)，β－π4∈－π4，π4.又∵cos(α＋β)＝35，sinβ－π4＝513，∴sin(α＋β)＝1－cos2α＋β＝45，10cosβ－π4＝1－sin2β－π4＝1213，∴cosα＋π4＝cosα＋β－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝35×