2019-2020学年高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2 简单的三角恒等变换课时作业 新人教A版

-1-3.2简单的三角恒等变换选题明细表知识点、方法题号半角公式及应用1,2,4化简求值、证明问题5,6,8,9与三角函数性质有关问题3,7,10,12三角函数在实际问题中的应用11,13基础巩固1.设πθπ,cosθ=a,则sin等于(B)(A)(B)(C)-(D)-解析:因为πθπ,所以π,所以sin0,所以sin==.故选B.2.(2018·丹东市期末)已知tan60°=m,则cos120°的值是(B)(A)(B)(C)(D)-解析:因为tan60°=m,则cos120°====.3.若cosα=-,α是第三象限的角,则等于(A)-2-(A)-(B)(C)2(D)-2解析:因为α是第三象限角,cosα=-,所以sinα=-.所以===·===-.4.+2的化简结果是(A)(A)2cos4-4sin4(B)2sin4(C)2sin4-4cos4(D)-2sin4解析:原式=+2=×+2=2|sin4|+2|sin4-cos4|.因为sin40,sin4cos4,所以原式=-2sin4+2(cos4-sin4)=2cos4-4sin4.5.(2018·台州市期末)设a=2sincos,b=cos25°-sin25°,c=,则(C)(A)abc(B)bca(C)cab(D)acb解析:因为a=2sincos=sin=sin72°=cos18°,b=cos25°-sin25°=cos10°,c==tan60°==cos30°,而y=cosx在(0,π)上为减函数,所以cab.6.化简的结果为.-3-解析:===|sin1+cos1|.又01,所以原式=sin1+cos1.答案:sin1+cos17.(2018·沈阳市期末)函数y=cos2(x-)+sin2(x+)-1的最小正周期为.解析:y=cos2(x-)+sin2(x+)-1=+-1==sin2x,所以T==π.答案:π8.化简sin2x(-tan)+cos2x.解:原式=sin2x(-)+cos2x=sin2x·+cos2x=sin2x·+cos2x=sin2x+cos2x-4-=sin(2x+).能力提升9.(2018·武汉市期末)已知α,β∈(0,)且3sinβ=sin(2α+β),4tan=1-tan2,则α+β的值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:因为α,β∈(0,),且3sinβ=sin(2α+β),所以3sin[(α+β)-α]=sin[(α+β)+α],即3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα,化简可得2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα,故有tan(α+β)=2tanα.再根据4tan=1-tan2,可得tanα==,所以tan(α+β)=2tanα=1.再根据α+β∈(0,π),可得α+β=.10.已知a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(-x)满足f(-)=f(0),当x∈[,]时,则f(x)的值域为(D)(A)[1,2](B)[,](C)[,2](D)[,2]解析:由题意得,-5-f(x)=sin2x-+=sin2x-cos2x.又f(-)=f(0),所以a=2,所以f(x)=sin2x-cos2x=2sin(2x-),所以当x∈[,π]时,2x-∈[,π],f(x)∈[,2].故选D.11.在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示).如果小正方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos2θ的值等于.解析:由题意知,5cosθ-5sinθ=1,θ∈(0,).所以cosθ-sinθ=.由(cosθ+sinθ)2+(cosθ-sinθ)2=2.所以cosθ+sinθ=.所以cos2θ=cos2θ-sin2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=.答案:-6-12.(2018·四平市模拟)已知函数f(x)=cos(2x-)+sin2x-cos2x+.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间;(2)若存在t∈[,]满足[f(t)]2-2f(t)-m0,求实数m的取值范围.解:(1)由题意得,f(x)=cos2x+sin2x+sin2x-cos2x+=cos2x+sin2x-cos2x+=sin(2x-)+,所以函数f(x)的最小正周期T=π.由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z),得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z),所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+](k∈Z).(2)当t∈[,]时,可得2t-∈[0,],解得f(t)=sin(2t-)+∈[,+1]⇒F(t)=[f(t)]2-2f(t)=[f(t)-]2-2∈[-2,-1].存在t∈[,],满足F(t)-m0的实数m的取值范围为(-∞,-1).探究创新13.点P在直径AB=1的半圆上移动,过P作圆的切线PT,且PT=1,∠PAB=α,问α为何值时,四边形ABTP的面积最大?解:如图,连接PB.-7-因为AB为圆的直径,所以∠APB=90°,因为∠PAB=α,AB=1,所以PB=sinα,PA=cosα.又PT切圆于P点,则∠TPB=∠PAB=α.所以S四边形ABTP=S△PAB+S△TPB=PA·PB+PT·PB·sinα=sinα·cosα+sin2α.=sin2α+(1-cos2α).=sin(2α-)+.因为0α,-2α-π,所以当2α-=,即α=π时,四边形ABTP的面积最大.