（新高考）2020版高考数学二轮复习 第一部分 思想方法 数学思想方法 第3讲 分类讨论思想教学案

1第3讲分类讨论思想思想方法·简明概述分类讨论的原则分类讨论的常见类型1.不重不漏2.标准要统一，层次要分明3.能不分类的要尽量避免，决不无原则的讨论1.由数学概念而引起的分类讨论2.由数学运算要求而引起的分类讨论3.由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论4.由图形的不确定性而引起的分类讨论5.由参数的变化而引起的分类讨论分类讨论思想是将一个较复杂的数学问题分解成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的策略热点探究·考向调研调研一由数学运算要求引起的分类讨论【例1】(1)[2019·安徽芜湖模拟]若函数f(x)＝2|x－2|，x≤2，log2x＋a，x2的最小值为f(2)，则实数a的取值范围是()A．a0B．a0C．a≤0D．a≥0解析：当x≤2时，f(x)＝2|x－2|＝22－x，f(x)单调递减，所以f(x)的最小值为f(2)＝1；当x2时，f(x)＝log2(x＋a)，f(x)单调递增，则由题意可得log2(x＋a)≥1恒成立，即x＋a≥2恒成立，所以a≥(2－x)max，得a≥0，故选D.答案：D(2)[2018·武汉一模]设函数f(x)＝12x－7，x0，x，x≥0，若f(a)1，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－3)B．(1，＋∞)C．(－3,1)D．(－∞，－3)∪(1，＋∞)2解析：若a0，则12a－71，即12a8，2－a23，得－3a0；若a≥0，则a1，得0≤a1.综上，－3a1，故选C.答案：C方法点睛由数学运算要求引起的分类讨论主要是在运算过程中，运算变量在不同取值范围内计算形式会不同，所以要进行分类讨论．调研二由概念、性质、公式引起的分类讨论【例2】(1)[2019·福建龙岩模拟]若a0且a≠1，则“axay”是“loga|x|loga|y|”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：当a1时，由axay得xy，但由xy不能推得|x||y|.例如：x＝1，y＝－2，所以充分性不成立；由|x||y|也不能推得xy.例如：x＝－2，y＝1，所以必要性不成立．当0a1时，由axay得xy，但由xy不能推得|x||y|.例如：x＝－2，y＝1；由|x||y|也不能推出xy.例如：x＝0，y＝－1，所以充分性、必要性都不成立，故选D.答案：D(2)[2018·武昌调研]等比数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的正整数n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，则a1的值为()A．－3B．1C．－3或1D．1或3解析：设等比数列{an}的公比为q，当q＝1时，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1，由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3，即3a1n＝2a1－3，若对任意的正整数n,3a1n＝2a1－3恒成立，则a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1，所以Sn＝a11－qn1－q，Sn＋2＝a11－qn＋21－q，代入Sn＋2＝4Sn＋3并化简得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若对任意的正整数n该等式恒成立，则有4－q2＝0，3＋3a1－3q＝0，解得a1＝1，q＝2或a1＝－3，q＝－2，所以a1＝1或－3，故选C.答案：C3(3)若函数f(x)＝ax(a0，a≠1)在区间[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________.解析：若a1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝12，此时g(x)＝－x为减函数，不合题意．若0a1，有a－1＝4，a2＝m，故a＝14，m＝116，经检验知符合题意．答案：14方法点睛“四步”解决由概念、性质、公式引起的分类讨论问题(1)确定分类的目标与对象，即确定分类的目标．一般把需要用到概念、性质、公式解决问题的对象作为分类目标．(2)根据概念、性质、公式确定分类标准，运用概念、性质、公式对分类对象进行区分．(3)分类解决“分目标”问题，对分类出来的“分目标”分别进行处理．(4)汇总“分目标”，将“分目标”问题进行汇总，得出整体结论．调研三由图形位置或形状引起的分类讨论【例3】(1)[2017·全国卷Ⅰ]设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点．若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是()A．(0,1]∪[9，＋∞)B．(0，3]∪[9，＋∞)C．(0,1]∪[4，＋∞)D．(0，3]∪[4，＋∞)解析：当0m3时，焦点在x轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则ab≥tan60°＝3，即3m≥3，得0m≤1；当m3时，焦点在y轴上，要使C上存在点M满足∠AMB＝120°，则ab≥tan60°＝3，即m3≥3，得m≥9，所以m的取值范围是(0,1]∪[9，＋∞)，故选A.答案：A(2)正三棱柱的侧面展开图是边长分别为6和4的矩形，则它的体积为()A.833B．43C.239D．43或8334解析：当正三棱柱的高为4时，体积V＝2×3×12×4＝43；当正三棱柱的高为6时，体积V＝43×233×12×6＝833，故选D.答案：D(3)设F1，F2为椭圆x29＋y24＝1的两个焦点，P为椭圆上一点．已知P，F1，F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1||PF2|，求|PF1||PF2|的值为________．解析：①若∠PF2F1＝90°.则|PF1|2＝|PF2|2＋|F1F2|2，又因为|PF1|＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，解得|PF1|＝143，|PF2|＝43，所以|PF1||PF2|＝72.②若∠F1PF2＝90°，则|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2，所以|PF1|2＋(6－|PF1|)2＝20，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，所以|PF1||PF2|＝2.综上可知，|PF1||PF2|＝72或2.答案：72或2方法点睛几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化．(2)函数问题中区间的变化．(3)函数图象形状的变化．(4)直线由斜率引起的位置变化．(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化．调研四由参数变化引起的分类讨论【例4】[2019·全国卷Ⅲ，20节选]已知函数f(x)＝2x3－ax2＋b，讨论f(x)的单调性．解：f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)．5若a＜0，则当x∈－∞，a3∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0；当x∈a3，0时，f′(x)＜0.故f(x)在－∞，a3，(0，＋∞)上单调递增，在a3，0上单调递减．当a＝0时，f′(x)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．若a＞0，则当x∈(－∞，0)∪a3，＋∞时，f′(x)＞0；当x∈0，a3时，f′(x)＜0.故f(x)在(－∞，0)，a3，＋∞上单调递增，在0，a3上单调递减．方法点睛几种常见的由参数变化引起的分类讨论(1)含有参数的不等式的求解．(2)含有参数的方程的求解．(3)对于解析式系数含参数的函数，求最值与单调性问题．(4)二元二次方程表示曲线类型的判断等．