2021版高考数学一轮复习 第四章 三角函数、解三角形 第5讲 函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及

1第5讲函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用一、知识梳理1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相AT＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x－φωπ2ω－φωπ－φω3π2ω－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A03.三角函数图象变换的两种方法(ω＞0)常用结论21．由y＝sinωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．2．函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)确定其横坐标．二、习题改编1．(必修4P55练习T2改编)为了得到函数y＝2sin2x－π3的图象，可以将函数y＝2sin2x的图象()A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D．向左平移π3个单位长度答案：A2．(必修4P62例4改编)某地农业监测部门统计发现：该地区近几年的生猪收购价格每四个月会重复出现．下表是今年前四个月的统计情况：月份x1234收购价格y(元/斤)6765选用一个函数来近似描述收购价格(元/斤)与相应月份之间的函数关系为．解析：设y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A0，ω0)，由题意得A＝1，B＝6，T＝4，因为T＝2πω，所以ω＝π2，所以y＝sinπ2x＋φ＋6.因为当x＝1时，y＝6，所以6＝sinπ2＋φ＋6，结合表中数据得π2＋φ＝2kπ，k∈Z，可取φ＝－π2，所以y＝sinπ2x－π2＋6＝6－cosπ2x.答案：y＝6－cosπ2x一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)3(1)把y＝sinx的图象上各点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，所得图象对应的函数解析式为y＝sin12x.()(2)将y＝sin2x的图象向右平移π3个单位长度，得到y＝sin2x－π3的图象．()(3)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A≠0)的最大值为A，最小值为－A.()(4)如果y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(5)若函数y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则φ＝2kπ＋π2(k∈Z)．()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√(5)×二、易错纠偏常见误区(1)搞不清ω的值对图象变换的影响；(2)确定不了函数解析式中φ的值．1．若将函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，则得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝．解析：函数y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为f(x)＝2sin2x＋π12＝2sin2x＋π6.答案：2sin2x＋π62．(2020·济南市模拟考试)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则f(x)＝．解析：设f(x)的最小正周期为T，根据题图可知，T2＝π2，所以T＝π，故ω＝2，根据2sin2×π12＋φ＝0(增区间上的零点)可知，π6＋φ＝2kπ，k∈Z，即φ＝2kπ－π6，k∈Z，又|φ|＜π2，故φ＝－π6.所以f(x)＝2sin2x－π6.4答案：2sin2x－π6五点法作图及图象变换(典例迁移)已知函数f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋a，其最大值为2.(1)求a的值及f(x)的最小正周期；(2)画出f(x)在[0，π]上的图象．【解】(1)f(x)＝3sin2x＋2cos2x＋a＝3sin2x＋cos2x＋1＋a＝2sin2x＋π6＋1＋a的最大值为2，所以a＝－1，最小正周期T＝2π2＝π.(2)由(1)知f(x)＝2sin2x＋π6，列表：x0π65π122π311π12π2x＋π6π6π2π3π22π13π6f(x)＝2sin2x＋π6120－201画图如下：【迁移探究1】(变结论)在本例条件下，函数y＝2cos2x的图象向右平移个单位得到y＝f(x)的图象．解析：将函数y＝2cos2x的图象向右平移π4个单位长度，可得函数y＝2sin2x的图象，再将y＝2sin2x的图象向左平移π12个单位长度，可得函数y＝2sin(2x＋π6)的图象，综上5可得，函数y＝2sin2x＋π6的图象可以由函数y＝2cos2x的图象向右平移π6个单位长度得到．答案：π6【迁移探究2】(变问法)在本例条件下，若将函数f(x)的图象向右平移m(m0)个单位长度后得到函数y＝g(x)的图象，且y＝g(x)是偶函数，求m的最小值．解：由已知得y＝g(x)＝f(x－m)＝2sin[2(x－m)＋π6]＝2sin2x－2m－π6是偶函数，所以2m－π6＝π2(2k＋1)，k∈Z，m＝kπ2＋π3，k∈Z，又因为m0，所以m的最小值为π3.函数y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)的图象的两种作法五点法设z＝ωx＋φ，由z取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象图象变换法由函数y＝sinx的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”[注意]平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是ωx加减多少值．1．(2020·广州市调研测试)由y＝2sin6x－π6的图象向左平移π3个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，所得图象对应的函数解析式为()A．y＝2sin3x－π6B．y＝2sin3x＋π6C．y＝2sin3x－π12D．y＝2sin12x－π6解析：选A.由y＝2sin6x－π6的图象向左平移π3个单位长度，可得y＝2sin6x＋π3－π6＝2sin6x＋2π－π6＝2sin6x－π6的图象，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到y＝62sin3x－π6的图象，故所得图象对应的函数解析式为y＝2sin3x－π6，选A.2．(2020·湖南模拟改编)已知函数f(x)＝sin2x－3cos2x，将y＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则所得函数的最小正周期为，g－3π4的值为．解析：由题知函数f(x)＝sin2x－3cos2x＝2sin2x－π3，将y＝f(x)的图象向左平移π6个单位长度，可得y＝2sin2x＋π3－π3＝2sin2x的图象，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin2x＋1的图象，则T＝2π2＝π，g－3π4＝2sin－3π2＋1＝3.答案：π3由图象确定y＝Asin(ωx＋φ)的解析式(师生共研)(2020·蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移π6个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A＞0，ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则()A．g(x)＝sin2x＋π3B．g(x)＝sin2x＋2π3C．g(x)＝sin2xD．g(x)＝sin2x＋π6【解析】根据题图有A＝1，34T＝5π6－π12＝3π4⇒T＝π＝2πω⇒ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由fπ12＝sin2×π12＋φ＝1⇒sinπ6＋φ＝1⇒π6＋φ＝π2＋2kπ，k∈Z⇒φ＝π3＋2kπ，k∈Z.因为|φ|＜π2，所以φ＝π3，所以f(x)＝7sin2x＋π3，将f(x)＝sin2x＋π3的图象向右平移π6个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝fx－π6＝sin2x－π6＋π3＝sin2x.故选C.【答案】C确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的最小正周期T，则可得ω＝2πT.(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)；②特殊点法：确定φ值时，往往以寻找“最值点”为突破口．具体如下：“最大值点”(即图象的“峰点”)时ωx＋φ＝π2＋2kπ(k∈Z)；“最小值点”(即图象的“谷点”)时ωx＋φ＝3π2＋2kπ(k∈Z)．1．已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A0，ω0，－π2φπ2的最小正周期是π，且当x＝π6时，f(x)取得最大值2，则f(x)＝．解析：因为函数f(x)的最小正周期是π，所以ω＝2.又因为x＝π6时，f(x)取得最大值2.所以A＝2，同时2×π6＋φ＝2kπ＋π2，k∈Z，φ＝2kπ＋π6，k∈Z，因为－π2φπ2，所以φ＝π6，所以函数y＝f(x)的解析式为f(x)＝2sin2x＋π6.答案：2sin2x＋π682．(2020·兰州实战考试)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0，0φπ)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，△EFG(点G是图象的最高点)是边长为2的等边三角形，则f(1)＝．解析：由题意得，A＝3，T＝4＝2πω，ω＝π2.又因为f(x)＝Acos(ωx＋φ)为奇函数，所以φ＝π2＋kπ，k∈Z，由0φπ，取k＝0，则φ＝π2，所以f(x)＝3cosπ2x＋π2，所以f(1)＝－3.答案：－3三角函数模型的简单应用(师生共研)(2020·山东省八所重点中学4月联考)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0cosπ3，sinπ3开始，按逆时针方向以角速度2rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.(1)求t＝π4时，A，B两点间的距离；(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈0，π2时，y的取值范围．【解】(1)连接AB，OA，OB，当t＝π4时，∠xOA＝π2＋π3＝5π6，∠xOB＝π2，所以∠AOB＝2π3.又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos2π3＝7，即A，B两点间的距离为7.9(2)依题意，y1＝sin2t＋π3，y2＝－2sin2t，所以y＝sin2t＋π3－2sin2t＝32cos2t－32sin2t＝3cos2t＋π3，即函数关系式为y＝3cos2t＋π3(t＞0)，当t∈0，π2时，2t＋π3∈π3，4π3，所以cos2t＋π3∈－1，12，故当t∈0，π2时，y∈－3，32.三角函数模型在实际应用中体现的两个方面(1)已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与因变量之间的对应法则；(2)需要建立精确的或者数据拟合的模型去解决问题，尤其是利用已知数据建立拟合函数解决实际问题，此类问题体现了数学