2019-2020学年高中数学 第三章 不等式检测试题 新人教A版必修5

-1-第三章不等式检测试题(时间:120分钟满分:150分)[选题明细表]知识点、方法题号不等式的性质1,4一元二次不等式的解法5,6,15,18平面区域与线性规划2,3,8,10,12,14,20基本不等式7,9,11,13,16,17,19综合应用21,22一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.若0,则下列结论正确的是(A)(A)ab(B)abb(C)+-2(D)a2b2解析:因为0,所以ba0.故选A.2.直线3x+2y+5=0把平面分成两个区域,则下列各点与原点位于同一区域的是(A)(A)(-3,4)(B)(-3,-4)(C)(0,-3)(D)(-3,2)解析:当x=y=0时,3x+2y+5=50,则原点一侧对应的不等式是3x+2y+50,可以验证仅有点(-3,4)满足3x+2y+50.故选A.3.不等式组表示的平面区域是图中的(C)-2-解析:不等式y≤2表示直线y=2下方区域(包含边界),不等式x-y+2≥0表示直线x-y+2=0及其右下方区域,取两区域的重叠部分,故选C.4.若ab0,则下列不等式中,总成立的是(C)(A)(B)a+b+(C)a+b+(D)解析:法一由ab0⇒0⇒a+b+,故选C.法二(特值法)令a=2,b=1,排除A,B,D,故选C.5.若f(x)=的定义域为R,则实数k的取值范围是(C)(A){k|0k≤1}(B){k|k0或k1}(C){k|0≤k≤1}(D){k|k1}解析:①当k=0时,80成立,②当k≠0时,只需⇒解得0k≤1.由①②知0≤k≤1.故选C.6.关于x的不等式x2-ax-20a20的任意两个解的差不超过9,则a的最大值与最小值的和是(C)(A)2(B)1(C)0(D)-1解析:方程x2-ax-20a2=0的两根是x1=-4a,x2=5a,则由关于x的不等式x2-ax-20a20的任意两个解的差不超过9,得|x1-x2|=|9a|≤9,-3-即-1≤a≤1.故a的最大值与最小值的和为1+(-1)=0.故选C.7.已知+=1(x0,y0),则x+y的最小值为(D)(A)12(B)14(C)16(D)18解析:x+y=(+)(x+y)=2+8++≥10+2=18,当且仅当x=6,y=12时,取等号.故选D.8.若变量x,y满足约束条件则z=2x+3y的最大值为(B)(A)2(B)5(C)8(D)10解析:约束条件表示的可行域如图阴影部分所示,而z=2x+3y可变形为y=-x+,表示直线y=-x+在y轴上的截距,由图可知当直线经过点A(4,-1)时z取最大值,最大值为z=2×4+3×(-1)=5.故选B.9.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品(B)(A)60件(B)80件(C)100件(D)120件解析:设每件产品的平均费用为y元,由题意得y=+≥2=20,当且仅当=(x0),即x=80时,等号成立.故选B.-4-10.设x,y满足约束条件若z=x+y的最大值为6,则的最大值为(C)(A)(B)2(C)4(D)5解析:作出x,y满足约束条件表示的平面区域,由解得A(,a),直线z=x+y,经过交点A时,目标函数取得最大值6,可得+a=6.解得a=4.则=的几何意义是可行域的点与(-4,0)连线的斜率,由可行域可知(-4,0)与B连线的斜率最大,由可得B(-3,4),则的最大值为4.故选C.11.若不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0,]都成立,则a的最小值为(D)(A)0(B)-2(C)-3(D)-解析:由对一切x∈(0,],不等式x2+ax+1≥0都成立,所以ax≥-x2-1,-5-即a≥-x-.设g(x)=-x-,只需a≥g(x)max,而g(x)=-x-在x∈(0,]上是增函数,所以g(x)=-x-的最大值是g()=-.故选D.12.设变量x,y满足约束条件若目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为40,则+的最小值为(B)(A)(B)(C)1(D)4解析:作出可行域如图阴影部分所示(不包括坐标轴边界上的点).由z=ax+by得y=-x+z.因为a0,b0,所以-0,作直线l0:y=-x并向上平移,数形结合知,当l0平移至过点A时z取得最大值.由得点A的坐标为(8,10),即zmax=8a+10b=40,得+=1,于是+=(+)(+)=+(+)≥+2=(当且仅当=时取“=”).所以(+)min=.故选B.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)-6-13.已知a,b,x,y∈(0,+∞),且+=1,x2+y2=8,则ab与xy的大小关系为.解析:因为1=+≥2=,所以ab≥4.因为8=x2+y2≥2xy,所以xy≤4.所以ab≥4≥xy.答案:ab≥xy14.若不等式组表示的平面区域是一个三角形及其内部,则a的取值范围是.解析:作出可行域如图所示,由题意可知当直线x+y=a经过点A(,)时,a=,满足条件,当a时满足条件,当直线x+y=a经过点B(1,0)时,a=1,所以当0a≤1时满足条件,所以a的取值范围为0a≤1或a≥.答案:(0,1]∪[,+∞)15.不等式x2-ax+b0的解集为{x|2x3},则不等式bx2-ax-10的解集为.解析:由题意得方程x2-ax+b=0的两根为2,3.所以a=5,b=6,所以不等式bx2-ax-10可化为6x2-5x-10,即(x-1)(6x+1)0,所以x-或x1.答案:(-∞,-)∪(1,+∞)-7-16.已知正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,当取最小值时,a+b-c的最大值为.解析:正实数a,b,c满足a2-ab+4b2-c=0,可得c=a2-ab+4b2,==+-1≥2-1=3.当且仅当a=2b时,取得等号,则a=2b时,取得最小值,且c=6b2,所以a+b-c=2b+b-6b2=-6b2+3b=-6(b-)2+,当b=时,a+b-c有最大值为.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)若a,b,c都是正数,且a+b+c=1,求证:(1-a)(1-b)(1-c)≥8abc.证明:因为a,b,c都是正数,且a+b+c=1,所以(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a+b)≥2·2·2=8abc.18.(本小题满分12分)已知f(x)=x2-(a+)x+1.(1)当a=时,解不等式f(x)≤0;(2)若a0,解关于x的不等式f(x)≤0.解:(1)当a=时,有不等式f(x)=x2-x+1≤0,所以(x-)(x-2)≤0,所以≤x≤2,即所求不等式的解集为[,2].-8-(2)因为f(x)=(x-)(x-a)≤0,a0,且方程(x-)(x-a)=0的两根为x1=a,x2=,所以当a,即0a1时,不等式的解集为[a,];当a,即a1时,不等式的解集为[,a];当=a,即a=1时,不等式的解集为{1}.19.(本小题满分12分)已知lg(3x)+lgy=lg(x+y+1).(1)求xy的最小值;(2)求x+y的最小值.解:由lg(3x)+lgy=lg(x+y+1),得(1)因为x0,y0,所以3xy=x+y+1≥2+1.所以3xy-2-1≥0.即3()2-2-1≥0.所以(3+1)(-1)≥0.所以≥1,所以xy≥1.当且仅当x=y=1时,等号成立.所以xy的最小值为1.(2)因为x0,y0,所以x+y+1=3xy≤3·()2.所以3(x+y)2-4(x+y)-4≥0.所以[3(x+y)+2][(x+y)-2]≥0.所以x+y≥2.当且仅当x=y=1时取等号.所以x+y的最小值为2.-9-20.(本小题满分12分)某糖果厂生产A,B两种糖果,A种糖果每箱可获利润40元,B种糖果每箱可获利润50元.其生产过程分混合、烹调、包装三道工序.下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间(单位:min).混合烹调包装A153B241每种糖果的生产过程中,混合的设备至多用机器12h,烹调的设备最多只能用机器30h,包装的设备最多只能用机器15h,每种糖果各生产多少箱可获得最大利润?解:设生产A种糖果x箱,生产B种糖果y箱,可获利润为z元,即求z=40x+50y在约束条件下的最大值.作出可行域,如图,作直线l0:40x+50y=0,平移l0,经过点P时,z=40x+50y取最大值.解方程组得点P坐标为(120,300).所以zmax=40×120+50×300=19800.所以生产A种糖果120箱,生产B种糖果300箱时,可以获得最大利润19800元.21.(本小题满分12分)设函数f(x)=x2-1,对任意x∈[,+∞),f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)恒成立,求实数m的取值范围.解:因为f(x)=x2-1,f()-4m2f(x)≤f(x-1)+4f(m)对x∈[,+∞)恒成立,即-1-4m2(x2-1)≤-10-(x-1)2-1+4(m2-1)对x∈[,+∞)恒成立.所以-4m2-1≤对x∈[,+∞)恒成立.令g(x)=,则g(x)=--=-3(+)=-3(+)2+.因为x≥,所以0≤,所以当=时,g(x)min=-,所以-4m2-1≤-,整理得12m4-5m2-3≥0,(3m2+1)(4m2-3)≥0,4m2-3≥0,解得m≥或m≤-.故m的取值范围为(-∞,-]∪[,+∞).22.(本小题满分12分)某投资商到一开发区投资72万元建起一座蔬菜加工厂,经营中,第一年支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年蔬菜销售收入50万元,设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年总收入-前n年的总支出-投资额72万元).(1)该厂从第几年开始盈利?(2)该厂前几年平均纯利润达到最大?并求出年平均纯利润的最大值.解:(1)依题意,根据f(n)=前n年的总收入-前n年的总支出-投资额72万元,可得f(n)=50n-[12n+×4]-72=-2n2+40n-72,由f(n)0,即-2n2+40n-720,解得2n18,-11-由于n∈N*,故从第三年开始盈利.(2)年平均纯利润为=-2n+40-=40-2(n+),因为n+≥12,所以=40-2(n+)≤16,当且仅当n=6时等号成立,此时年平均纯利润最大值为16万元,即前6年投资商年平均纯利润达到最大,年平均纯利润最大值为16万元.