2019-2020学年高中数学 第二章 数列 2.5 等比数列的前n项和 第二课时 数列求和（习题课

-1-第二课时数列求和(习题课)[选题明细表]知识点、方法题号公式法、并项转化法求和1,4,10分组转化法求和7,8,12裂项相消法求和2,3,6,9错位相减法求和5,11基础巩固1.等比数列{an}中,a2=9,a5=243,则{an}的前4项和为(B)(A)81(B)120(C)168(D)192解析:因为a5=a2q3,所以q3===27,所以q=3,所以a1=3,所以S4==120.故选B.2.数列{an}的通项公式是an=,若前n项和为10,则项数为(C)(A)11(B)99(C)120(D)121解析:因为an==-,所以Sn=a1+a2+…+an=(-1)+(-)+…+(-)=-1,令-1=10,得n=120.故选C.-2-3.已知数列an=(n∈N*),则数列{an}的前10项和为(C)(A)(B)(C)(D)解析:an===(-),所以S10=(-+-+…+-)=.故选C.4.在数列{an}中,已知Sn=1-5+9-13+17-21+…+(-1)n-1(4n-3),则S15+S22-S31的值为(B)(A)13(B)-76(C)46(D)76解析:因为S15=(-4)×7+(-1)14(4×15-3)=29.S22=(-4)×11=-44.S31=(-4)×15+(-1)30(4×31-3)=61.所以S15+S22-S31=29-44-61=-76.故选B.5.(2019·九江高二月考)数列{n·2n}的前n项和等于(B)(A)n·2n-2n+2(B)n·2n+1-2n+1+2(C)n·2n+1-2n(D)n·2n+1-2n+1解析:设{n·2n}的前n项和为Sn,则Sn=1×21+2×22+3×23+…+n·2n,①所以2Sn=1×22+2×23+…+(n-1)·2n+n·2n+1,②①-②得-Sn=2+22+23+…+2n-n·2n+1=-n·2n+1,所以Sn=n·2n+1-2n+1+2,故选B.6.已知数列{an}是通项an和公差都不为零的等差数列,设Sn=++…+,则Sn等于(A)(A)(B)-3-(C)(D)解析:因为{an}是等差数列,所以=(-).所以Sn=(-+-+…+-)=(-)=.故选A.7.(2019·德州高二检测)求和:Sn=1+(1+)+(1++)+(1+++)+…+(1+++…+)=.解析:被求和式的第k项为ak=1+++…+==2(1-).所以Sn=2[(1-)+(1-)+…+(1-)]=2[n-(+++…+)]=2[n-]=2]n-(1-)]=2n+-2.答案:2n+-28.(2019·陕西咸阳期末)已知数列{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求{an}的通项公式;(2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和Tn.-4-解:(1)设数列{an}的公差为d,{bn}的公比为q,由b2=3,b3=9,得q==3,bn=b2qn-2=3·3n-2=3n-1,即有a1=b1=1,a14=b4=27,则d==2,故an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1.(2)由(1)知,cn=an+bn=2n-1+3n-1,所以Tn=[1+3+…+(2n-1)]+(1+3+9+…+3n-1)=n·2n+=n2+.能力提升9.数列1,,,…,的前n项和为(B)(A)(B)(C)(D)解析:该数列的通项为an=,分裂为两项差的形式为an=2(-),令n=1,2,3,…,则Sn=2(1-+-+-+…+-),所以Sn=2(1-)=.故选B.10.已知函数f(n)=且an=f(n)+f(n+1),则a1+a2+a3+…+a100等于.解析:a1+a2+a3+…+a100=[f(1)+f(2)]+[f(2)+f(3)]+…+[f(100)+f(101)]=(12-22)+(-22+32)+(32-42)+…+(-1002+1012)=-3+5-7+9-…-199+201-5-=2×50=100.答案:10011.(2019·陕西质检)已知正项数列{an}是首项为2的等比数列,且a2+a3=24.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.解:(1)设正项数列{an}的公比为q,则2q+2q2=24,所以q=3(q=-4舍去),所以an=2×3n-1.(2)因为bn===,所以Tn=+++…+,①所以Tn=++…++.②由①-②,得Tn=+++…+-.所以Tn=[-]=.探究创新12.(2019·襄阳高二检测)已知数列{an}中,a1=1,an·an+1=()n,记T2n为{an}的前2n项的和,bn=a2n+a2n-1,n∈N*.(1)判断数列{bn}是否为等比数列,并求出{bn};(2)求T2n.解:(1)因为an·an+1=()n,-6-所以an+1·an+2=()n+1,所以=,即an+2=an,因为bn=a2n+a2n-1,所以===,所以{bn}是公比为的等比数列.因为a1=1,a1·a2=,所以a2=⇒b1=a1+a2=,所以bn=×()n-1=.(2)由(1)可知an+2=an,所以a1,a3,a5,…是以a1=1为首项,以为公比的等比数列;a2,a4,a6,…是以a2=为首项,以为公比的等比数列,所以T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=+=3-.