2019-2020学年高中数学 第二章 平面向量 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角课时

-1-2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角选题明细表知识点、方法题号平面向量数量积的坐标运算1,3,4,6,10,11,13向量平行与垂直的坐标形式的应用5,8平面向量的夹角问题2,7,9,12基础巩固1.(2018·梧州市期末)若向量a=(1,-1),b=(-2,3),则(C)(A)a⊥b(B)a∥b(C)|a+b|=(D)a-2b=(0,-7)解析:因为a+b=(-1,2),所以|a+b|==.经过验证可知:a⊥b,a∥b,不正确,a-2b=(5,-7),因此D不正确.综上可得:只有C正确.2.已知向量a=(2,1),b=(1,3),则向量2a-b与a的夹角为(C)(A)135°(B)60°(C)45°(D)30°解析:由题意可得2a-b=2(2,1)-(1,3)=(3,-1),则|2a-b|==,|a|==,且(2a-b)·a=(3,-1)·(2,1)=6-1=5,设所求向量的夹角为θ,由题意可得cosθ===,则向量2a-b与a的夹角为45°.3.(2018·豫南九校联考)已知向量a=(m,2),b=(2,-1),且a⊥b,则等于(B)-2-(A)-(B)1(C)2(D)解析:因为a⊥b,所以2m-2=0,所以m=1,则2a-b=(0,5),a+b=(3,1),所以a·(a+b)=1×3+2×1=5,|2a-b|=5,所以==1,故选B.4.若a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为(A)(A)(B)(C)(D)解析:a在b方向上的投影为|a|cosa,b====.5.已知=(-2,1),=(0,2),且∥,⊥,则点C的坐标是(D)(A)(2,6)(B)(-2,-6)(C)(2,-6)(D)(-2,6)解析:设C(x,y),则=(x+2,y-1),=(x,y-2),=(2,1).由∥,⊥,得解得所以点C的坐标为(-2,6).-3-6.(2018·芜湖市期末)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=.解析:因为向量a=(1,m),b=(3,-2),所以a+b=(4,m-2),因为|a+b|2=|a|2+|b|2,所以16+(m-2)2=1+m2+9+4,解得m=.答案:7.(2018·巢湖市质检)已知a=(λ,2λ),b=(3λ,2),如果a与b的夹角为锐角,则λ的取值范围是.解析:a与b的夹角为锐角,则a·b0且a与b不共线,则解得λ-或0λ或λ,所以λ的取值范围是(-∞,-)∪(0,)∪(,+∞).答案:(-∞,-)∪(0,)∪(,+∞)8.已知向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7).(1)当k为何值时,a∥(b+c);(2)当k=1时,求满足条件c=ma+nb的实数m,n的值.解:(1)向量a=(1,2),b=(2,k),c=(8,7),所以b+c=(10,k+7),令1×(k+7)-2×10=0,解得k=13,所以当k=13时,a∥(b+c);(2)当k=1时,b=(2,1),由已知c=ma+nb,即(8,7)=(m+2n,2m+n),-4-所以解得m=2,n=3.能力提升9.已知正方形OABC两边AB,BC的中点分别为D和E,则∠DOE的余弦值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:以点O为原点,OA所在直线为x轴建立直角坐标系,设边长为1,则D(1,),E(,1),于是cos∠DOE==.10.已知向量a=(1,0),b=(cosθ,sinθ),θ∈[-,],则|a+b|的取值范围是(D)(A)[0,2](B)[0,](C)[1,2](D)[,2]解析:|a+b|==.因为θ∈[-,],所以cosθ∈[0,1].所以|a+b|∈[,2].11.(2018·朝阳区期末)已知△ABC是边长为2的等边三角形.(1)若点E在边AB上,则·的最小值为;(2)若点E是△ABC区域内一点(包括边界),且||=1,则·的取值范围是.解析:(1)令|EA|=m,|EB|=n,则m≥0,n≥0,m+n=2,因为m+n≥2,-5-所以0≤mn≤1,因为·=||||cos180°=-mn≥-1,故最小值为-1.(2)以BC所在的直线为x轴,以B为原点建立直角坐标系,如图所示,则B(0,0)C(2,0),A(1,),设E(x,y),因为E是△ABC区域内一点(包括边界),且||=1,所以-1≤y≤,因为=(x,y),=(x-2,y),所以·=x2-2x+y2=(x-1)2+y2-1,因为AE==1,所以(x-1)2+(y-)2=1,所以·=(x-1)2+y2-1=y2-(y-)2=2y-3,因为3-2≤2y-3≤0,所以·的取值范围是[3-2,0].答案:(1)-1(2)[3-2,0]12.设平面上向量a=(cosα,sinα)(0°≤α≤90°),-6-b=(-,).(1)求a与b的夹角θ;(2)求证:a+b与a-b垂直.(1)解:由题意知,|a|=1,|b|=1,a·b=-cosα+sinα.则cosθ===-cosα+sinα=cos(120°-α).因为0°≤α≤90°,所以30°≤120°-α≤120°.又0°≤θ≤180°,所以θ=120°-α,即两向量的夹角为120°-α.(2)证明:因为(a+b)·(a-b)=(cosα-,sinα+)·(cosα+,sinα-)=(cosα-)(cosα+)+(sinα+)(sinα-)=cos2α-+sin2α-=1--=0,所以(a+b)⊥(a-b).探究创新13.(2018·昌平区期末)如图,已知A(-1,1),B(5,3),C(4,0).-7-(1)求cos,;(说明,表示与的夹角)(2)若=λ+μ(λ,μ∈R),求的值;(3)设点P(m,-m),若P,B,C三点共线,求m的值.解:(1)因为A(-1,1),B(5,3),C(4,0),所以=(6,2),=(-1,-3).所以cos,===-.(2)因为=(-1,1),因为=λ+μ(λ,μ∈R),所以(-1,1)=λ(6,2)+μ(-1,-3).所以所以所以=.(3)因为P,B,C三点共线,不妨设=k(k∈R).所以(-1,-3)=k(m-5,-m-3).所以所以所以m=3.-8-