2019-2020学年新教材高中数学 第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.3.2 一元二次不等式

1第2课时一元二次不等式的应用1．会解简单的分式不等式．2．会解不等式恒成立问题．3．会利用一元二次不等式解决一些实际问题.1．如何判断二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的相关位置？[答案]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a0)的图象与x轴的相关位置，分为三种情况，这可以由一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac三种取值情况(Δ0，Δ＝0，Δ0)来确定2．若一元二次不等式ax2＋x－10的解集为R，则实数a应满足什么条件？[答案]结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－10的解集为R，则a0，1＋4a0，，解得a∈∅，所以不存在a使不等式ax2＋x－10的解集为R题型一解简单的分式不等式【典例1】解下列不等式：(1)x＋21－x0；(2)x＋1x－2≤2.[思路导引]等价转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求得．[解](1)由x＋21－x0，得x＋2x－10，此不等式等价于(x＋2)(x－1)0，∴原不等式的解集为{x|x－2或x1}．(2)解法一：移项得x＋1x－2－2≤0，左边通分并化简得－x＋5x－2≤0，即x－5x－2≥0，它的同解不等式为x－2x－5≥0，x－2≠0，2∴x2或x≥5.∴原不等式的解集为{x|x2或x≥5}．解法二：原不等式可化为x－5x－2≥0，此不等式等价于x－5≥0，x－20，①或x－5≤0，x－20，②解①得x≥5，解②得x2，∴原不等式的解集为{x|x2或x≥5}．(1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零．(2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．[针对训练]1．解下列不等式：(1)2x－13x＋1≥0；(2)2－xx＋31.[解](1)原不等式可化为2x－13x＋1≥0，3x＋1≠0，解得x≤－13或x≥12，x≠－13，∴x－13或x≥12，∴原不等式的解集为xx－13或x≥12.(2)解法一：原不等式可化为x＋30，2－xx＋3或x＋30，2－xx＋3，3解得x－3，x－12或x－3，x－12，∴－3x－12，∴原不等式的解集为x－3x－12.解法二：原不等式可化为2－x－x＋3x＋30，化简得－2x－1x＋30，即2x＋1x＋30，∴(2x＋1)(x＋3)0，解得－3x－12.∴原不等式的解集为x－3x－12.题型二有关一元二次不等式恒成立的问题【典例2】已知不等式ax2＋(a－1)x＋a－10对于所有的实数x都成立，求a的取值范围．[思路导引]原不等式对所有的实数x都成立，即原不等式(关于x)的解集为R.注意到二次项的系数为参数a，故应分a＝0与a≠0两种情况分类讨论．[解]若a＝0，则原不等式为－x－10，即x－1，不合题意，故a≠0.令y＝ax2＋(a－1)x＋a－1，∵原不等式对任意x∈R都成立，∴二次函数y＝ax2＋(a－1)x＋a－1的图象在x轴的下方，∴a0且Δ＝(a－1)2－4a(a－1)0，即a0，a－13a＋10∴a－13.[变式]若将本例改为：不等式ax2＋(a－1)x＋a－1≥0的解集为空集，如何求a的取值范围？[解]不等式ax2＋(a－1)x＋a－1≥0的解集为空集，即不等式ax2＋(a－1)x＋a－10的解集为R，也就是不等式ax2＋(a－1)x＋a－10对任意的x∈R恒成立．故a的取值范围是a－13.4不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c0，它的解集为R的条件为a0，Δ＝b2－4ac0；一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为a0，Δ＝b2－4ac≤0；一元二次不等式ax2＋bx＋c0的解集为∅的条件为a0，Δ≤0.[针对训练]2．设a≠0，不等式ax2－x＋a0的解集为R，求实数a的取值范围．[解]由题意得，a0，Δ＝1－4a20解得：a12.∴a的取值范围为a12.题型三一元二次不等式的实际应用【典例3】某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳锐10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x(x≠0)个百分点，预测收购量可增加2x个百分点．(1)写出税收y(万元)与x的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x的取值范围．[思路导引](1)按“税收＝收购总金额×税率”可建立y与x的函数关系式；(2)将不等关系用不等式表示，从而求解．[解](1)降低税率后的税率为(10－x)%，农产品的收购量为a(1＋2x%)万担，收购总金额为200a(1＋2x%)万元．依题意：y＝200a(1＋2x%)(10－x)%＝150a(100＋2x)(10－x)(0x10)．(2)原计划税收为200a·10%＝20a(万元)．依题意得：150a(100＋2x)(10－x)≥20a×83.2%，化简得，x2＋40x－84≤0，∴－42≤x≤2.5又∵0x10，∴0x≤2，∴x的取值范围是0x≤2.一元二次不等式应用题常以二次函数为模型，解题时要弄清题意，准确找出其中的不等关系，再利用一元二次不等式求解，确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．[针对训练]3．在一个限速40km/h以内的弯道上，甲，乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m，乙车的刹车距离略超过10m．又知甲、乙两种车型的刹车距离Sm与车速xkm/h之间分别有如下关系：S甲＝0.1x＋0.01x2，S乙＝0.05x＋0.005x2.问超速行驶谁应负主要责任．[解]由题意列出不等式S甲＝0.1x＋0.01x212，S乙＝0.05x＋0.005x210.分别求解，得x－40，或x30.x－50，或x40.由于x0，从而得x甲30km/h，x乙40km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．课堂归纳小结1．解不等式的过程实际上就是不断转化的过程，是同解不等式的逐步代换，基本思路是：代数化、分式整式化、有理化、低次化、低维化，最后转化到可解的常见一元一次不等式、一元二次不等式上来.2.当一元二次不等式ax2＋bx＋c0(a0)的解集为R时，意味着ax2＋bx＋c0恒成立．由图象可知：关于这类恒成立问题只需考虑开口方向与判别式Δ即可.1．不等式x－2x＋30的解集是()A．{x|－3x2}B．{x|x2}C．{x|x－3或x2}D．{x|x－2或x3}[解析]不等式x－2x＋30⇔(x－2)(x＋3)0的解集是{x|x－3或x2}，所以C选项是正确的．[答案]C62．若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝x|x－2x≤0，则A∩B＝()A．{x|－1≤x0}B．{x|0x≤1}C．{x|0≤x≤2}D．{x|0≤x≤1}[解析]∵A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0x≤2}，∴A∩B＝{x|0x≤1}．[答案]B3．若不等式x2＋mx＋m20的解集为R，则实数m的取值范围是()A．m2B．m2C．m0或m2D．0m2[解析]由题意得Δ＝m2－4×m20，即m2－2m0，解得0m2.[答案]D4．已知不等式x2＋ax＋40的解集为空集，则a的取值范围是()A．－4≤a≤4B．－4a4C．a≤－4或a≥4D．a－4或a4[解析]依题意应有Δ＝a2－16≤0，解得－4≤a≤4，故选A.[答案]A5．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3000＋20x－0.1x2(0x240，x∈R)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是()A．100台B．120台C．150台D．180台[解析]3000＋20x－0.1x2≤25x⇔x2＋50x－30000≥0，解得x≤－200(舍去)或x≥150.[答案]C课后作业(十四)复习巩固一、选择题1．不等式4x＋23x－10的解集是()A.x|x13或x－12B.x|－12x137C.x|x13D.x|x－12[解析]4x＋23x－10⇔(4x＋2)(3x－1)0⇔x13或x－12，此不等式的解集为x|x13或x－12.[答案]A2．不等式2－xx＋11的解集是()A．{x|x1}B．{x|－1x2}C.x|x－1或x12D.x|－1x12[解析]原不等式等价于2－xx＋1－10⇔1－2xx＋10⇔(x＋1)·(1－2x)0⇔(2x－1)(x＋1)0，解得x－1或x12.[答案]C3．不等式x＋5x－12≥2的解集是()A.x－3≤x≤12B.x－12≤x≤3C.x12≤x1或1x≤3D.x－12≤x≤3且x≠1[解析]∵原不等式等价于x＋5≥2x－12，x≠1，∴2x2－5x－3≤0，x≠1，∴－12≤x≤3，x≠1，即x－12≤x≤3且x≠1.8[答案]D4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是()A．15≤x≤30B．12≤x≤25C．10≤x≤30D．20≤x≤30[解析]设矩形的另一边长为ym，则由三角形相似知，x40＝40－y40，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30.[答案]C5．设集合P＝{m|－4m0}，Q＝{m|mx2－mx－10，x∈R}，则下列关系式成立的是()A．PQB．QPC．P＝QD．P∩Q＝Q[解析]对Q：若mx2－mx－10对x∈R恒成立，则：①当m＝0时，－10恒成立．②当m≠0时，m0，Δ＝m2＋4m0，解得－4m0.由①②得Q＝{m|－4m≤0}，故PQ.[答案]A二、填空题6．不等式x＋1x≤3的解集为________．[解析]x＋1x≤3⇔x＋1x－3≤0⇔2x－1x≥0⇒x(2x－1)≥0且x≠0，解得x0或x≥12.[答案]x|x0或x≥127．若不等式x2－4x＋3m0的解集为空集，则实数m的取值范围是________．[解析]由题意，知x2－4x＋3m≥0对一切实数x恒成立，所以Δ＝(－4)2－4×3m≤0，解得m≥43.9[答案]m≥438．若关于x的不等式x2－ax－a0的解集为R，则实数a的取值范围是________；若关于x的不等式x2－ax－a≤－3的解集不是空集，则实数a的取值范围是________．[解析]由Δ10即a2－4(－a)0得－4a0；由Δ2≥0即a2－4(3－a)≥0得a≤－6或a≥2.[答案]－4a0a≤－6或a≥2三、解答题9．解下列分式不等式：(1)x＋12x－3≤1；(2)2x＋11－x0.[解](1)∵x＋12x－3≤1，∴x＋12x－3－1≤0，∴－x＋42x－3≤0，即x－4x－32≥0.此不等式等价于(x－4)x－32≥0且x－32≠0，解得x32或x≥4.∴原不等式的解集为